ABCdario de las Matemáticas

¿Existe la caja perfecta? Así la encuentra un matemático

Un problema de tipo geométrico sobre el que uno puede reflexionar delante de una caja de zapatos

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Alfonso J. Población

02/03/2020 a las 02:43h.

A estas alturas, a todos los que sigan estas reseñas (y a muchos otros, por supuesto), le sonará eso de los Problemas del Milenio , (ver, por ejemplo 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ). Algunos un poco más apasionados por ... nuestra disciplina conocerán también los 23 problemas de Hilbert (en realidad 24, según se descubrió más adelante), algunos aún tampoco resueltos (y algunos dentro de los problemas del milenio). Un grupo aún menor (los asiduos a ésta y otras columnas de divulgación matemática se mantienen dentro) tendrá noticia de otros problemas más técnicos tampoco resueltos aún (el de la suma de tres cubos , la conjetura de Goldbach , la de Collatz, y tantas otras de teoría de números). Hoy les paso a enunciar uno de tipo geométrico (también quedan muchas interrogantes de esta rama de las matemáticas, planteadas, pero sin solución, aún).

Recientemente he visto publicado en redes sociales la siguiente imagen de un cubo con tres longitudes con expresiones de raíces cuadradas (nótese que sólo dos de ellas son en realidad números irracionales):

Como curiosidad no está mal, pero lo realmente interesante no es esto, sino responder a esta, aparentemente sencilla pregunta: ¿Existe un ladrillo de Euler perfecto?

Un ladrillo de Euler no es más que un paralelepípedo rectangular (o sea una caja de zapatos para que todo el mundo lo entienda) cuyos lados (a, b, c, según la imagen adjunta) y las diagonales de sus caras (d, e, f) tengan una longitud entera.

Hay ejemplos de muchos ladrillos de Euler. Por ejemplo, el hallado por el matemático, maestro de aritmética y creador de calendarios alemán Paul Halcke en 1719:

a = 240, b = 117, c = 44. d = 267, e = 244, f = 125

a = 140, b = 480, c = 693. d = 500, e = 707, f = 843

Son conocidos otros valores, incluso alguna expresión general, aunque no recoge todas las posibles.

Una caja perfecta sería aquella para la que además la longitud de la diagonal g fuera también un valor entero . En los ejemplos anteriores se comprueba que la longitud de esa diagonal g es, respectivamente,

Parece sencillo, ¿verdad? Pues ni se sabe si existe (porque no se ha encontrado ninguno hasta el momento), ni se ha encontrado una prueba de que no exista. Hay ejemplos en los que la diagonal g es entera, pero falla alguna de las otras, como es el caso de

a = 672, b = 153, c = 104, e = 680, f = 185, g = 697

para el que sin embargo d =

Por este motivo, se han definido tres tipos de cuboides semi-perfectos, dependiendo de cuál sea el lado irracional: cuboide cuerpo (si la diagonal g es irracional), cuboide cara (si alguna de las diagonales d, e, f es irracional) y cuboide arista (si a, b, o c son irracionales).

Hace tiempo se demostró que, de existir, el cuboide perfecto debería tener un lado menor de una longitud mayor a 2^32 (= 4.294.967.296). En 2018 Randall L. Rathbun , mediante un exhaustivo rastreo informático, publicó una lista con los 160.594 cuboides que encontró, considerando el lado menor con valores entre 44 y 1,76 x 10^11. Por tanto, si alguno se anima, deberían empezar considerando valores mayores que ése.

El problema es equivalente a encontrar siete números enteros a, b, c, d, e, f, g, que verifiquen las ecuaciones

Los que si existen, y se han descrito muchos, son paralelepípedos perfectos (también conocidos como paralelepípedos diofánticos ). Son aquellos para los que no exigimos que los ángulos de sus caras sean rectos. Examinando los tres ángulos que existen en los ocho vértices de los paralelepípedos diofánticos se han descubierto cinco tipos únicos. Una búsqueda mediante ordenador de 1.981.336.681 tetraedros con seis diagonales racionales en sus caras ha revelado ejemplos interesantes, incluido el paralelepípedo perfecto de Sawyer-Reiter (junto a otros cinco), y el cuboide rectangular. También se han descubierto otras formas prismáticas interesantes en las 115 categorías que revelaron las búsquedas por computadora. Cuando uno lee la magnitud de datos como éstos, reflexiona unos minutos y llega a la conclusión de que entonces es bastante improbable que exista ese ladrillo de Euler perfecto. Sin embargo, mientras no se encuentre una demostración de esa no existencia, la cuestión seguirá siendo un enigma.

Por no dejar flecos, ya que lo he mencionado, en 2009 los norteamericanos Jorge Sawyer y Clifford A. Reiter dieron el paralelepípedo de lados 271, 106, 103, diagonales de las caras 101 y 183, 266 y 312, 255 y 323, y diagonales del cuerpo 374, 300, 278 y 272 (recuérdese que, al no tener ángulos rectos, tiene cuatro de esas diagonales en lugar de dos).

A diario nos encontramos muchos objetos de estas características (cajas de zapatos y de otros contenidos, envases de leche, ladrillos de obra, cajones, incluso libros). ¿Se animan a tomar medidas de ellos a ver si tienen las siete longitudes descritas enteras, racionales o irracionales? ¿Cuál abunda más? ¿Son óptimas (en el sentido de menor cantidad de material que encierre el mayor volumen posible)? Quizá pueda resultar una actividad motivadora para una clase de secundaria planteada como enseñanza basada en proyectos…

Los teselados uniformes

En los comentarios de la última entrada que redacté sobre los teselados, un lector comentaba que había encontrado algunas configuraciones que no se citaban en el texto (permutaciones de dos mencionadas). Efectivamente, cualquier reordenación de las citadas rellena el plano (suma 360º); sin embargo, no todas las posibilidades proporcionan teselados semirregulares. De hecho, en el artículo se describían todas las posibilidades existentes. La razón de que no sirva cualquier permutación de las dadas es la propia definición de los mosaicos semirregulares o de Arquímedes. Revisando el texto, en efecto, no está perfectamente descrita, porque sólo se indica que resultan de la combinación de distintos polígonos regulares. Pero, además, debería haber dicho que en cada vértice la disposición de los polígonos debe ser la misma. Es decir, en todos los vértices tiene que aparecer los mismos polígonos y en el mismo orden. Es lo que se llama teselado uniforme (hablando técnicamente, tiene que haber transitividad en los vértices). Los propuestos por el lector, {3,4, 4, 6} y {3, 3, 6, 6}, son no uniformes, porque si se fija en dos vértices consecutivos, no tiene la misma distribución. Veamos un ejemplo:

En el teselado de la imagen, con triángulos, cuadrados y dodecágonos, o sea, {3, 3, 4, 12}, fijémonos en el lado superior del dodecágono. En el vértice de la derecha, el marcado con el punto de color rojo, la configuración que vemos es {4, 3, 3, 12} ¿todo el mundo lo ve? Si miramos ahora el siguiente vértice del dodecágono, el marcado con un punto azul, la configuración es {3, 3, 4,12}. Es evidente que es una disposición distinta. Es, por tanto, un teselado no uniforme.

Existen muchos más teselados del plano: por polígonos irregulares, con cóncavos y convexos, por deformación de los anteriores, mediante un polígono concreto cuyos ángulos rellenen perfectamente el plano (pentágonos casita, por ejemplo). En esta misma sección lo hemos comentado varias veces , incluyendo la existencia de todos los grupos posibles de simetría de La Alhambra (el único monumento en el mundo que yo conozca donde están todos).

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.

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