Ocho dudas existenciales resueltas por las matemáticas

¿En qué fila del súper me coloco?

En el supermercado hay dos colas: una con muchos carritos medio vacíos y otra con pocos, pero a rebosar. ¿ Cuál eliges ? Las matemáticas tienen la solución.

Para contestar este dilema se puede utilizar la teoría de filas o colas que, como su propio nombre indica, predice el comportamiento de las mismas: su longitud y tiempo de espera. Su elemento principal son las Cadenas de Márkov , que explican toda variable que evoluciona a lo largo del tiempo de forma total o parcialmente aleatoria, como el clima o las colas de los supermercados. Además, tienen la siguiente característica: son procesos que no guardan memoria del pasado . «O sea, que la probabilidad de que algo ocurra depende del estado actual del sistema», afirma Sáenz de Cabezón. Por ejemplo, en la escena que nos ocupa, que tardemos más o menos tiempo en pagar en una tienda no depende de si los anteriores clientes han pasado haciendo cola o de si se trataba de hombres o mujeres o del tiempo que lleva la caja abierta.

Así, esta teoría afirma que la parte más «conflictiva» de hacer cola es el momento del pago , porque «se pueden caer las monedas, no tener cambio o que no funcione la tarjeta», explica el matemático. En cambio, hacer cola o poner los productos sobre la compra son procesos más o menos automáticos que presentan menos complejidad. Así que cada vez que te veas en esta diatriba, deberás elegir la cola que tiene menos carros , a pesar de que estén más llenos, porque el momento del pago se producirá menos veces. Y esto también se aplica a los atascos: en una fila de coches, ¿te cambias al carril contrario porque parece ir más deprisa? Pues el mismo Márkov afirma que da exactamente igual, porque ya que es un proceso que no guarda memoria, la probabilidad de que estés en la fila más rápida es exactamente la misma en las dos.

Este ejemplo tan cotidiano es la base que se aplica en otros problemas mucho más complejos que se presentan en informática, gestionando las carreteras o para que no colapsen los aeropuertos. ¿Quizá necesitamos un cambio de modelo en la enseñanza para que la asignatura «peñazo» se convierta en una de las preferidas? Sáenz de Cabezón propone su propia teoría: «Partiendo de la base de que la gran mayoría de profesores hacen muy buen trabajo que muchas veces no está valorado , creo que habría que acercar más las matemáticas a los problemas del mundo real, para que veamos sus aplicaciones. También relacionarlo con el resto de materias, no solo con las del ámbito científico, porque las matemáticas nos enseñan a interpretar la vida; y, finalmente, con su contexto, porque parece que los conceptos cayeron del cielo, pero detrás hay hombres y mujeres que tienen detrás grandes historias».

¿Es el cero un número par o no?

Es una de las dudas que asalta a muchos, quienes se preguntan si el 0 es par, impar o ninguno de estos dos, como si fuera un número más allá del límite del bien y del mal. « Que quede claro ya de una vez. El cero es par », afirma Sáenz de Cabezón en su vídeo.

¿Y por qué? Porque las cifras pares son aquellas que se dividen entre 2 y su resto es 0 . Por ejemplo: 16 dividido entre dos, es 8, y no «sobra» nada; en cambio, 17 entre 2 nos da de resultado 8,5, es decir, tendría resto de 5. En este caso concreto: 0 entre 2 es 0, y de resto también es 0, por lo que es un número par.

Aunque parezca que su única aplicación es que nuestro cuñado lo saque en alguna cena, lo cierto es que esta propiedad del 0 es bastante útil . Se utiliza en la detección en redes digitales y dispositivos de almacenamiento, para detectar cambios en los datos, que están codificados en lenguaje computacional: es decir, en 1 y 0.

«Los temas matemáticos pueden surgir de cualquier lado, e intento estar con las antenas en “modo on” para ver de qué puedo hablar en el siguiente video», explica Sáenz de Cabezón cuando se le pregunta acerca de dónde saca estos temas. «Este, por ejemplo, se me ocurrió en una cena con amigos , en el que me sorprendió que hubiese dudas al respecto». Así que recuerda: «EL CERO ES PAR».

A escote o cada uno lo suyo: ¿Cuál es la mejor forma de pagar la cena?

Y, hablando de cenas. Cuando se acaba el yantar, llega la polémica: ¿cada uno paga lo suyo o se divide la cuenta a partes iguales? Los matemáticos han encontrado la solución gracias a la teoría de juegos. Esta explica los beneficios que puedes obtener con tus decisiones y cómo afecta al resto de los beneficios de los demás. Y aquí entra en juego el equilibrio de Nash : asume que cada participante ha optado por una estrategia concreta y conoce la de sus «oponentes».

Este es el dilema del prisionero : dos prisioneros se les condena a 20 años cada uno. Si los dos confiesan, por colaborar solo tendrán cinco años de pena; si se callan, tendrán 1 porque no hay suficientes pruebas contra ellos; si uno confiesa y el otro calla, el primero tendrá libertad y al segundo le caerán 20 años. Aquí entra en conflicto el bien individual con el bien colectivo: lo mejor parece confesar, pues caerán 5 o ningún año; en cambio, si nos callamos, nos jugamos de uno a 20 años.

En 2004, los investigadores Gnezzy, Haruvy y Yafe hicieron el siguiente experimento: en una mesa, los comensales pedían sabiendo que cada uno pagaría lo suyo; en otra, se repartiría la cuenta; y en una tercera, serían invitados a cenar. Lo que pasó fue que el precio medio del primer grupo fue de 37,3 dólares; en el segundo caso fue de 50,9 dólares, ya que la gente tendía a pedir lo más caro porque el plato se repartiría entre más personas; y si eran invitados, la cuenta subía hasta los 82,3 dólares. Según estos cálculos, lo más sensato sería hacerse cargo cada uno de su montante.

¿Es mucha casualidad cumplir años el mismo día que otra persona?

Entras a trabajar en una multinacional y descubres el primer día que uno de tus compañeros de departamento, de entre 23 que lo formáis, cumple años el mismo día que tú. ¿Casualidad? «No tanto», dice el matemático. De hecho, es algo tan común que se ha elaborado la llamada « paradoja del cumpleaños », que explica la alta probabilidad de que dos personas hayan nacido un mismo día en grupos relativamente poco numerosos (o tan poco nutridos en los que se siga produciendo la sorpresa).

Haciendo cálculos, la probabilidad de que entre 23 personas, 2 cumplan años el mismo día es del 50,7%. ¿Por qué es tan alta? Es más fácil de observar si pensamos en dados: si tiramos 23 veces un dado con 365 caras, la probabilidad de que en ninguna de estas tiradas se repitiera número sería del 49,3%. Así que la contraria sería, efectivamente, la probabilidad de que dos personas celebraran el cumpleaños el mismo día. Y la «casualidad» aumenta hasta casi el 100% cuanto más personas tengas en el departamento (o más veces tires el enorme dado imaginario con 365 caras). Tanto que, en un grupo de 70, las posibilidades de que haya un cumpleaños repetido son del 99,9% . «No confundir con que tú específicamente cumplas años el mismo día que otra persona, porque en ese caso, las probabilidades caen hasta algo más del 6%», advierte Sáenz de Cabezón.

Y continuando con el tema, aunque en un plano más filantrópico: ¿cómo aumentaría la probabilidad de ver mujeres en carreras científicas, partiendo de la base que solo son el 33% de toda la comunidad investigadora ? «Yo suelo equipararlo con la teoría de la luz: igual que vemos el reflejo de estrellas que ya están desaparecidas, lo que tenemos ahora en ciencia es el reflejo de la academia hace 50 años . Por suerte, esto está cambiando y soy optimista al respecto».

¿Cuál es el juego más complicado del mundo?

Cuando se piensa en juegos complicados, lo primero que viene a la mente puede que sea el ajedrez . Sin embargo, las matemáticas tienen un sistema para evaluar de forma numérica cuán difícil es el juego en cuestión . Así, según explica Sáenz de Cabezón, se pueden medir varios parámetros, como la complejidad del espacio de estados (que es el número de espacios accesibles desde la posición legal), el tamaño del árbol del juego (suma entre los estados y los nodos, que son las posiciones del juego y cómo podemos llegar hasta ellas), así como la complejidad de decisión (que nos dice si un movimiento nos lleva a perder, ganar o empatar), sobre todo en los juegos de tablero.

Por ejemplo, atendiendo a la complejidad del espacio de estados, el juego chino sobre tablero Go sería mucho más complejo al tener 10(170) posiciones, por delante del ajedrez (10-47), que el Carcassone (10-40) o que las damas (10-20).

Sin embargo, quizá los más jóvenes opinen que el videojuego de moda «Fortnite» es mucho más complicado que el propio Go. «Detrás de todo esto también hay matemáticas», afirma el matemático que, de hecho, también ha hablado acerca de «Clash Royale» y la probabilidad de que salga un cofre supermágico, por ejemplo. «Al final están por todos lados», concluye.

¿Hay un truco matemático para ganar la lotería?

Y continuando con juegos. Una de las preguntas más recurrentes que les hacen a los matemáticos es que si poseen el truco definitivo para ganar en la Lotería . De todos es conocido que es muy poco probable que te toque la Primitiva, la bonoloto, el Euromillón o el Gordo de Navidad. Pero eso ya lo sabes. Entonces, ¿las matemáticas pueden ayudarte de alguna forma? Sí, «aunque no hay ninguna fórmula matemática secreta que te haga ganar seguro», explica el matemático, rompiendo el sueño de todos aquellos que llegaron hasta aquí para hacerse ricos.

Sin embargo, hay pautas que, aunque parecen sentido común, están respaldadas por fórmulas matemáticas. Basándonos en el concepto de esperanza matemática, es de esperar que las probabilidades de ganar aumenten si juegas más combinaciones ; al igual que para tener mejores premios, es mejor apostar en los momentos en que el bote es más grande ; por otro lado, existen sorteos en los que puede haber más de un ganador, por lo que si no queremos compartir beneficios, es mejor jugar a las cifras poco frecuentes (como, por ejemplo, los números considerados «feos» -llamados así de forma totalmente subjetiva, ya que todos tienen las mismas probabilidades- o los que tienen muchos 0, que no suelen ser de los más escogidos por los participantes).

El remedio para el apocalipsis zombie: las matemáticas

«Sé que tenéis una preocupación que no os deja dormir», comienza Sáenz de Cabezón en su vídeo «Cómo sobrevivir a un ataque zombie ¡con las mates!». Sí, las plagas zombies también preocupan a los científicos, que explican sus probabilidades de evolución de la plaga a través de los modelos matemáticos. «A principio, se crea un modelo sencillo para entender el sistema. Y, poco a poco, se introducen variables de la realidad que normalmente lo van complicando todo», afirma el matemático. Y es cierto.

En este caso concreto, existen tres variables: gente normal, zombies y muertos ; las personas normales pueden convertirse en zombies o morir de manera natural; pero los zombies solo pueden morir y dejar la resurrección de lado; y los muertos solo pueden convertirse en zombies.

A través de ecuaciones matemáticas se puede saber la variación de personas normales (que sería la tasa de natalidad -porque en un apocalipsis zombie también se pueden dar los nacimientos, como demostró « The Walking Dead »-, menos el número de personas «zombificadas» y restando la cifra de muertes por muerte natural), de zombies (que serían las personas que se convierten en zombies más los muertos revividos menos los zombies asesinados por personas) y de nuevos muertos (que resultarían de la gente normal que se muere más los zombies que han matado los normales menos los que reviven).

Todo se complica si lo que se busca son predicciones. En una población sin natalidad (o sea, un sistema cerrado) y atendiendo al equilibrio del sistema (a través del jacobiano del sistema y de su polinomio característico), se deduce que el sistema tiende hacia que toda la población acabe siendo una muerta viviente. Y todo explicado con números. «No sé si os dais cuenta, pero esto es flipante. Son propiedades universales que sirven para el modelo de lo que sea: zombies, evolución económica, crecimiento del cáncer …», comenta Sáenz de Cabezón.

Aunque aún los resucitados solo se den en la ciencia ficción apocalíptica, lo cierto es que hay muchos que apuntan a que lo que sí se da es una «zombificación» de la sociedad a través, sobre todo, de las redes sociales. «Cada vez hay más estudios que analizan el impacto en cifras de las redes sociales, pero las matemáticas no solo se utilizan para estudiarlas, sino también para montarlas, a través de los propios algoritmos . Y tendemos a pensar que son neutrales, pero esto no es así , porque detrás hay gente que las programa. Se está dando la tendencia a la dejación de nuestra responsabilidad de entender el mundo, y si seguimos así, seremos mucho más manipulables », critica el matemático.

¿Por qué los ríos describen curvas?

Albert Einstein mira fijamente su taza de té mientras remueve el agua con una cucharilla: se producen ondas que le recuerdan a las de un río cuando describe una curva. Este fugaz pensamiento crece en su cabeza tanto que se propone saber qué hay detrás de la dinámica del agua y por qué los ríos describen ondas cada vez más pronunciadas hasta llegar a producir meandros. En 1926 explica a la humanidad que el agua de los ríos, cuando encuentra un obstáculo en su camino, primero describe una suave onda. Pero debido a la dinámica que ocurre en su interior, la trayectoria zigzagueante se hace más pronunciada : el agua que discurre por el exterior de la curva es más rápida que en el resto de la corriente, lo que hace que se erosione el terreno; por otro lado, el líquido que recorre el interior, va más despacio, por lo que ahí se acumulan los sedimentos arrastrados por el río. «Así, poco a poco, la curva se van acentuando, dando el paisaje a los ríos», explica Sáenz de Cabezón en uno de sus primeros vídeos, con el que ganó el Premio Aquae de Monólogos de Ciencia en 2014.

Pero el misterio de los ríos no acabó con el postulado de Einstein, dice el matemático. En 1996, un investigador de la Universidad de Cambridge se propuso saber cuánto tiempo se demoran los ríos en sus curvas. Así que midió muchos ríos para realizar un modelo que le dijera hacia dónde tendían estas masas de agua, teniendo en cuenta todo el territorio que recorrían incluyendo sus curvas y cuánto recorrerían si fueran en línea recta desde su nacimiento hasta su desembocadura. A esa división la llamó el coeficiente de sinuosidad. El resultado le sorprendió: si hacía el cálculo de la media de a dónde tienden los ríos según su modelo matemático, siempre le salía el mismo número artificial que conocemos como número Pi . «Este número tan humano es el que rige realmente los caminos del agua», concluye.

Entonces, hace algo menos de un siglo que el hombre consiguió desentrañar la dinámica del agua , un líquido que estuvo en la Tierra antes del propio ser humano. Y apenas dos décadas nos separan de conocer que los ríos, esos que llevan modelando las ciudades , tienden al número Pi . Sin embargo, ¿cuáles serán las preguntas que nos haremos en el futuro? ¿La trayectoria de coches voladores? ¿Por qué nuestro robot personal nos trae descafeinado en vez de un cortado? «Es verdad que las matemáticas suelen responder a preguntas planteadas hace muchos años e incluso le quedan muchas respuestas que conocer de ellas mismas. Ahora, además, la biología le está planteando cuestiones muy interesantes a través de la genómica, por ejemplo. Y las matemáticas tendrán mucho que decir en terrenos de la tecnología como el Big Data, la inteligencia artificial o los ordenadores cuánticos. Pero para eso, aún queda tiempo ».