Problemas del Milenio: La conjetura BSD o por qué las matemáticas están reñidas con la charlatanería

Y como el movimiento se demuestra andando, argumentemos un poco. A finales del siglo X, matemáticos árabes se planteaban cuestiones como esta: Dado un número racional positivo A, ¿existen tres números cuadrados racionales en progresión aritmética cuya diferencia común sea A? Con un ejemplo, lo entendemos mejor. Los números 1, 25 y 49 son cuadrados perfectos. Su diferencia común es 24 (25 – 1 = 24, 49 – 25 = 24), y están en progresión aritmética ya que son de la forma x – A, x, x + A. No es muy difícil demostrar que esa cuestión es exactamente la misma que averiguar qué números racionales pueden ser el área de un triángulo rectángulo cuyos lados sean también números racionales. Tomando en general

es fácil verificar que esos valores cumplen el teorema de Pitágoras,

por lo que en efecto el triángulo resultante es rectángulo. En el ejemplo numérico, esos valores nos llevan al triángulo de lados 6, 8 y 10, cuya área (recordemos que el área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura) (6 x 8)/2 = 24. Es decir, el 24 serviría. A los números que cumplen esta propiedad se les denomina números congruentes (nada que ver con congruencias entre dos números enteros; eso es otra cosa, aunque el nombre se parezca). Entendido esto, replanteemos la cuestión: ¿Qué números son congruentes?

Seguramente, a más de uno le rondará por la cabeza la eterna cuestión. ¿Y a mí que me importa esto? ¿Esto para qué sirve? El lector habituado a leer reseñas de tipo científico y/o matemático esto ya lo tiene superado, pero si eres de los que sigue preguntándose esto, un poco de paciencia. En unas líneas trataremos de satisfacer tu curiosidad, y entenderás a donde queremos llegar (a ver si es la última vez que es necesario poner un párrafo como éste).

La cuestión anterior sobre números congruentes, a pesar de su aparente sencillez, no es nada sencilla. De hecho, ni siquiera en la actualidad está completamente resuelta. Durante un tiempo se trató de probar número a número, a ver si esos casos particulares ofrecían alguna pista que permitiera hallar una caracterización general, que es cuando matemáticamente se da una cuestión por resuelta. Haciendo un poco de historia, los árabes demostraron que una treintena de números son congruentes (en el cuadro adjunto se muestran los cinco primeros números congruentes junto a la tripleta pitagórica que lo demuestra)

Leonardo de Pisa (conocido como Fibonacci , el de la famosa sucesión de la que habréis oído hablar, aunque sólo sea por su presencia en «El Código Da Vinci», y otras memeces esotérico-festivas), en 1225, encontró la menor tripleta que prueba que 5 es congruente (la de la tabla), y enunció, sin demostrar, que 1 no es congruente. Pierre de Fermat (otro «viejo» conocido) lo demostró en 1569 (así que no pierdan el tiempo tratando de encontrar un triángulo rectángulo que lo haga congruente). En 1915 se habían encontrado los números congruentes menores que 100, y hacia 1986, ya con ordenadores los menores a 2000.

Soslayando algunos detalles, importantes, pero técnicos y por tanto fuera de este contexto divulgativo, si A es un número congruente, y existiendo un x de modo que, como se indicó al principio, x – A, x, x + A sean números racionales cuadrados perfectos, el producto de los tres es también un cuadrado perfecto por lo que satisface la ecuación

siendo y un número racional. En otras palabras, el punto (x, y) satisface esa igualdad. ¿Y qué representa esa igualdad? El lector que haya leído algo sobre el último teorema de Fermat , la criptografía, etc., recordará que se trata de una curva conocida como curva elíptica . El problema de los números congruentes se transforma entonces en el de encontrar qué puntos de una curva elíptica son racionales, cuestión nada sencilla, o por mejor decir, bastante complicada.

Las soluciones racionales de una curva elíptica, definiendo la operación de suma de dos puntos de un modo concreto (ver P+Q en la imagen), tiene estructura algebraica de grupo. Dependiendo de la curva, a veces el grupo es finito, a veces es infinito, tamaño directamente relacionado con el número de soluciones racionales que se pueden encontrar. Tratando de «desmenuzar» esa estructura de grupo, se ha definido la noción de rango del grupo (o de la curva asociada). Si el rango es nulo, el número de soluciones racionales es un número finito; en caso contrario, es infinito. Hacia 1963, Peter Swinnerton-Dyer, con ayuda de un EDSAC, uno de los primeros ordenadores, trata de buscar soluciones racionales de curvas elípticas. Pero no lo hace “a lo bruto” entre todos los infinitos números, sino que se centra en unos pocos valores, los que proporcionan los elementos de Z/(p), enteros módulo p, siendo p un número primo. Por ejemplo, trabajar con Z/(2) es considerar sólo el 0 y el 1; el 2 volvería a ser el 0. Aritmética binaria, o en base 2. Estos conjuntos (cuerpos conmutativos cuando p es un número primo) no son entelequias matemáticas exclusivamente. La aritmética del reloj, en la que las 13 horas es la 1, las 14 las 2, etc., es considerar Z/(12) (que no tiene estructura de cuerpo, sino de anillo, al no ser 12 un número primo). Pues bien, Swinnerton-Dyer buscó soluciones a las curvas elípticas para muchos valores primos. Con esos valores, hay resultados que nos permiten conocer lo que pasa en los infinitos enteros.

Paralelamente, otro matemático británico, Bryan Birch , divide el número de puntos obtenido para cada número primo entre dicho número p, y los va representando en escala logarítmica (esto se hace cuando aparecen valores muy altos). Observa una especie de pauta que se repite en todos los casos: los puntos se acumulan en torno a una recta cuya pendiente es precisamente el rango de la curva elíptica asociada. Pero en matemáticas «parecer» no es lo mismo que «ser». Por eso hablamos de conjetura, hasta que se llegue a probar de forma general (un millón de dólares esperan).

Por otra parte, se ha venido comprobando que estos asuntos de teoría de números, se trabajan con más eficacia utilizando procedimientos y conceptos de análisis complejo. Por eso aparecen involucrados desarrollos en serie de potencias, funciones L de Dirichlet (similar para curvas elípticas a la función zeta de Riemann en la búsqueda de alguna pauta para los números primos; véase la reseña sobre la hipótesis de Riemann publicada en esta misma sección), ceros y polos, etc.

A todo esto, aún no hemos enunciado la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer , cuya prueba se valora con ese millón de dólares . Establece que si el desarrollo en serie de potencias en un entorno del uno de una L-función de Dirichlet es

(esta última expresión es una forma simbólica y abreviada de representar a los términos de mayor grado que r), siendo c una constante no nula, entonces el rango de la curva es r. Lo que le suceda a ese desarrollo en el punto uno (se anule o no), determina el número de soluciones que la ecuación tiene.

A pesar de que esta conjetura se enunció en 1965, y que se han hecho algunos avances, como se ha tratado de hacer ver muy sintéticamente, la verdad es que es mucho más lo que se desconoce que lo que se sabe. Por hacernos una idea, casi todo lo que se ha avanzado trata sobre curvas elípticas de rangos 0 y 1, las más sencillas, y una mínima parte de las existentes. De las de rango 2 y superior todo es un enigma (amigos del mal llamado misterio, ¡¡anímense!!).

No se me olvida lo de las aplicaciones a nuestra vida cotidiana de todo esto. Las curvas elípticas están detrás de, entre otras cosas, sistemas de codificación de la información utilizando claves más pequeñas que las contrastadas, más rápidas en su ejecución, y de un alto nivel de seguridad. En resumidas cuentas, mejorar que nadie nos robe de tarjetas de crédito o sean capaces de leer mensajes privados , depende en la actualidad y será más en el futuro, del mejor conocimiento de curvas como las elípticas. En un desafío planteado en 2003 para romper el código generado por el algoritmo de la curva elíptica usando una clave de sólo 109 bits (normalmente se emplean, para mayor seguridad, claves de no menos de 512 bits), un grupo de investigadores lo logró, pero a costa de un ataque masivo en paralelo utilizando más de diez mil PCs de tipo Pentium funcionando continuamente durante 540 días. Obviamente no necesitamos tanto tiempo para ejecutar una operación comercial, o anular una tarjeta que hayamos extraviado. La longitud de clave mínima recomendada para estos algoritmos (163 bits) requeriría 108 veces los recursos utilizados para hackear la clave con 109 bits.

Al inicio hablábamos de cuestiones que se planteaban matemáticos del X. Hoy las cuestiones no difieren mucho en su planteamiento: ¿qué números primos son suma de dos cubos? Otra cuestión cuya respuesta depende de probar la conjetura BSD (en las imágenes, Birch y Swinnerton-Dyer , en los años sesenta; foto tomada del instituto Clay). Si se prueba la veracidad de la conjetura BSD, establecería un método para averiguar si ciertas ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones enteras (o racionales). En 1970, Yuri Matiyasevich demostró que no existe un procedimiento general que determine qué ecuaciones tienen solución en números enteros (el décimo problema que Hilbert planteó en 1900). Todo esto de las curvas elípticas y la conjetura BSD establece un camino para resolver en números racionales algunos tipos concretos de ecuaciones. La ecuación del último teorema de Fermat fue un caso particular ya resuelto de esta situación.

Para acabar, y enlazando con la reflexión inicial, es claro que escribir un artículo o un paper de cierto nivel fraudulentamente es prácticamente imposible. Cualquier experto enseguida lo descubriría. Y también está claro que a cualquiera que se haya familiarizado con estos conceptos tan abstractos y trabaje en ellos, no se le ocurriría ni por asomo tratar de colar un descubrimiento falso. No le merecería la pena, y tendría pocas posibilidades de éxito. Son algunas de las razones por las que a algunos nos encantan las matemáticas. No hay sitio para los vendedores de humo.

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME)