La paradoja de Russell o cómo explotar los cimientos de las matemáticas

Una de estas controversias os la contamos en un artículo anterior , en el que hablábamos del descubrimiento de las magnitudes inconmensurables por parte de los Pitagóricos, hallazgo que hizo que los griegos abandonaran en gran medida la idea de número en favor de la geometría.

Y a pesar de que los números irracionales llegaron a aceptarse como números con derecho propio, la definición rigurosa de número real tuvo que esperar hasta la segunda mitad del siglo XIX.

Hoy nos ocupa un desafío al que se enfrentaron las matemáticas en los primeros años del siglo XX, una sencilla paradoja que hizo que se tambaleara todo el edificio de las Matemáticas.

En el siglo XIX, empezaron a cuestionarse ciertas ideas que se daban por hecho, como la certeza del quinto postulado de la geometría de Euclides que afirma que por un punto exterior a una recta pasa una única paralela.

Al descubrir que considerando axiomas diferentes se obtenían geometrías diferentes igualmente válidas, una corriente de axiomatización se apoderó de todas las áreas de las matemáticas.

En este escenario el poderoso e influyente matemático Leopold Kronecker (1823-1891) pronunció una de las frases más célebres de la Historia de las Matemáticas: «Dios creó los números, el resto es obra del hombre».

Por números se refería a los naturales, a los de contar de toda la vida, y consideraba que tanto la aritmética como el análisis debían construirse a partir de estos.

El matemático ruso-alemán George Cantor trató de dar una axiomática para los números naturales basándola en la teoría de conjuntos. Cantor publicó sus ideas en 1883 con el título 'Fundamentos para una teoría general de conjuntos', obra que tenía como subtítulo 'Una investigación matemático-filosófica sobre el infinito'.

En su obra, Cantor pedía perdón por utilizar la idea de infinito como objeto matemático, pero a pesar de ello enfureció a parte de la comunidad matemática capitaneada por Kronecker que llegó a presionar a las revistas especializadas para evitar que publicaran sus resultados.

Afortunadamente, algunas figuras relevantes como David Hilbert y Gottlob Frege apoyaron las teorías de Cantor y este pudo ver reconocida su labor en vida. Como diría Hilbert: «Nadie podrá expulsarnos nunca del paraíso que Cantor creó para nosotros».

Desde el principio, Gottlob Frege (1848-1925) tuvo claro que la teoría de conjuntos de Cantor era la respuesta a la fundamentación de la matemática. Por ello se convirtió en uno de lógicos más importantes desde Aristóteles y dedicó su vida a formalizar con absoluto rigor, con una notación exenta de ambigüedades, la teoría de conjuntos iniciada por Cantor.

Para Frege la capacidad humana para familiarizarse con los números naturales no podía estar relacionada con la experiencia directa o el espacio geométrico, sino con el lenguaje y la lógica.

Este tipo de interpretación filosófica de las matemáticas se conoce como LOGICISMO.

Frege dedicó toda su vida a esta tarea y en 1879 publicó su primera gran obra, 'Begriffsschrift', que podemos traducir como 'conceptografía', definiendo el lenguaje preciso y riguroso que necesitaba.

En 1893 publicó el primer tomo de su ambicioso proyecto 'Grundlagen der Arithmetik' (Fundamentos de la Aritmética).

Pero en esta obra, para definir los conjuntos, Frege adoptó el 'axioma de comprensión' que afirma que existe cualquier conjunto definido por una propiedad.

De un modo intuitivo definimos un conjunto como una colección de cosas a las que llamamos elementos de dicho conjunto. Cualquier objeto al que pueda referirse la matemática es un elemento de un conjunto. Existen conjuntos de números, de libros, de gatitos, etc.

Hay dos modos de definir los elementos de un conjunto: por extensión y por comprensión.

Definimos los elementos de un conjunto por extensión designando a cada uno de ellos en particular. Por ejemplo, el conjunto A que consta de los elementos 2, 4, 6 y 8. Este conjunto lo escribiremos como: A = {2, 4, 6, 8}

Es claro que por extensión sólo podemos definir conjuntos con un número finito de elementos.

Definimos los elementos de un conjunto por comprensión expresando una propiedad que cumplan todos sus elementos. Por ejemplo, el conjunto A también se puede definir como:

A = { x tales que x es un número natural par menor que 10 }.

La definición de un conjunto por extensión no ofrece problemas, ya que siempre tenemos una designación clara y efectiva de cuáles son sus elementos. La definición por comprensión puede volverse problemática en el caso de conjuntos con un número infinito de elementos.

Un ejemplo de conjunto con infinitos elementos sería:

P = { x tales que x es un número natural par }.

Bueno, ¿y cuál es el problema?

Pues bien, ya hemos dicho que cualquier objeto es elemento de algún conjunto. En particular, un conjunto también puede ser un elemento de otro conjunto.

Por ejemplo, podemos definir un conjunto B cuyos tres elementos sean precisamente los tres conjuntos de números, libros y gatitos que acabamos de ver.

Consideremos ahora el conjunto cuyos elementos son todos los gatitos del mundo. Está claro que el conjunto no es un gatito y por tanto no es un elemento de sí mismo.

Los conjuntos que cumplen la condición de no ser elementos del propio conjunto se llaman conjuntos NORMALES.

¿No son todos los conjuntos de este tipo? ¿De verdad existen conjuntos que se contienen a sí mismo como elemento?

Por ejemplo, pensemos en el conjunto de todos los objetos matemáticos. El propio conjunto es un objeto matemático, y por tanto es elemento de sí mismo.

O el conjunto N de todas las cosas que no son un gatito. Se ve claramente que el conjunto no es un gatito ¿verdad?, y por tanto N debe ser un elemento de sí mismo.

Los conjuntos que se contienen a sí mismos como elementos se denominan conjuntos SINGULARES.

Además, tenemos que estas definiciones son exhaustivas y excluyentes: todo conjunto que podamos formar es normal o singular, y además sólo puede ser de uno de los dos tipos.

¡Ya estamos en disposición de entender la paradoja de Russell !

Mientras Frege trabajaba en el segundo tomo de sus 'Fundamentos de la Aritmética' un joven matemático británico llamado Bertrand Russell (1872-1970) comenzó a estudiar su obra 'conceptografía' y encontró que gran parte de las ideas en las que estaba trabajando ya habían sido publicadas por Frege 20 años antes.

A pesar de que Russell al igual que Frege buscaba cimentar el edificio de las matemáticas lo que descubrió fue más bien una carga explosiva en sus cimientos.

El 16 de junio de 1902 Frege recibía una carta de Russell que contenía la paradoja que describimos a continuación y que hizo que Frege parase la impresión de su segundo tomo e incluyese un apéndice al final del libro reconociendo que posiblemente todo el contenido de este y también del primero eran erróneos.

Russell para formular su paradoja consideró el conjunto de todos los conjuntos normales que se pueden formar. Es decir, M = { x | x no pertenece a x }.

Entonces M como conjunto será o bien NORMAL o bien SINGULAR. Si M es normal entonces M pertenece a M. Pero si M pertenece a M entonces es SINGULAR y por tanto M no pertenece a M, pero si no pertenece a sí mismo entonces es NORMAL… y podemos seguir así indefinidamente.

Lo que hemos visto es que M pertenece a M si y solo si M no pertenece a M lo que constituye una contradicción.

Para entender mejor esta paradoja vamos a cambiar los conjuntos por libros. Un cierto libro A puede 'incluir' a otro libro B como elemento si en el texto del libro A se hace referencia al libro B.

Imaginemos una biblioteca inmensa en la que estén todos los libros del mundo y reciba un ejemplar de cualquier libro que se escriba.

El bibliotecario un buen día decide ordenar todos los libros en tan solo dos estanterías altísimas. En una colocará los libros que no se incluyen a sí mismo como referencia, llamémosles libros normales. En la otra colocará los libros que se referencien a sí mismos. Por ejemplo, prácticamente todo libro de matemáticas estará en esta estantería ya que constantemente dicen «por el Teorema A que vimos en la página X» lo que es una referencia a sí mismo. También 'Alicia en el País de las Maravillas' y 'El Quijote' son de este tipo. A este tipo le llamaremos libros singulares.

Todos los libros que se puedan escribir deben estar en una de estas dos estanterías.

¿De verdad estamos tan seguros?

Después de ordenarlos el bibliotecario decide rellenar dos catálogos, uno para la estantería de libros normales con todos los libros de dicha estantería y otro catálogo para la estantería de libros singulares con todos los libros de la estantería correspondiente.

Pero una vez finalizados estos dos catálogos tiene que decidir en qué estantería colocarlos.

El catálogo de libros singulares lo coloca en la estantería de libros singulares añadiendo una última línea en dicho catálogo 'Catálogo de libros singulares'. Perfecto. Dado que dicho catálogo aparece en la última línea se referencia a sí mismo y es en esta estantería donde debe estar.

¿Pero el catálogo de libros normales? Si lo coloca en la estantería de libros normales deberá añadir una última línea que diga 'Catálogo de libros normales' pero entonces automáticamente dejará de ser un libro normal pues se referencia a sí mismo. Así que debe estar en la estantería de los libros singulares.

¡Pero un momento! Entonces no debe aparecer en la última línea del catálogo de libros normales pues no lo es. La tachamos.

Pero si tachamos esta línea ya no se referencia a sí mismo y sería un libro normal y debemos moverlo de estantería. Pero…

¡¡El catálogo de libros normales parece no encajar en ninguna de las dos estanterías!!

¡¿Acaso todo el edificio de las matemáticas es una mera falacia y debemos dejar de confiar en ella?!

Alfred North Whitehead , colaborador y amigo de Russell diría que «nunca habrá otra vez una alegre y confiada mañana».

¡En próximos artículos sabremos si algún superhéroe matemático acudió al rescate del edificio completo de las matemáticas!

Podéis ver este apasionante drama matemático en formato vídeo aquí .

También podéis descargaros el cómic de la Paradoja de Russell aquí.

Urtzi Buijs es Profesor Titular del área de Geometría y Topología en la Universidad de Málaga.

Miriam González es Desarrolladora de Software en la Universidad de Málaga.

Ambos son fundadores del canal de Youtube Archimedes Tube .

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).