Así resuelve un matemático una suma insólita

Seguramente a lo largo de estos meses, en la playa, en la piscina, en los momentos previos a la siesta, o simplemente en algún tiempo muerto nos acercaremos a algún crucigrama, sopa de letras, y por qué no, a alguna otra propuesta en la que alguna sencilla operación aritmética sea la protagonista, porque no todo van a ser Sudokus. Entre las más habituales se encuentran los Criptogramas , combinaciones de letras (no siempre componiendo una frase o palabras reales) en las que cada letra corresponde a un dígito (letras iguales corresponden al mismo número, letras diferentes a dígitos diferentes). Aunque, desafortunadamente, normalmente los periódicos y revistas sólo indican la solución, sin decir cómo se llega a ella.

Vamos con un ejemplo concreto. La siguiente Suma Insólita (normalmente se les pone un título llamativo y “exótico”) fue publicada en ABC. Convendría antes de seguir leyendo, que cada uno intentara resolverlo….

Hay quienes tratan de encontrar la, supuestamente, única solución (a veces hay varias), probando sin más, mediante prueba y error, lo que seguramente nos lleve al abandono después de un rato cansados de no llegar a nada y autoflagelándonos con aquello de que “las matemáticas no son lo mío”. Pero muchas veces no somos nosotros, sino el cómo. Hay personas para las que la resolución les supone un reto, como buscar una ruta idónea para llegar a la cima de una montaña, o hallar el punto débil por el que asaltar la fortaleza, algo similar a lo que busca el matemático cuando desea resolver un problema. Y para hacerlo es necesario un método.

Métodos para intentarlo hay muchos, algunos tramposos (poner por ejemplo al ordenador a buscar la solución aprovechando que programar las condiciones no suele ser demasiado complicado), y otros que pensamos más “matemáticos” (plantear sistemas de ecuaciones y ponernos a despejar, sustituir, y manipularlas hasta convencernos de que en pocos casos llegaremos a algún sitio, acabando como el que probaba valores al azar). Lo práctico es razonar un poco, e ir con paciencia descartando las diferentes posibilidades que se nos van presentando. Y normalmente lo que sirve en unos casos, no vale en otros, es decir, no hay un método universal (al menos yo no lo conozco; esto no es extraño, las panaceas universales no existen para casi nada, aunque haya quien las venda constantemente).

Antes de nada, conviene pararse un poco a analizar lo que hay. En este caso, 18 letras, 10 distintas (o sea que aparecen todos los dígitos del 0 al 9), y por tanto algunas se repiten varias veces (las que más nos interesan, por tanto, además del lugar donde están colocadas; la U, la O y la N se repiten tres veces cada una, la S y la E dos, y el resto una única vez).

Lo primero que salta a la vista es que S = 1. En el caso extremo de que B y M fueran los valores mayores, sumarían 17. De la anterior columna, formada por tan sólo dos letras podríamos llevarnos sólo una unidad, por el mismo motivo, así que B + M < 19, lo que nos lleva a que S = 1 con seguridad.

En la última columna observamos que O + N + O = O. Tratándola como una ecuación, tenemos que O + N = 0, y como todas las letras esconden valores positivos, eso significa que esas dos letras suman 10. ¿De cuántos modos podemos sumar 10 con dos dígitos diferentes? Exactamente de cuatro modos: 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7 y 4 + 6. A partir de aquí simplemente es echarle paciencia y constancia e ir agotando todas las posibilidades, aunque en muchas ocasiones seguramente podamos descartar valores con un poco de lógica. Por ejemplo, el caso 1 + 9 no es factible, ya que el 1 está ya asignado a la letra S, de modo que en realidad sólo tenemos tres posibilidades. Probemos con la segunda, 2 + 8:

i) Si O = 8 y N = 2, entonces nos encontramos con la situación de la imagen. Se han colocado en la parte superior, en naranja, los valores que nos llevamos de una columna a otra. Obviamente en la segunda columna, C + U + D no puede valer 1 ya que sólo uno de ellos puede ser 0, y el 1 ya está colocado. Será por tanto 11 o 21.

1.- Supongamos que C + U + D = 11. Entonces E = 4 (tercera columna). La cuarta columna nos da sólo dos posibilidades de acuerdo con los dígitos que quedan sin colocar.

1.1.- Puede ser U = 3, R = 6 y B + M = 14, y esta última suma sería sólo 5 + 9. Pero se llega a una imposibilidad ya que C + D + U = 10.

1.2.- U = 5, R = 0. En ese caso, B + M = 13, teniendo que ser 6 + 7. De nuevo la situación es incompatible ya que entonces C + U + D = 17.

2.- Si C + U + D = 21, entonces E = 5, y nos percatamos de que, con los dígitos disponibles, es imposible sumar 21, por lo que esta situación tampoco es posible.

ii) Si O = 2 y N = 8, la suma de la columna es 12 y nos llevamos una unidad para la siguiente columna (que colocamos en naranja en la parte superior, ver imagen). Entonces C + U + D puede ser 7, 17 o 27.

a. Si C + D + U = 7, entonces E = 9, pero como B + M < 17 (recuérdense los valores que quedan libres), llegamos a un absurdo.

b. C + D + U tampoco puede alcanzar el valor 27, ya que los valores más grandes que quedan suman como máximo 22 (9+7+6).

c. Entonces C + D + U =17. ¿De cuántas maneras podemos sumar ese valor con las cifras que quedan? Sólo con dos: 3 + 5 + 9 o 4 + 6 + 7. Empecemos con la primera de las posibilidades.

De las tres letras, la que más información puede suministrarnos es claramente la U, ya que aparece en la suma tres veces en total. Vamos a ir fijando entonces su valor entre los tres posibles:

1.- Si U = 5, entonces R = 1, ya que 2U + 1 = 11, que no puede ser ya que el 1 ya está utilizado.

2.- Si U = 9, entonces 2U + 1 = 19, y tampoco puede ser ya que entonces R = 9, y recordemos que letras distintas deben tener valores distintos.

Está claro entonces que U = 3. Completando ese valor y los que se derivan de él, deducimos sin demasiada dificultad ¡¡¡¡CUATRO SOLUCIONES DISTINTAS!!!! (El periódico sólo citaba la última).

Esto indica por un lado que el pasatiempo estaba mal puesto (a veces se advierte en el enunciado: puede haber más de una solución, pero en ese caso, el apartado de soluciones debería indicar TODAS, cosa que no suelen hacer). Por otra parte, aún quedan un montón de posibilidades que probar para descartar o añadir otras soluciones (recuerden que aún hay más posibilidades para la O y la N). Habitualmente, el lector en cuanto alcanza una, queda satisfecho y piensa que lo ha terminado. ¡¡¡Eso nunca lo haría un matemático!!! Hay que dejar exploradas todas y cada una de las variantes. Sólo así está bien hecho el pasatiempo. Exploren dichas posibilidades. Quizá encuentren alguna que otra sorpresa (y de paso nos la cuentan). En la imagen dejamos otras dos propuestas de la misma época para los que hayan cogido afición.

Una referencia indispensable en cuanto a los pasatiempos matemáticos de la prensa es el blog del grupo Alquerque, grupo que lleva desde Sevilla muchos años trabajando las posibilidades de los juegos (análisis, estrategias, etc.) en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Encontrarán muchas más propuestas, la mayor parte asequibles a todos los públicos.

Desde el portal de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española DivulgaMAT , se proponen cada verano diferentes retos relacionando matemáticas con otras disciplinas con las que aparentemente, y sólo aparentemente, parece que no hay demasiada relación.

Si su fuerte es el cine, y consideran que no hay título ni cuestión al respecto que se les resista, sin duda deben intentar resolver el XIII Concurso de Cine y Matemáticas . Se trata de averiguar el título de una película a partir de la resolución de unos sencillos ejercicios junto a cuestiones de tipo cultural. En esta ocasión aparecen 13 preguntas de cada tipo (no es que se tiente a la triscaidecafobia, que también, sino que al ser el decimotercer año que se propone, parecía lo más apropiado).

La magia también tiene su lado matemático, y un desafiante reto en La ruleta de colores . Y la literatura.

En efecto, lo clásico es una buena lectura que nos traslade a otros tiempos, lugares, y por qué no, a otras realidades. Nuestro bagaje cultural nos lo agradecerá, y junto a autores consagrados como Martin Gardner, Ian Stewart, Marcus du Sautoy , etc., actualmente hay una excelente bibliografía de novelas (si éste es el género que nos gusta), libros de divulgación, historia de las matemáticas, o por qué no, libros más técnicos, de autores españoles. En este enlace se puede acceder a un catálogo de casi un millar de libros, prácticamente todo lo que se ha editado en nuestro país relacionado con las matemáticas en los últimos años, acompañado de un comentario o una minuciosa reseña, para no arriesgarnos con lo primero que se nos ocurra.

El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME)