Qué es un billón y por qué nos confunde tanto

Y no digamos en los doblajes de las películas (o las traducciones de los libros). Un botón de muestra: en la película «La pequeña Venecia: Shun Li y el poeta» (Io sono Li, Andrea Segre, Italia-Francia, 2011) tiene lugar el siguiente diálogo (así figura en la versión doblada al español) entre un peluquero y un cliente:

- ¿Sabes cuantos chinos hay?- Un billón- … y medio.- ¿Y americanos?- No lo sé.- Trescientos millones. ¿Sabes lo que eso significa? Que Obama en vez de pagar a cada americano, paga a cinco chinos.

Si echamos la cuenta, en efecto, 300.000.000 x 5 = 1.500.000.000. Es decir, mil quinientos millones, una cantidad muy lejos de un billón. Al menos de lo que entendemos nosotros por un billón.

A día de hoy, la población mundial está formada aproximadamente por unos 7.500 millones de personas, (7.5 x 10 elevado a 9) muy lejos, por tanto, del billón (10 eñevado a12 ), de modo que, una vez más, los responsables del doblaje de la película volvieron a lucirse, por no traducir ese “billón” como millardo, que es lo correcto y a lo que se refiere el guion.

Pero, ¿qué es un billón? ¿Por qué hay tanta confusión? Vamos a intentar explicarlo una vez más.

El significado original del billón , establecido en el siglo XV, fue de «un millón de un millón»; (es decir, 1.000.000 elevado al cuadrado, o sea a la potencia 2, de ahí el nombre de billón, con el prefijo «bi»). Matemáticamente, (10 elevado a 6 )^2, lo que resulta de acuerdo a las reglas de la potenciación 10 elevado a 12 (recuerden que para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes), o lo que es lo mismo, un uno seguido de doce ceros (1.000.000.000.000). Es la definición utilizada en la actualidad en la mayor parte de los países de habla no inglesa .

¿Qué pasa con los anglosajones? ¿Es que tienen que ser diferentes en todo? En este caso, si rastreamos la Historia, la culpa no la tienen ellos. A finales del siglo XVII hubo un cambio en la forma de escribir grandes números. Hasta entonces los números se separaban en grupos de seis dígitos, pero en este momento se decidió que era mejor, más cómodo, utilizar la agrupación moderna de tres dígitos. Como resultado, una minoría de científicos italianos y franceses comenzaron a usar la palabra «billones»; para indicar 10 a la potencia de 9 (mil millones, o 1.000.000.000), sencillamente porque 9 es el cuadrado de 3. Entonces un billón sería aquella cantidad con nueve dígitos, o sea, 100.000.000 (que es en realidad 10 elevado a 8).

Igualmente redefinieron trillones, cuatrillones, etc., para designar potencias de mil en lugar de potencias de un millón. Aparecen así las llamadas escala corta (la de que el billón es mil veces un millón, el trillón mil veces el billón, etc.) y la escala larga (el billón es un millón de un millón, el trillón un millón de un billón, etc.). La aceptación de cada país de una u otra escala provoca que haya que tener mucho cuidado, pero no sólo en la actualidad, sino que, a la hora de leer textos antiguos, hay que tener en cuenta además en que época se escribieron, porque un mismo país ha ido cambiando entre esas escalas según la época.

En 1948 la novena Conferencia General sobre Pesos y Medidas recibió solicitudes para establecer un Sistema Internacional de Unidades. Entre ellas, se incluía un documento del gobierno francés, sugiriendo el uso universal de la escala larga, invitando a los países que tuvieran en vigor la escala corta a cambiar. Este documento fue ampliamente distribuido como base para una discusión profunda. Sin embargo, mientras en 1960, en la decimoprimera Conferencia General se consensuó el Sistema Internacional de Unidades , la cuestión de las escalas ni se resolvió ni se volvió a tratar, así que Francia (que recordemos fue la que promovió el cambio a la escala corta con Italia) en 1961 decidió regresar a la escala larga. Las expresiones “escala corta” y “escala larga” también las acuñó un matemático francés, Geneviève Guitel , tiempo después, en 1975. Y la palabra “millardo” también fue introducida por un francés, Guillaume Budé , en 1516.

En el Reino Unido, el billón era un millón de millones, es decir, utilizaban la escala larga, mientras que en los EE. UU. era la escala corta la empleada. Éstos llevaban tiempo presionando a los ingleses para estandarizar los números con ellos, lo que finalmente llevó al primer ministro Harold Wilson a anunciar en 1974 que cualquier mención gubernamental de un billón a partir de entonces significaría un número con nueve ceros. Paradójicamente, Wilson había sido director de Economía y Estadística del Ministerio de Energía en 1943 y 1944. Poco después, siendo Presidente del Consejo de Comercio, fue el principal impulsor de la Ley de Estadística de Comercio de 1947, que aún es el referente legal para recoger la mayoría de datos estadísticos en Gran Bretaña. Como Primer Ministro, nombró a Claus Moser (aquel estadístico británico que presumía de no ser matemático y que afirmó que lo más aterrador de su vida fue tener que dar una vez un curso de análisis de varianza; como ven, el mundo matemático-estadístico-científico puede llegar a ser muy, digamos, heterogéneo) jefe del Gabinete central de Estadística. Fue también Presidente de la Real Sociedad Estadística entre 1972 y 1973.

Recapitulando, los que realmente la liaron con esto del billón, fueron los franceses. A lo largo de la historia, han cambiado varias veces de sistema entre diferentes definiciones, causando estragos en los nombres de los números. En 1480, aceptaron que un billón fuera la potencia de 12 ceros, como todo el mundo, incluidos los británicos. Luego, a mediados del siglo XVII, eliminaron tres ceros, por lo que el billón se convirtió en un número con nueve ceros. Los Estados Unidos heredaron esta nueva definición. Sin embargo, en 1948, los franceses volvieron al antiguo sistema.

En la actualidad, todos los países de habla inglesa, así como Brasil, Puerto Rico, Rusia, Turquía y Grecia, designan el billón como 10 9 . Pero, como hemos dicho, si la razón es utilizar un número entero de múltiplos de tres dígitos, ese 10 9 sería 1.000.000.000, que tiene diez dígitos, no nueve.

El segundo volumen de History of Mathematics del matemático norteamericano David Eugene Smith publicado en 1925 y reimpreso en 1958 (no se ha editado en España; ver imagen adjunta) indica que el uso de cantidades grandes en la aritmética antigua es prácticamente inexistente por parte de las personas. Hay algunas excepciones, como algunos registros hallados en tablillas babilónicas, en tradiciones hindúes relacionadas con Buda, o en el Arenario de Arquímedes . En este último caso, entendible ya que este tratado tiene como objetivo establecer un límite superior para el número de granos de arena necesarios para llenar el universo (el número más grande que describe es 10 elevado a 63).

El primer lugar que se haya encontrado hasta el momento en el que aparece la palabra “millón”, es en la primera versión del poema Pedro el labrador, de William Langland, en el siglo XIV, aunque es el monje, gramático, teólogo y traductor griego Maximus Planudes (hacia 1340) el que parece haber inventado el vocablo: simplemente añade el sufijo “on” a la palabra “mil” (mille + on, queriendo decir “mucho más que mil”). En el siglo XV lo emplean algunos matemáticos italianos y franceses. Fuera de estos países apenas se utilizaba; en su lugar empleaban la expresión mil mil. Me ha resultado curioso que en esta History of Mathematics, se haga en este punto referencia a España, y al matemático aragonés Pedro Sánchez Ciruelo (curioso no por no relevante, que lo es, sino porque haya sabido de su existencia un norteamericano de los años veinte del siglo pasado). Ciruelo impartió clases en la Sorbona y publicó un tratado de aritmética práctica (Tractatus arithmeticae practice) en 1495 en Francia. En ese libro utiliza la palabra cuento (de contar) para referirse a la cantidad 10 elevado a 6, mientras que millón lo reservaba para 10 elevado a 12. A finales del siglo XV, Francia adopta de Italia la palabra millón, haciendo España lo mismo, aunque la mayor parte de los autores en latín (que como sabrán era el lenguaje científico en aquel momento) les costó aceptar la palabra que consideraban al parecer un tanto “vulgar” (como otros aumentativos: salón, balón, etc. por designar cosas grandes, exageradas; si algún lingüista puede aclararnos algo más esta cuestión, que nos lo diga). En cambio, en Inglaterra la palabra italiana millón fue aceptada universalmente sin mayores reparos. Smith indica que hasta el siglo XVII, “para las necesidades del pueblo llano, la palabra millón era más un lujo que una necesidad”.

No sería hasta finales de la Primera Guerra Mundial cuando empezó a necesitarse emplear palabras que designaran cantidades mayores que el millón. Matemáticos y astrónomos utilizaban la notación científica, como 9.23 10 elevado a 15 o 3.14 10 elevado a 67 por ejemplo, para trabajar con cantidades grandes sin necesidad de introducir palabra nueva alguna. Hacia 1484, el matemático francés Nicolás Chuquet escribe en un manuscrito (cuyo fragmento vemos en la imagen) un procedimiento para leer números grandes. Observamos en la última línea, el siguiente número, cuyos dígitos separa con una coma en su parte superior cada seis de ellos.

(Observen que el 5 está escrito con un símbolo diferente al actual, y que a Chuquet se le escapó un cero de más). Si nos fijamos, un par de líneas anteriores al número, se indica cómo leerlo: “745324 tryllions 804300 byllions 700023 millions 654321”. Este esquema fue copiado tal cual por Estienne de La Roche y publicado en su tratado de Aritmética de 1520, sin referenciarlo siquiera. Por ello durante mucho tiempo se atribuyeron estas denominaciones a De La Roche, hasta que en torno a 1870 el lingüista Aristide Marre , descubrió el original de Chuquet, ¡¡¡con anotaciones de puño y letra de De La Roche!!!

Buen elemento, el amigo De La Roche (como ven la picaresca y el plagio no la hemos inventado nosotros, aunque nos llevemos a veces las manos a la cabeza de lo aprovechados que algunos pueden ser). En resumidas cuentas, Chuquet definió un billón, y fue el primero en hacerlo si no se demuestra lo contrario, como 10 elevado a 12 . Paradójicamente, los italianos, que inventaron la palabra millón, fueron de los que más tardaron en aceptar la denominación billón de este francés. El primer italiano en utilizarlo fue Pietro Antonio Cataldi , en 1602, aunque como curiosidad porque en la mayor parte de sus trabajos sigue este esquema: millones, miles de millones, millón de millones, etc. Algunas veces empleó bilioni para referirse a 10 elevado a 9, pero la mayor parte de las veces llamó a esa cantidad duilioni. Por supuesto, otros autores utilizaron otros esquemas, otras palabras, etc.; sólo les cuento los más relevantes, pero háganse a la idea de que, como todo, la aceptación completa del término no llegaría hasta el siglo XVIII, y ya ven que a día de hoy aún no hay consenso. Respecto a la palabra francesa millardo, para designar el 10 elevado a 9 , aparece a principios del siglo XVI.

Los vaivenes económicos de las monedas de los países, los precios de algunas propiedades, las distancias astronómicas, etc., han motivado el uso cada vez más frecuente de cantidades de muchos dígitos. En la imagen, por ejemplo, observamos un billete con 14 ceros (que según nuestra escala para nada es de cien trillones) que emitieron en Zimbabue por culpa de una fuerte recesión que sufrió el país (su valor real era de un dólar).

Aunque el billete de mayor denominación jamás emitido es el del Adópengőről , que puso en circulación el Banco Nacional de Hungría en 1946, un billete de 100 trillones (20 ceros), aunque desgraciadamente la cifra no aparece representada numéricamente.

Hay otros números aún mayores, con los que googlearemos en otra ocasión.

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) .

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME .