La sociedad secreta de Pitágoras y el «superpoder» de los números figurados

Sin embargo, Pitágoras era tan solo la cabeza visible, el líder de una sociedad secreta, quizás una secta , que rendía culto a las matemáticas. Muchos de los resultados atribuidos a Pitágoras podrían ser obra de alguno de sus discípulos o discípulas. Un ejemplo de esto es el descubrimiento de los números irracionales por parte de Hipaso de Metaponto, quien fue desterrado por desvelar su descubrimiento contraviniendo una de las reglas de la secta Pitagórica. Pero la cosa no quedó ahí. Hay fuentes que afirman que la misteriosa muerte de Hipaso en un naufragio no fue tal, sino que fue el propio Pitágoras quien arrojó por la borda al pobre desgraciado.

Pitágoras afirmó aquello de «Todo es número», donde por número se refería a los números naturales (1, 2, 3…), dando a entender que todo el Universo, desde la música hasta el movimiento de los planetas, se podía explicar con dichos números y las relaciones entre ellos, es decir, las fracciones.

¡Imaginaos el enfado que se llevó cuando Hipaso le mostró que la razón entre la diagonal de un cuadrado y su lado no puede escribirse como una fracción!

Es precisamente de estos números, los naturales, de los que vamos a hablar en este artículo y más concretamente de la forma en la que los veían los primeros pitagóricos. Para ellos los números se representaban como un conjunto de pequeñas piedras o baldosas y recibían nombres según la configuración geométrica de adoptaran, por ello los llamaremos números figurados . Por ejemplo, a los números 1, 4, 9, 16, 25... se les llamaba «números cuadrados» porque representaban cuadrados con tal número de baldosas.

Esta terminología (la de números cuadrados) se sigue conservando hoy en día. Una de las ventajas de estos números figurados es que podemos probar resultados a través de demostraciones visuales cuyo argumento principal se resume en la expresión «¡mira!».

Ilustrémoslo con un ejemplo. Vamos a demostrar visualmente que la suma de los primeros N números impares es siempre un número cuadrado.

¿Esto es cierto? Primero vamos a comprobar algunos casos:

¿Cuál es la razón misteriosa por la que esto es cierto? Si nos fijamos en el anterior diagrama, Todo número cuadrado se obtiene del anterior adjuntando una figura en forma de L llamada gnomon .

¿Cuántas baldosas forman cada L? pues precisamente dos veces el lado del cuadrado anterior y una baldosa más, esto es 2n+1. Y un número par (2n) más 1 es siempre un número impar.

Así que, por ejemplo, el número cuadrado 25 se puede escribir como :

25=16+(2x4+1)=9+(2x3+1)+(2x4+1)=4+(2x2+1)+(2x3+1)+(2x4+1)

=1+(2x1+1)+(2x2+1)+(2x3+1)+(2x4+1)=1+3+5+7+9.

De este modo los diagramas anteriores nos ofrecen una demostración visual del Teorema.

Los pitagóricos también consideraron los números triangulares que son 1, 3, 6, 10, 15, 21, porque podemos colocar ese número de baldosas en disposición triangular.

Vamos a dar nombre a estos números:

También podemos construir un número triangular a partir del anterior, añadiéndole piedras en la base. De este modo:

Utilizando este hecho de forma recurrente vemos que cualquier número triangular es la suma de los primeros números enteros:

En general t n 1+2+3+...+ n para cualquier número natural n .

Pero así visto, calcular un número triangular no parece muy sencillo . Por ejemplo ¿cuánto vale t100 ? Tendríamos que sumar todos los números desde el 1 hasta el 100 lo que nos llevaría un buen rato.

Muchos habréis reconocido la famosa historia que involucra a uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos cuando era un joven escolar: Johann Carl Friedrich Gauss .

Se dice que estando Gauss en el colegio su maestro de aritmética quiso mantener distraidos a sus alumnos dándoles como tarea sumar los 100 primeros números naturales, pero Gauss entregó casi inmediatamente su pizarra al profesor con la respuesta correcta 5050 para mayúsculo asombro de este.

¿Cómo pudo Gauss encontrar la solución a tal velocidad? La respuesta es utilizando los números figurados. Consideramos el número triangular tn y dupliquémoslo invertido encima de este como en la figura.

Los interesados en la demostración visual del valor de la suma de los primeros cuadrados pueden encontrarla en formato audiovisual (muy apropiado para la ocasión) en el siguiente enlace de YouTube , del canal de contenido matemático Archimedes Tube que realizamos Miriam González y Urtzi Buijs.

Urtzi Buijs es Profesor Titular del área de Geometría y Topología en la Universidad de Málaga.

Miriam González es Desarrolladora de Software en la Universidad de Málaga.

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.