Las matemáticas que hay detrás de las baldosas

Obviamente es posible, seguro que mirando a nuestro alrededor encontramos alguna disposición de ese tipo, aunque no son tan habituales como los regulares (tiene más dificultades disponerlos bien, básicamente más paciencia porque lleva más tiempo; esa es la única razón por la que se utilicen menos en construcción, ya que como sabemos, cada vez se quieren hacer las cosas en menos tiempo, y así quedan, claro). Gracias a las nuevas tecnologías podemos situarnos en cualquier lugar del mundo, y así, aunque no hayamos estado nunca en Zaragoza (como yo), cogemos el GoogleMaps, nos situamos en el Paseo de la Constitución, y buscando una perspectiva que se visualice medianamente bien, obtenemos la imagen que vemos sobre estas líneas.

Vemos cuadrados y octógonos (que no les confunda el trapecio que vemos en la parte inferior derecha; ahí lo que pasa es que se acaba la acera, y se ha cortado el octógono, pero lo que tendríamos si no hubiera que dar ese corte, sería un octógono). Para hacer las cosas correctamente, lo primero en que debemos fijarnos es en los vértices. Para construir mosaicos semirregulares, tiene que repetirse la misma configuración en todos los vértices, porque si no, ya no sería un teselado semirregular, sino de otro tipo del que ya hablaremos otro día. Además, los polígonos deben obligatoriamente coincidir perfectamente en esos vértices.

Si recordamos la fórmula que explicábamos el otro día para calcular la medida de los ángulos de los polígonos regulares, y echamos un vistazo a la tabla con los valores de los primeros polígonos, veremos que cada ángulo del cuadrado es de 90º. Y la del octógono es 135º. Por tanto, en un vértice cualquiera, confluyen un cuadrado y dos octógonos, es decir, 90º + 135º + 135 º = 360º, o sea que, en efecto, esa disposición rellena el plano completamente. Podríamos empezar, por la cuenta de la vieja, o bien a dibujar polígonos a ver si sacamos otras configuraciones, o a intentar sumar ángulos de los polígonos elementales, hasta que sumando tres o más obtengamos 360º como suma. Eso es lo que harían los niños, pero, para eso están maestros y profesores, en seguida nos percatamos que de ese modo puede que se nos escape algún caso. En definitiva, que necesitamos un método mejor. Y ese procedimiento, como siempre, nos lo dan la lógica y las matemáticas (razonando bien, por supuesto, porque a veces las cosas no salen por una mala praxis; por cierto, eso no se aprende por inspiración divina, ni mirando cómo lo hacen los demás, sino cogiendo un lápiz y un papel, y haciendo ejercicios; ¿o acaso aprendemos a hacer saltos con pértiga por estar una tarde mirando cómo lo hacen los atletas por la tele? Pues no, ¿verdad? Hay que entrenar, como todo en la vida, que nadie nace con las cosas sabidas).

Sabemos que el valor de cada ángulo de los polígonos que vamos a utilizar (lo indicamos el otro día) viene dado por la expresión

Tenemos que sumar varias de esas fracciones (como hemos hecho con el caso de cuadrados y octógonos), así que llegamos a una expresión del tipo

¿Por qué hemos puesto subíndices a las n? Es evidente: porque como vamos a utilizar polígonos diferentes, para los de cada tipo tendremos un número de lados diferente que para los de otro tipo. ¿Y eso de los puntos suspensivos y acabar en n_k? Porque no sabemos si tenemos que sumar tres polígonos, cuatro o cincuenta.

Lo averiguaremos a posteriori, pero como queremos calcular todas las posibilidades, tenemos que ponerlo así, en general. Entendida la igualdad, vamos a ver qué hacemos con ella.

Antes de nada, lo habrán escuchado muchas veces, un aspecto puramente técnico. No tiene nada de matemático, porque no hay razonamiento alguno: simplificar. Una tarea mecánica, sin chispa alguna. A la que se entrena a los alumnos en colegios e institutos (casi no hacen otra cosa; a pesar de ello, se quejan, y dicen que las matemáticas son muy difíciles y bla, bla, bla; pues que sepan que eso, no son matemáticas para nada, es simplemente un aspecto formal, que haría igual de bien una máquina…, bueno, lo hacen mejor).

Simplificamos porque es obvio que cuanto más pequeños sean los números, mucho más fácil es razonar con ellos. Se observa que en el primer miembro de la igualdad (lo que está al lado izquierdo del signo igual), todos los sumandos van multiplicados por 180. Podemos entonces sacarlo como factor común; es decir,

Está claro lo siguiente, ¿no? Pasar el 180 dividiendo al segundo miembro para dejar los valores constantes todos juntos, pero, sobre todo, porque 360 es un múltiplo de 180, quedando la expresión

Pero aún podemos simplificar más las cosas. ¿No les parece que hay demasiadas n, en numeradores y denominadores de las fracciones? ¿Se puede hacer algo con ellas para que haya menos? Tenemos la suerte de que los denominadores son un único valor (porque si los denominadores tuvieran sumas o restas, nada podríamos hacer), y entonces las restas de los numeradores se pueden separar en dos sumandos. De esta manera, llegamos a que

Sabemos sumar, ¿verdad? ¿Cuántos 1’s hay? Como pusimos k sumandos (recuerden el subíndice último de n), hay k unos. Por otra parte, los signos negativos incomodan mucho en matemáticas, porque hay que tratarlos con mucho cuidado ya que cambian de signo las expresiones.

De modo que, siempre que podamos, preferimos poner sumas que diferencias (otra precaución fundamental en matemáticas). Entonces, pasamos las fracciones al segundo miembro (y de paso sacamos factor común a todos los 2’s que hay en los numeradores de las fracciones). La cosa queda así:

Una última cosa técnica. Esa suma con esos puntos suspensivos nos resulta incómoda, larga de escribir, ocupa mucho espacio, …, vamos que nos gustaría que no estuviera. Pero está, y no nos la podemos cargar. En matemáticas no hay opción para las trampas, ni las mentiras, ni los apaños (so pena de que queramos que se nos hunda el puente, la casa, o con lo que estemos trabajando; bueno, los mentirosos compulsivos y/o interesados ya habrán dejado de leer esto hace rato y se habrán pasado a las redes sociales o a las radios y televisiones, que allí sacan más provecho, así que estamos ya sólo los “legales”). Lo que hacemos es tratar de escribir esa suma de un modo más sintético. Para eso, los matemáticos idearon un símbolo llamado sumatorio. Con él, esa suma la escribimos así:

Les explico cómo va. No es demasiado complicado. Es una letra sigma (el equivalente a la s en griego, por aquello de que representa una suma) grande. En la parte inferior indicamos dónde empieza la suma, es decir, el primer sumando. Como el primer sumando era n_1, por eso ponemos i = 1. Si hubiera sido n_37, habríamos puesto i = 37. Hemos elegido la letra i como índice, es decir, una letra que no hayamos utilizado previamente y que nos recorra todos los posibles valores de la suma. En la parte superior de la letra sigma, ponemos el valor del índice para el último sumando, que en este caso es k. Y dentro del cuerpo del sumatorio, ponemos una de las fracciones genérica (porque todas tienen la misma estructura; si fueran diferentes, no se podría hacer esto, o tendríamos que poner varios sumatorios; depende de cada situación).

Más aún, para hacer operaciones más cómodamente, podemos indicar en algún lado que ese sumatorio toma un valor S (podemos poner la letra que más nos guste, pero ponemos una S porque es el valor de una suma); es decir,

Entonces nuestra igualdad queda mucho más manejable:

O equivalentemente, S = 2

Reitero, todo lo que hemos hecho hasta ahora tiene muy poco de matemáticas. Solamente hemos acomodado nuestra ecuación para trabajar más cómodamente, como hace cualquier otro trabajador en su oficio (un fontanero, un albañil, el que sea: organiza el entorno para empezar a trabajar a gusto). Es hora entonces de hacer matemáticas de verdad, o sea, vamos a razonar (no se asusten que va a ser poquito).

Para empezar, ¿cuántos sumandos podemos tener en S? Lo hemos llamado k. pero ¿puede ser k = 1000, por ejemplo? Eso querría decir que en un vértice del embaldosado concurren 1000 polígonos. ¿Y cuantos como mínimo? ¿Podría ser k = 2? ¿O k = 1? Puede razonarse de muchos modos, pero, si pensamos en el caso de los mosaicos regulares del otro día (miramos el dibujo), vimos que, con triángulos, en un vértice convergían 6. Eso en la suma que estamos manejando (n_i sería constante e igual a 3, porque hemos elegido todos triángulos, y k = 6) sería

Y esa igualdad es correcta (vale 2 en ambos miembros). En el caso de los hexágonos, a un mismo vértice concurren 3 hexágonos (o sea k = 3), y n_i = 6. Si escribimos la ecuación, veremos que igualmente se cumple (vale 1/2), y para los cuadrados, k = 4, n_i = 4 (en este caso, los miembros de la igualdad, valen 1, como puede comprobar el lector fácilmente). De modo que, como máximo k puede valer 6, y como mínimo 3 (porque los valores de los ángulos de los triángulos y de los hexágonos son los que son). Así, matemáticamente lo expresaríamos de este modo:

Los valores de S posibles quedan entonces reflejados en la siguiente tabla:

Finalmente se trata de ver con esos valores cuántas soluciones se pueden obtener. No son demasiadas en total, y encontrarlas sólo requiere un poco de orden. Así, por ejemplo, empecemos con tres sumandos. ¿Qué tres fracciones de numerador la unidad suman ½? Cuatro en total:

1º)

un cuadrado y dos octógonos (con ángulos 90º + 135º + 135º)

Es justamente la configuración del pavimento zaragozano mostrado al inicio de este artículo. Un modo sintético de designarlo es mediante una notación debida al matemático suizo Ludwig Schläfli (1814 – 1895) que consiste simplemente en escribir entre llaves y separados por comas el número de lados de cada polígono que concurren en un vértice. El caso anterior sería {4, 8, 8}.

2º) La segunda sería {6, 6, 6}, tres hexágonos, una de las configuraciones de los mosaicos regulares de los que hablamos en el artículo anterior, ya que los tres polígonos son iguales. Y no hay más para k = 3.

3º) {3, 12, 12}, un triángulo y dos dodecágonos

4º) {4, 6, 12}, un cuadrado, un hexágono y un dodecágono.

Para k = 4, obtenemos {4, 4, 4, 4} (el mosaico regular de cuatro cuadrados), {3, 4, 6, 4} y {3, 6, 3, 6}. Para k = 5, {3, 3, 4, 3, 4}, {3, 3, 3, 4, 4} (estos dos son la misma descomposición, pero origina dos embaldosados distintos por el orden en que los polígonos se disponen), y {3, 3, 3, 3, 6}. Y finalmente, para k = 6, sólo existe el {3, 3, 3, 3, 3, 3}, que vuelve a ser un alicatado regular, el de los seis triángulos. Creo que no me he olvidado ninguno, pero si es así, seguro que ustedes sabrán detectarlo. Les dejo unas imágenes en las que aparecen representados todos ellos (desordenados para que intenten ponerles su correspondiente etiqueta), y además les propongo que traten de encontrar en algún lugar imágenes concretas (en calles, plazas, alicatados de paredes, etc.) y nos las manden (gracias a la versatilidad del móvil, es posible fotografiar de un modo sencillo cualquier cosa; es una gran ventaja para los profesores, en particular los de matemáticas, que desde hace mucho tiempo, viene proponiendo a sus alumnos concursos de Fotografía Matemática , con explicaciones pertinentes, por supuesto, de que han pretendido ver en ellas), a ver si encontramos ejemplos concretos de cada una de las posibilidades.

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid.

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) .