El 'teorema del suflé' o las matemáticas 'esponjosas'

Inmediatamente nos surge una primera cuestión: ¿existe este tipo de figuras geométricas flexibles? El gran matemático francés Augustin-Louis Cauchy demostró en 1813 que, en caso de existir, deben ser poliedros no convexos. Digamos, para no entrar en definiciones técnicas, que un poliedro convexo es aquel que puede apoyarse en todas sus caras sobre una superficie plana. Este importante resultado elimina de una tacada una amplia colección de poliedros —prismas, pirámides, …— como elementos de la familia de poliedros flexibles pero no responde nuestra pregunta.

La prueba de que existen superficies flexibles en el espacio de tres dimensiones ha tomado mucho tiempo y se ha producido en varias etapas. El ingeniero y matemático francés Raoul Bricard clasificó en 1897 todos los octaedros articulados (hay tres tipos y tienen ocho caras triangulares, doce aristas y seis vértices), llamados precisamente octaedros de Bricard , aunque tienen la particularidad de que algunas de sus caras se cortan entre sí, lo cual no permite su construcción como poliedro aunque sí como figura articulada (formada sólo por aristas).

En 1977, el matemático canadiense Robert Connelly fue capaz de construir un poliedro flexible formado por caras que no se cruzan, aunque un poco complicado. Un modelo simplificado se conoce como flexidrón de Steffen, fue inventado en 1978 por el matemático alemán Klaus Steffen, y está formado por 14 caras triangulares, 21 aristas y 9 vértices. Si quieres fabricarlo y comprobar su flexibilidad, puedes encontrar un modelo desplegable en el artículo de Dominique Souder y Francis Dupuis publicado en el número 57 de la revista Hypercube (julio de 2004). De hecho, un modelo de metal estuvo expuesto en una sala del Instituto de Altos Estudios Científicos, situado en la localidad francesa Bures-sur-Yvette.

Como es costumbre en cualquier ciencia, y las matemáticas no son una excepción, cada respuesta a un problema sugiere nuevas preguntas. Así que, una vez comprobada su existencia, ¿qué más se puede decir de estas figuras? Una cuestión importante era la conocida como conjetura del fuelle, comunicada por Robert Connelly en el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en Helsinki el año 1978. Esta conjetura afirma que el volumen de dichos poliedros se mantiene constante durante el proceso de flexión. Esto sería una sorpresa porque, si pensamos en una figura plana como un rectángulo, se observa claramente que su área disminuye al flexionarlo haciendo disminuir su altura. ¿Por qué iba a ser distinto en el espacio tridimensional? Dice la leyenda que Dennis Sullivan (ganador Premio Abel 2022) insufló el humo de un cigarro en el interior de un flexidrón de Connelly y observó que no salía humo mientras lo flexionaba. Como conjetura está bien pero como demostración deja mucho que desear. Evidentemente, los fuelles son superficies que cambian de volumen pues expulsan aire al comprimirse pero, como sabemos, no están formados por caras poligonales. Así que la pregunta es: ¿los poliedros flexibles se comportan como los fuelles?

La conjetura del fuelle se convirtió en realidad para todos los poliedros el año 1995 al ser demostrada por Idzhad Sabitov utilizando herramientas algebraicas, lo cual constituye toda una sorpresa teniendo en cuenta el carácter geométrico del problema. Quizá esto explique que la demostración no se haya completado hasta casi 20 años después de su planteamiento así como no es de extrañar que haya problemas clásicos, de momento irresolubles, que tengan que esperar al desarrollo de técnicas adecuadas, de diferentes áreas de la matemática, para ser finalmente desentrañados.

No vamos a entrar en más detalles pero las investigaciones sobre estas figuras no acaban aquí, pues otras cuestiones relacionadas han sido planteadas y algunas resueltas. Por ejemplo, ¿cómo cambiar las dimensiones del flexidrón para aumentar su flexibilidad y cuál es el máximo movimiento permitido? ¿Qué ocurre en un espacio de dimensión mayor que tres? También se han ideado algunas variantes del flexidrón de Steffen como el icosaedro ortogonal de Jessen (formado por 20 caras triangulares), que puedes incluso fabricar con ayuda de una impresora 3D a partir de las instrucciones que se indican en la página Thingiverse .

Como ocurre en algunas ocasiones —aunque más de las que podemos imaginar—, estas cuestiones no se restringen exclusivamente al ámbito de la matemática pura, exenta de aplicaciones prácticas, pues nos encontramos cada vez más frecuentemente con diseños arquitectónicos en forma de superficies tridimensionales con características concretas de flexibilidad y resistencia: cúpulas de grandes estadios, geodas, cerramientos de diversas estructuras, etc. Tengan o no aplicaciones concretas, lo que es innegable es que estos estudios permiten descubrir algunos detalles sobre propiedades ocultas de nuestras familiares figuras geométricas.

Pedro Alegría. Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la RSME