En busca del «sentido matemático» y en qué lugar deja la nueva ley de Educación a las Matemáticas

Se propone como una actividad extraescolar, gratuita y para todos los alumnos españoles, independientemente de que asistan a centros públicos, privados o concertados. Una vez a la semana, durante tres horas, se reúne junto a una veintena de compañeros, a 'disfrutar' con retos, problemas, enigmas, y otras actividades, asesorados por profesores (normalmente de enseñanza secundaria, aunque hay también universitarios) que “donan” su tiempo y saber de un modo altruista y hasta el momento, sin reconocimiento alguno por parte de las administraciones educativas. Se propone a alumnos de 12 – 13 años (6º de primaria y 1º ESO), que son seleccionados a partir de la realización de una prueba (unos ejercicios, que no es necesario acabe resolviendo completamente; basta con que indique cómo trataría de solucionarlos, su esquema de pensamiento y razonamiento). La duración del proyecto, si se es elegido, es de dos cursos, en los que también se plantean excursiones, y otras actividades en periodos vacacionales.

Comenzó su andadura experimental en la Comunidad de Madrid con el apoyo de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense, y posteriormente se ha ido extendiendo a través de toda la geografía, una vez que se iban obteniendo apoyos, y profesores voluntarios. Una información más detallada de su historia y actividades (y de materiales con los que trabajan) se puede consultar en este enlace .

Es claro que cada país, cada comunidad, cada individuo, tiene su propia idiosincrasia (no sólo Spain is different) y personalidad. Una de las más llamativas de España es la proliferación de nuevos planes de estudio prácticamente con cada nuevo gobierno (no es de ahora; casi cada ministro, desde el segundo tercio del siglo XIX, ejecuta una reforma educativa). No sé si es bueno o malo, eso lo deberán juzgar las autoridades competentes, pero lo que es claro es que no permanecen el tiempo suficiente como para poder establecer conclusiones sobre su acierto (me hace gracia cuando se hacen comparaciones con países que tienen currículos estables durante más de veinte años; en esos casos sí se tienen argumentos, pero no cuando cambiamos 'cada diez minutos'). En la actualidad se acaba de proponer la LOMLOE .

En esta ocasión, parece que sí se han tenido en consideración algunas ideas de profesionales en educación matemática (veremos finalmente en qué quedan), concretamente un documento elaborado por el CEMat (Comité Español de Matemáticas). Lo que desde luego no falta es un conjunto de nuevos términos y acepciones que hay previamente que tratar de asimilar. Si en otros planes tuvimos que familiarizarnos con las «competencias», ahora hay que hacerlo con el «sentido matemático». Definen éste como «el conjunto de capacidades relacionadas con el dominio en contexto de contenidos numéricos y algebraicos, geométricos, métricos y estocásticos, que permiten emplear estos contenidos de una manera funcional y con confianza en las propias habilidades». Como en toda ley, decreto, norma, etc. oficiales, todo muy 'bonito', muy formalmente expuesto y todo eso, pero hablando en román paladino: ¿en qué se diferencia de las anteriores legislaciones?

Básicamente en cambiar la idea de «saber matemáticas», por la de «pensar matemáticamente». Interesa más el proceso de razonamiento que conocer muchas definiciones, resultados, teoremas, etc. Eso no significa que no hagamos nada de esto, no nos vayamos a los extremos, porque evidentemente para razonar sobre triángulos tendremos que saber qué es un triángulo, sus tipos y algunos resultados que verifican los triángulos. Este plan no sustituye al anterior, sino que pretende reforzarlo. Si el objetivo es adquirir competencia matemática (recordemos: resolver problemas, argumentar y demostrar, establecer conexiones entre diferentes situaciones que tengan relación y saber comunicar y representar), ahora se pretende que se consiga en diferentes ámbitos matemáticos (esos “sentidos”, que son básicamente cinco: numérico, espacial, algebraico, de la medida y estocástico). A ello se añade que en todo momento trataremos de “humanizar” las matemáticas (es obvio que son una creación humana; fíjense si tiene relación con las humanidades que decíamos) por lo que un sexto sentido socioemocional debe estar presente en todo momento en nuestras clases, en el quehacer, etc. Este sentido no es un hecho “de moda”: los estudiosos en didáctica de la matemática han detectado importantes obstáculos en el aprendizaje (bloqueos, ideas preconcebidas, etc.) por culpa de este aspecto, y por eso se pretende poner remedio a este inconveniente. En cualquier caso, todas las ideas teóricas son perfectas; veremos cómo se llevan a la práctica, y se necesitará un tiempo para que la comunidad escolar (alumnos y profesores fundamentalmente) asimile y se adapte a esta nueva perspectiva.

Veamos un ejemplo de cómo trabajar esas competencias matemáticas a partir de un ejercicio de los que se proponen en la selección de alumnos del proyecto ESTALMAT. Como hemos dicho nos interesa el esquema de razonamiento y no tanto encontrar la solución final. Supongamos una habitación de planta cuadrada en la que se van a disponer varias lámparas de pie. Hay que colocarlas junto a la pared, con la condición de que haya el mismo número de lámparas en cada una de las cuatro paredes de la habitación. Además, sólo se puede poner una lámpara como máximo en cada uno de los cuatro rincones de la habitación y, en ese caso, la lámpara se cuenta como perteneciente a las dos paredes que forman ese rincón (no siempre es necesario poner lámparas en los rincones). Resolver las siguientes situaciones:

1.- Si hay que colocar 12 lámparas. ¿Cómo se deben disponer? Hacer un dibujo que nos muestre, de un solo vistazo, la solución.

2.- Si ahora disponemos de 10 lámparas, ¿Cómo se deben disponer? Como antes, hacer un dibujo que nos lo muestre.

3.- Resolver la cuestión con 11 y 13 lámparas, respectivamente.

4.- Probar con otros cuatro números consecutivos cualesquiera, por ejemplo, 20, 21, 22 y 23 lámparas y demostrar que también es posible. Como antes, mostrarlo mediante un dibujo explicativo.

5.- Para un número cualquiera de lámparas, ¿podrías hacer unos dibujos que representen las diferentes soluciones del problema según sea ese número? ¿Cómo hacerlo? ¿Cuántas habrá en cada pared?

Como vemos se trata de un ejercicio para el que no necesitamos echar mano de ningún teorema, ni concepto matemático especial. Pero sí necesitamos las matemáticas. Leído el enunciado al completo, es evidente que los apartados están baremados en orden creciente de dificultad (ahí entraría la componente socioemocional que comentábamos: el alumno se motiva si va resolviendo algún caso, y abandona si no le sale nada o no sabe por dónde cogerlo). Para una persona adulta, bastaría la última pregunta, la que voy a comentar a continuación. Una estrategia para ver cómo se comporta la situación puede ser resolver algún caso concreto, y a partir de él, inferir un procedimiento que me permita resolver más situaciones.

Por ejemplo, el caso más sencillo, el de 4 lámparas. Es obvio que una posibilidad es colocarlas en las cuatro esquinas para satisfacer todas las condiciones, como indica el dibujo.

Añadamos una lámpara más en cada pared (recuerden que en las esquinas no podemos poner más de una lámpara). Eso nos lleva al segundo dibujo.

Si contamos el número de lámparas, hemos colocado 8 lámparas en total. Representemos ahora estas situaciones de un modo 'menos artístico', mediante números, del siguiente modo:

Si vamos contando las lámparas utilizadas, tenemos 4, 8, 12, 16, ….. Claramente todos esos valores son múltiplos de 4, es decir, 4n, siendo n un número natural (1, 2, 3, 4, etc.). Así pues, siempre que tengamos que colocar una cantidad de lámparas que sea múltiplo de 4, podemos hacerlo mediante esa estructura. Hay otro modo, ¿sabrá encontrarlo el lector?

Pongamos ahora una única lámpara en una esquina. Para que todas las paredes tengan el mismo número de lámparas, nos encontramos con “esta estructura”, lo que nos da 7 lámparas.

Dejando fija la lámpara de la esquina, las siguientes de este grupo serían las que incrementan una lámpara más a las dadas, esto es:

Que son, respectivamente, 11 lámparas, 15 lámparas, ..., en general 4n + 3. Como vemos, si dividiéramos entre 4, tendríamos resto 3. Siempre que se de esa configuración, sabremos cómo disponer las lámparas. Por ejemplo, si tuviéramos 127 lámparas (127 = 4 x 31 + 3), se dispondrían así:

No es extraño, ni casual que las cosas queden en relación a los múltiplos de 4. Dense cuenta que estamos acomodando las lámparas en una habitación cuadrada (rectangular sería igual). Pueden pensar en situaciones triangulares, pentagonales, habitaciones con otro número de paredes, a ver qué sucede.

Como habrá deducido el lector, faltan dos situaciones: las de la forma 4n + 1 y 4n + 2. ¿Se atreve con ellas?

Es evidente que este tipo de cuestiones, ejercita mucho más el razonamiento y la inteligencia que hacer trescientas raíces cuadradas o los típicos de cálculo de los conejos, gallinas y demás bichos sabiendo el número de patas u otros datos (que no digo que no haya que hacerlos, sino que resolviendo uno es suficiente). Pero demos tiempo al tiempo.

**NOTA DEL AUTOR:

Me gustaría agradecer la lectura y las aportaciones de muchos lectores a la cuestión planteada la semana pasada en esta sección. El único objetivo del artículo era incitar a la reflexión sobre la importancia en nuestro día a día de las matemáticas, aunque pasen desapercibidas (al igual que el resto de ramas del saber, no menos imprescindibles). Por supuesto, para plantear un debate que tenga una mínima repercusión y más desde un texto escrito, es necesario verter alguna que otra exageración que haga captar la atención, que 'pique' un poco. Sinceramente creo que no había demasiadas, quizá el juego de no poder utilizar nada que tenga que ver con las matemáticas, con el que sólo se trataba de que nos detengamos un momento a pensar en qué sitios aparecen y son necesarias, y así darse cuenta de que son más de los que pudiéramos imaginar (seguramente ocurre lo mismo con el resto de disciplinas).

Esperaba un aluvión de respuestas negativas (algunas han habido), pero me ha sorprendido gratamente que la mayor parte han sido favorables a la tesis, aportando además datos y circunstancias muy coherentes y bien razonadas. Algunos siguen pensando que las matemáticas son un mero instrumento (sigo insistiendo en que la parte técnica es la menos interesante de la filosofía matemática), y que su utilización es exclusiva de los profesionales de las mismas, abogando porque el ciudadano medio sólo necesita las cuatro operaciones básicas. Si así fuera (argumento bien rebatido por otros lectores), no necesitaríamos nada de tiempo para su enseñanza, porque una calculadora nos hace esas cuentas mucho más rápido y eficientemente que cualquier persona. Pero claro, en seguida aparece la necesidad, por ejemplo, de calcular un porcentaje, o relacionar unos datos con otros (reglas de tres, término lingüístico que se quiere desterrar, no porque se quiera eliminar el concepto, que como digo es imprescindible, sino porque sugiere un procedimiento mecánico de ejecución, y créanme, no hay nada más incompatible que asociar matemáticas con rutina; las matemáticas son razonamiento, pensamiento, lógica, crítica, lo más antagónico a método memorístico, repetitivo, algorítmico y aburrido, aunque ese aspecto sea el que más ha calado en la ciudadanía, y claro, de esos barros …), o hacer repartos, o valorar si un 3x2 es mejor que un 2x1, o saber si un gráfico a partir de unos datos es correcto o engañoso, etc. Eso no te lo hace la calculadora. Y no sé ustedes, pero tampoco me fio de heterodoxas interpretaciones (a veces, ni me fio de mí mismo, o sea que ya ven).

Hace unos días se celebró en mi ciudad (en otras también se suceden estos eventos) Matemáticas en la calle, en el que se planteaban retos, enigmas, actividades diversas, en cuya resolución aparece de algún modo el razonamiento lógico-matemático, y se proponían a todo el que quisiera «entretenerse» un rato. Y los maestros de ceremonias (los encargados de plantear y explicar cada actividad) y verdaderos triunfadores de la jornada no fueron profesores, sino chavales de 13 – 14 años (incluso menores), algunos ajenos a la organización, que simplemente pasaban por allí atraídos por lo que se proponía. No se les veía tristes, ni amargados, ni infelices, ni que se les esté «arruinando su niñez».

Ni eran «cerebritos» seleccionados, sino chavales que disfrutan igual con un balón de fútbol que con este tipo de propuestas. Según un lector los niños deberían simplemente «jugar y aprender a vivir». Pues efectivamente, las matemáticas les dan respuesta a ambas cosas. Otro comentario que nos hicieron ha expresado maravillosamente algunas de las posibilidades que proporcionan las matemáticas: «sirven para organizar mentalmente la información, eliminar lo superfluo, y presentar los resultados de un modo claro y práctico».

Un último apunte que considero absolutamente cierto: un mal profesor puede hacernos odiar una asignatura (cualquiera, no sólo las matemáticas, aunque dada su naturaleza, para éstas ni siquiera es necesario que sea malo: basta con que sea regular, con que las transmita de un modo apático e indiferente). La docencia es una profesión vocacional, y para desempeñarla medianamente bien, se necesita actitud y aptitud (esas cosas que tantas veces pedimos a nuestros alumnos). No basta con tener los conocimientos: hay que 'vivir' las matemáticas.

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.