'Salirse por la tangente' o 'buscar el mejor ángulo': los términos matemáticos que adoptó la literatura

Es evidente que cuando se quiere enumerar objetos, los escritores van a utilizar números, o cuando van a describir su forma usarán términos geométricos (triángulo, rectángulo, etc.). Por supuesto no voy a hablar de esas evidencias, sino más bien de expresiones que requieran algo más que el propio nombre.

Esta expresión se utiliza ya casi universalmente para describir algo imposible. Es muy habitual en los artículos periodísticos, y en muchas novelas, tanto que al menos hay dos cuyo título es precisamente ese: La cuadratura del círculo (1999), de Álvaro Pombo y García de los Ríos ; y uno mucho más antiguo, 'Libro de la cuadratura del círculo' (siglo IX), de Al-Yáhiz. También han habido programas de radio y televisión y hasta canciones como la del grupo Vetusta Morla con esa misma referencia.

Como sabemos la cuadratura del círculo fue uno de los problemas clásicos de la Antigüedad. Lo hemos tratado en diferentes ocasiones desde esta misma sección , por lo que simplemente recordaremos que, a pesar de que cada cierto tiempo aparezcan personas que se empeñan en jurar y perjurar que han resuelto el problema, es imposible. En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindemann (1852 – 1939) demostró que el número π es trascendente, y por tanto no verifica ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros. No se puede por tanto construir con regla y compás un segmento de longitud π. ¿Y de otro modo?

En 1925, el matemático y filósofo polaco Alfred Tarski (1902 – 1983) planteó si sería posible descomponer un círculo en un número finito de partes de modo que, mediante movimientos del plano (o sea recolocando las piezas como en un rompecabezas), se obtuviera un cuadrado con la misma área. Esto ya había sido planteado en 1833 por el húngaro Farkas Bolyai (1775 – 1856) de un modo más general (Dados dos polígonos simples de la misma área, ¿se puede descomponer uno de ellos en un número finito de piezas poligonales de modo que, recombinándolas, se obtenga el otro?). En 1989, el matemático húngaro Miklós Laczkovich (nacido en 1948) demostró que sí se puede (en una demostración compleja y difícil de seguir), pero es necesario dividir el círculo en un mínimo de 10^50 piezas. En definitiva, una situación imposible de llevar a la práctica armados de papel y tijeras.

Benito Pérez Galdós escribe el siguiente diálogo en Fortunata y Jacinta (publicada en 1887, sólo cinco años después de la demostración de Lindemann):

Carlos Ruiz Zafón, en La sombra del viento (2001):

Y un último ejemplo, de los innumerables que podemos encontrar. Rosa Montero , en 'La loca de la casa' (2003) escribe:

El círculo, con diferencia, es seguramente el elemento geométrico que más se utiliza en la literatura (raro es el libro en que no aparece), pero haciendo referencia a su forma, sino con otras acepciones, como círculo de amigos (que digo yo que, si fueran cinco amigos, podrían decir, pentágono de amigos, o si fueran cuarenta, tetracontágono; pues no, siempre se va al círculo, lo cual es un abuso de lenguaje, obviamente, porque por muy grande que sea ese número, siempre será un número finito, un polígono, por tanto). También se utiliza como sinónimo de sociedad o club (círculo de recreo), círculo vicioso (como sinónimo de algo sin fin), etc. En una de esas acepciones lo utiliza Erich Maria Remarque en 'Sin novedad en el frente' (1928):

Menos frecuente, pero bastante extendida, está esta expresión, que se utiliza en el sentido de dar una respuesta que no se corresponde con lo que se está preguntando, normalmente de manera intencionada cuando la pregunta es un tanto comprometida. Se utiliza también para cambiar de tema en mitad de una conversación, muy frecuente (hacerlo) en el lenguaje discursivo y político.

En la escuela nos decían (incorrectamente, como veremos después) que la recta tangente a una curva era aquella que 'tocaba' o 'pasaba' por la curva en un único punto. De ahí que, 'aprovechando' ese punto común, el interpelado coge el camino azul de la gráfica, en lugar de seguir por el de color rojo que era el del tema a tratar.

Esa es la idea en el lenguaje, pero esa no es la definición correcta de tangente, porque en una situación como la de la función valor absoluto (la de color rojo de la imagen siguiente), la recta y = 0 (en color azul), 'toca' en un único punto a la función, pero no es tangente matemáticamente.

Porque para que exista la recta tangente, la función o la curva tiene que ser derivable. Y en este caso, no lo es (en un entorno del (0, 0), la derivada por la derecha es 1, mientras que por la izquierda es – 1). Como suelo decir a mis alumnos, la tangente es como una finísima película de jabón, que se rompe cuando encuentra un pico, una arista. Cuando eso pasa, no hay tangente. O como cuando pasamos suavemente la palma de la mano por una superficie. Si nos “picamos”, no hay tangente.

A mí me gusta más relacionar lo de irse por la tangente, con la gráfica de la función tangente, que es la de esta otra imagen. Es una función periódica (se repite en intervalos de longitud π), que al acercarse a los múltiplos impares de π/2, se 'va' hacia infinito a la derecha, mientras que después 'vuelve' desde menos infinito (hay una asíntota vertical). Queda claro que, ante una pregunta incómoda, se marcha a donde le da la gana (a infinito), para al poco, volver de nuevo, y volver a irse, etc.

De nuevo, Benito Pérez Galdós, en su magistral 'Fortunata y Jacinta', nos dice (el adjetivo magistral lo he puesto adrede: por si alguien piensa que me he confundido y en realidad hablo de 'La Regenta' de Leopoldo Alas Clarín ; por cierto, ésta tiene 21 referencias circulares, como el círculo aristocrático de Vetusta y más de una docena a otros términos matemáticos):

Ejemplo claro no sólo de utilizar la expresión, sino también de poner de manifiesto un caso práctico.

Otra de las nociones matemáticas más utilizadas, no sólo en la literatura, sino también en nuestra vida cotidiana es la de ángulo, y muchos de sus tipos (recto, agudo, obtuso, complementario, suplementario, etc.). De hecho, cuando yo la oigo, lo primero que me viene a la cabeza es aquello de 'Del salón en el ángulo oscuro…'. Por supuesto, también aparece en Fortunata y Jacinta, y muchas veces. Una es:

O Patricia Highsmith , en 'Extraños en un tren' (1950), para transmitir nerviosismo:

Cualquier novela que cojan, prácticamente cualquiera, va a incluir alguna referencia angular (rostro anguloso también sirve). Pero yo me voy a centrar en una expresión más futbolera, que no sé si muchos cuando se dice, entienden su significado: «no tenía ángulo», o «buscaba el mejor ángulo». Se suele emplear cuando el futbolista lanza el balón hacia la portería desde una posición lateral. Pero, ¿saben por qué lo del ángulo? Empecemos diciendo que el objetivo del fútbol (y otros deportes con portería) es meter el balón dentro de la del contrario, tratando de hacer inútil los esfuerzos del guardameta. Eso creo que es de Perogrullo.

Desde el punto de penalti, el ángulo posible para marcar es el dibujado (nos olvidamos del efecto; con él, se puede obtener un poco más de amplitud. Ahí les dejo la cuestión: ¿qué curva máxima podemos abrir tirando con efecto? ¿Cuánto mejoraría la amplitud?). ¿Sabemos calcularlo?

No es muy complicado, pero para simplificar no pensaremos más que a ras del suelo, porque si consideramos la altura, necesitamos calcular otro ángulo más. La longitud de la portería es 7,32 metros, y su altura es de 2,44 metros. Si alguno piensa si no podían haberla diseñado con valores enteros, la razón es que así es, ¡¡pero en medidas británicas!!

Porque fueron ellos los 'teóricamente inventores', y pusieron 8 yardas de largo, y 8 pies de alto (números enteros), pero al pasarlo a metros, aparecen valores decimales. El punto de penalti está a 11 metros de la portería (12 yardas). Así que el ángulo se puede calcular fácilmente con un poco de trigonometría básica.

Dividimos el ángulo a la mitad (como vemos en el dibujo), quedándonos con un triángulo rectángulo. Utilizando la definición de tangente de un ángulo, tenemos que

Si alguno se pregunta por qué no ha hecho falta calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo (teorema de Pitágoras), que piense en Tales de Mileto y su no menos famoso resultado.Para obtener el ángulo α, hay que “despejarle” tomando la función arco tangente, que es la inversa de la tangente. Eso nos da que α = arc tg (0,3327) α 0.32. Y el doble será, un ángulo de 0,64. ¡¡Oh, mon Dieu!! ¡¡No puede ser un ángulo tan pequeño!! A ver colega, que ese resultado está expresado en radianes. Si quieres grados sexagesimales, tendrás que utilizar una sencilla proporción (recordamos que α radianes son 180º)

Esa es la amplitud para lograr gol desde el punto de penalti. La pregunta que uno se hace es obvia: ¿existirá algún punto del campo donde tengamos mayor amplitud, y por tanto más posibilidades de lograr un gol? Evidentemente desde la línea de la portería tenemos 180º, pero no se suele estar ahí porque el equipo contrario no nos deja. Digamos que a una distancia mayor o igual a los 11 metros del punto de penalti.

Y ya puestos, si estamos situados sobre la línea de banda, ¿desde qué punto tenemos más posibilidades de meter gol? Un típico problema de optimización, de cálculo de un máximo. Por cierto, en baloncesto, dado que lanzamos en forma parabólica siempre hacia arriba, da igual el punto del campo en el que estemos, lo único que afecta es la distancia del jugador a la canasta. Por eso existe la línea de triples, que no es una línea, sino una curva que alguien (no un C4OP) ha calculado.

Existen por supuesto muchísimas más aportaciones matemáticas a la literatura (si encuentran alguna este verano, mándenmela y si se sale de lo común, la explicamos; incluso las equivocadas, que también las hay). Siempre que trato este tema, me gusta traer a colación un párrafo de Las ratas (1962), de Miguel Delibes , con el que termino, como ejemplo de excelencia:

Sólo garabateando un gráfico como el de la imagen, podemos hacernos a la idea de lo que trata de decirnos el autor, respecto al caciquismo del pueblo en el que vive el Nini. Y sin él, el lector, tampoco se enterará mucho.

Desearles para terminar un estupendo verano (propondré un concurso sobre Cine en DivulgaMAT, por si se animan). Hasta el curso que viene.

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.