Vestíbulo de entrada a la sede de la Mathematical Association of America (Washington) con un embaldosado pentagonal no regular descubierto por Marjorie Rice
Vestíbulo de entrada a la sede de la Mathematical Association of America (Washington) con un embaldosado pentagonal no regular descubierto por Marjorie Rice - Adobe Stock

¿Por qué no podemos cubrir el suelo del baño con pentágonos regulares sin que haya espacios vacíos?

Las matemáticas están en más lugares de los que creemos, incluido el revestimiento de suelos

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Los seres humanos llevamos miles de años estudiando cómo encajar formas geométricas en los suelos, las paredes y las obras de arte. Se conoce como teselación a la acción de recubrir un plano con determinadas figuras sin que haya espacios vacíos entre ellas ni se superpongan.

Los teselados se forman a través de transformaciones isométricas, es decir, sin variar ni el área ni las dimensiones de la figura inicial. Decimos que una teselación es monoédrica cuando está formada por un único tipo de pieza, mientras que nos referimos a una tesela poligonal cuando las esquinas de cada polígono siempre coinciden con otras esquinas.

El teselado es regular, y este es el que más nos interesa, cuando todos los polígonos son regulares e iguales entre sí. De todas las posibilidades tan sólo se puede obtener con triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares.

Teselando la naturaleza

En el reino animal podemos encontrar las teselaciones más variadas, desde las escamas de los peces hasta el panal de las colmenas de las abejas –teselación regular en hexágonos- pasando por los caparazones de las tortugas.

Los vegetales no iban a ser una excepción, se pueden contemplar con bastante sencillez, así por ejemplo las semillas individuales de un girasol están dispuestas siguiendo un patrón regular, al igual que sucede con la capa externa de una piña, que está cubierta por un mosaico de formas trapezoidales.

Cuando observamos con la ayuda de un microscopio los minerales descubrimos que la mayoría están organizados en mosaicos regulares de cristales. Así por ejemplo, en la magnetita las teselas son cúbicas, mientras que en la esmeralda, el cuarzo o la apatita lo hacen de forma hexagonal.

Si descendemos un poco más en la complejidad de la naturaleza y nos adentramos en el universo molecular, el hexágono es la estructura de ordenación más estable. Esta disposición es la que aparece, por ejemplo, en el benceno, en cuyos vértices se ubican los átomos de carbono, con tres dobles enlaces y tres enlaces simples, en posiciones alternas.

El pentágono no vale

Si deseamos cubrir todo el plano sin solapamientos ni huecos, en un vértice cualquiera del teselado la suma de los ángulos interiores de los polígonos debe ser trescientos sesenta grados. Por este motivo, los únicos polígonos que pueden formar el teselado regular serán aquellos que tienen un ángulo interior divisor de 360º.

En el triángulo equilátero todos los ángulos miden 60º, en el cuadrado miden 90º y en el hexágono regular 120º. Consecuentemente, en un teselado regular triangular entrarían seis triángulos equiláteros, cuatro en el caso de un teselado regular cuadrado y tres para el hexágono.

En otras palabras, debemos conocer el ángulo interior de un polígono para saber si tesela regularmente. El valor de un ángulo interior se calcula aplicando la fórmula 180 x (n-2) / n. En donde n es el número de lados del polígono regular.

¿Qué sucede con los pentágonos? Si aplicamos la fórmula el ángulo interior de este polígono es de 108º, que no es divisor de 360º. Por esta razón, el pentágono no tesela el plano euclideo de forma regular y, por lo tanto, no debemos utilizarlo para pavimentar el suelo de nuestro baño.

Las teselas en el arte islámico

Debido a que el islam prohíbe la representación humana, la manifestación artística ha buscado la belleza en la geometría. El arte de la teselación alcanzó su máxima expresión en el siglo XIII en Granada, durante la dinastía Nazarí.

Las mejores teselaciones las encontramos en la Alhambra. Allí hay cuatro teselas que se repiten substancialmente, las conocidas con los nombres de hueso, pez volador, avión y pajarita. Las tres primeras se obtienen a partir del cuadrado, y la cuarta a partir del triángulo; ninguna deriva del pentágono.

Pedro Gargantilla es médico internista del Hospital de El Escorial (Madrid) y autor de varios libros de divulgación.