Qué es la proporción áurea: verdades y mitos

En el libro VI de los Elementos de Euclides se define la razón extrema y media de esta manera: «una línea recta se dice que está cortada en razón extrema y media cuando la recta completa es al segmento mayor como el mayor lo es al menor».

Esa « razón extrema y media » no es más que la razón áurea, aunque todavía no se conocía por ese nombre. Con nuestra notación actual, dado un segmento AB, el punto C que divide al segmento según esa proporción verifica que AB/AC=AC/BC o, también, (AC+BC)/AC=AC/AB

de donde 1+BC/AC=AC/BC. Si escribimos Φ=AC/BC se verifica que 1+1/ Φ = Φ y, por tanto:

El lema de los pitagóricos era la estrella de cinco puntas. En ella aparece esta relación en varios lugares: dos segmentos cualesquiera de longitudes consecutivas, se encuentran en razón áurea:

También encontramos este número en las dimensiones de los tres rectángulos que aparecen en los tres planos de coordenadas determinados por los vértices de un icosaedro:

Los lados de esos rectángulos se encuentran en proporción áurea.

En la obra de Salvador Dalí aparecen composiciones realizadas de acuerdo a la razón áurea (él corroboró que así las había concebido) y si pensamos en una teselación de Penrose (como la que hay en el suelo de la catedral de Santa María de Mahón) formada por dos tipos de polígonos (llamados comúnmente flechas y faldas).

la relación entre el número de dardos y de faldas se encuentra también en proporción áurea.

Sin embargo, aparece frecuentemente en la literatura que el nautilus, tipo de molusco cefalópodo, tiene dimensiones que se aproximan a la razón áurea y que su forma sigue una espiral áurea, pero casi nunca aparece documentado y medido de verdad. En matemáticas se deben comprobar las cosas y agradezco a Nelo Maestre que me advirtiera de que esto no era correcto: él midió uno de estos fósiles y vio que no le cuadraban las medidas con lo que se suele afirmar. Posteriormente lo corroboré en un artículo escrito por el matemático Keith Devlin.

También se dice que las tarjetas de crédito tienen unas dimensiones de acuerdo a la razón áurea. Incluso he leído en alguna ocasión que se hacen de ese tamaño porque gustan más a la gente. Según la norma ISO/IEC 7810 ID-1 el tamaño de una tarjeta de crédito es 85.6 mm × 53,98 mm y si dividimos esos números obtenemos 1.5858, que no es una muy buena aproximación a la razón áurea. Si se hubiera querido diseñar utilizando esta proporción, podrían haberse ajustado las dimensiones de otra manera.

El edificio de la Secretaría de la Organización de Naciones Unidas en Nueva York, en el que Le Corbusier tuvo que ver aunque finalmente se llevó a cabo principalmente el proyecto de su discípulo Óscar Niemeyer, es otro de los edificios que se dice que cumplen la proporción áurea. Pero una medición de las fotografías del edificio tampoco nos lleva exactamente a la razón áurea.

Otro edificio que levanta grandes pasiones es la Gran Pirámide de Keops . Los aficionados a la egiptología, y muchos aficionados a la numerología y pseudociencias variadas, atribuyen a la gran pirámide medidas que no han sido comprobadas. Una de las fuentes que ha conducido a esta creencia es el corto de animación Donald en el país de las matemágicas (que, por otra parte, es entretenido y en su día un buen instrumento para mostrar un lado desconocido de la matemática). La fuente que se suele usar para las dimensiones de la Gran Pirámide es el libro de Herodoto, escrito 2000 años después de la construcción de la pirámide y en el que él también se deja fascinar por semejante construcción.

Hace unos años nos sorprendíamos leyendo un estudio del ginecólogo belga Jasper Verguts , en el que se afirma que las mujeres son más fértiles en la medida en que las proporciones del tamaño de su útero se asemejen a la razón áurea. Para su estudio midió los órganos reproductores de 5.000 mujeres y concluía que en la niñez la proporción era parecida a 2 mientras que en la vejez a 1.4. La verdad que pensar que esto era ciencia no tiene desperdicio, pero cuando uno quiere buscar tres pies al gato los encuentra y cuando va en busca de la razón áurea también.

El psicólogo alemán Adolf Zeising estaba encantado con la razón áurea. Él sostenía que la obra de Leonardo da Vinci estaba basada en ella (a pesar de que no se han acabado de encontrar referencias distintas a las ilustraciones hechas para La Divina Proporción ) y también sostenía que el cuerpo humano estaba proporcionado de acuerdo a Φ. Otro psicólogo, Gustav Fechner , quería investigar las virtudes estéticas de esta proporción, para lo que preparó un experimento: mostrar a diferentes individuos una colección de diez rectángulos, todos con el mismo área pero con diferentes proporciones en sus lados, que iban desde el cuadrado 1:1 hasta un rectángulo 2.5:1. Es cierto que el 35% de los encuestados se decantó por el rectángulo áureo, el 20% el de proporciones 1.5:1 y el 20% por el rectángulo 1.77:1. Tampoco es demasiado concluyente, pero resolvió que era el preferido puesto que al ser el más elegido por los encuestados se sumó el hecho de que ninguno de ellos lo situó en último lugar. Tras Fechner se han realizado varios experimentos similares e incluso, por si alguien se quiere entretener, se puede contribuir a una versión moderna de este experimento en el este enlace .

Hace unos años la página principal de Twitter se mostraba de acuerdo a las dimensiones del rectángulo áureo (ha pasado tiempo de eso) y también se ha dicho que en el diseño de su logotipo se ha empleado la razón áurea, aunque este hecho está nuevamente cogido con alfileres, como se puede ver en la imagen siguiente:

Y ya que hemos hablado de esta red social, sugiero echar un vistazo a la cuenta @FibonacciSpiral. Allí van a encontrar muchas imágenes sorprendentes de objetos que siguen y, sobre todo, que no siguen, la proporción áurea.

Keith Devlin , que como divulgador matemático se ha dedicado también a desmontar el mito de la ubicuidad de Φ, afirma que el hecho de que nos guste que aparezca este número en nuestras vidas se debe a una razón simple: «Somos criaturas programadas genéticamente para encontrar patrones y buscar significados. No está en nuestro ADN sentirnos a gusto con cosas arbitrarias, como la estética, y por ello intentamos justificarla con nuestra, a menudo, limitada comprensión de las matemáticas. La mayoría de la gente no entiende matemáticas, ni siquiera cómo una simple fórmula, como la razón áurea, se aplica a un sistema complejo, por lo que no podemos detectar nuestros propios errores».

Fernando Blasco es profesor de Matemática Aplicada de la Universidad Politécnica de Madrid, miembro de la Comisión de Educación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) y miembro del Comité de Sensibilización Pública de la Sociedad Matemática Europea.

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME .