Qué son las coordenadas polares y para qué sirven

Recuerden el famoso chascarrillo en el que se ha atascado la puerta de una lavadora que no se abre ni a tiros. Llamada al técnico, un par de miradas al aparato, un golpecito en un lugar concreto, se abre, y por la broma solicita 200 € (es una cantidad inventada; probablemente pediría menos, pero aun así demasiado por cinco minutos de 'trabajo', a juicio del cliente).

Y entonces el técnico le aclararía que no es sólo el tiempo, sino también el saber. Para resolver un ejercicio o un problema de matemáticas (o de física, o de química, o de lo que sea), primero hay que entender bien la situación (perdonen que insista en lo que comentamos hace un par de semanas, lo de trabajar y entrenar el sentido matemático : se ha malacostumbrado a los estudiantes a resolver situaciones mecánicas, algorítmicas, de aplicar una fórmula y se acabó; eso no son las matemáticas), analizar (pensar), y utilizar la herramienta que consideramos más adecuada (que a lo mejor no vale, y hay que intentarlo de otro modo). Y para eso, obviamente, necesitamos esas 'herramientas'.

Vamos a un ejemplo práctico concreto. En la escuela nos enseñan el sistema de coordenadas cartesianas (ya saben, en honor a René Descartes, su 'inventor'), que además los estudiantes entienden muy bien ya que es 'como el juego de los barcos' (en realidad es al revés: es el juego el que utiliza las coordenadas cartesianas, pero bueno, dejemos que los chicos se alegren). Es intuitivo: dos ejes perpendiculares (uno el OX, el otro el OY) que se cortan en un punto que llamamos origen (el (0, 0)), y en los que se ha establecido unas medidas y un sentido (a la derecha del origen los valores positivos, a la izquierda los negativos para el eje de abscisas, el OX, y para el eje de ordenadas, el OY, los valores positivos hacia arriba, y los negativos hacia abajo del origen). Cualquier punto, se localiza de este modo de un modo muy sencillo. En la imagen vemos el punto (2, 1), y en general, un punto cualquiera (x, y), sin más que saber la distancia del punto a cada eje.

Con este sistema de representación todo parece muy sencillo: se seleccionan varios puntos, y uniéndolos podemos visualizar rectas, parábolas, triángulos, en general muchos objetos que 'viven' en el plano (cuando nos referimos al 'plano', ya saben, cualquier objeto que tenga dos dimensiones, es decir, longitud y ancho, las que corresponden a esos ejes OX y OY, respectivamente). Pero he aquí que queremos representar un objeto muy común, una circunferencia (todo el mundo lleva monedas en el bolsillo, o se come una galleta circular, o baila un aro, en fin, objetos con contorno circular). Probablemente también en la escuela, en algún momento hasta nos dirían que una circunferencia de centro el punto (a, b) y radio R, tiene por ecuación la expresión

Si estudiaste la EGB (lo digo porque lo sé, por ser uno de esos alumnos), nos probarían de dónde sale esa expresión (el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de uno fijo, el centro). Ahora no tengo claro que eso se demuestre, pero puede que sí, por lo menos en algunos lugares. Porque yo no sé ustedes (los C4OP , seguro que no), pero a mí me gusta que me demuestren de dónde salen las cosas, porque verán, los actos de fe los dejamos para otros lugares, pero no para las matemáticas. Y los C4OP preguntarán, ¿y para que quiero yo esa 'horrenda' fórmula? Hay una respuesta inmediata: para que dibujes la circunferencia con un poquito de precisión, y no como haría tu hijo de tres años (que, por cierto, ojalá todos mantuviéramos la curiosidad y las ganas de aprender de esa edad; mejor nos iría en muchas cosas). Gracias a esa ecuación, sustituyendo valores en x (o en y), obtenemos puntos del plano que pertenecen a esa circunferencia, despejando la otra variable. Así, por ejemplo, en la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1

sabemos que los puntos (1, 0), (0, 1), (–1, 0), (0, –1) pertenecen a esa circunferencia, pero también estos:

Y uniéndolos, como pasaba con la recta o la parábola, perfilamos la circunferencia (en la imagen se han resaltado todos esos puntos).

También en la escuela (¡¡cuánto debemos al colegio y a sus maestros!! Y no sólo conocimientos, por cierto), nos dijeron que el área del círculo de radio R (la superficie que encierra la circunferencia; también nos decían que la circunferencia no puede tener área porque es una línea, y por tanto sólo tiene longitud) era πR^2. Y nos aprendíamos aquella expresión sin más, sin saber a cuento de qué era de esa forma. Los que siguieron con estudios más avanzados, aprendieron que, gracias al concepto de integral , era posible hallar el valor de muchas superficies planas (y algunos volúmenes de cuerpos tridimensionales). En el caso del círculo de centro (0, 0) (da igual dónde lo situemos, el círculo de radio R tendrá la misma superficie si lo colocamos centrado en el origen, que en el punto (1500, 2700): eso sólo entorpece las operaciones inútilmente) y radio R, hay que resolver la siguiente integral:

Y aquí empiezan los problemas. El cálculo de integrales no es una cuestión tan inmediata como otras. En este caso, resumiendo lo que tenemos que hacer, necesitamos un cambio de variable (hay que utilizar por tanto la herramienta teorema del cambio de variable de nuestro maletín de utensilios, para conocer cuándo y cómo se debe emplear) que nos elimine la raíz cuadrada del binomio que es lo que nos estorba para resolver la integral. Gracias a las fórmulas trigonométricas (otra herramienta), tenemos que con los cambios x = R cos(t), o x = R sen(t) (sen y cos son, respectivamente, las funciones seno y coseno) desaparece la raíz cuadrada (nuestro objetivo), pero llegamos a una integral trigonométrica en la que aparece o el seno o el coseno elevado al cuadrado. Y resolver esas pasa por ir al ángulo doble (o sea, más fórmulas trigonométricas que hay que saber), sin contar con que hay que tener mucho cuidado con unos valores absolutos que salen por ahí, y otras sutilezas que no detallo por no aburrir a los C4OP a los que les basta con ir a la calculadora para resolver el problema (no se dan cuenta, o no se quieren dar cuenta, que alguien tuvo que implementar correctamente un algoritmo en el software que utilicen para que nos dé la respuesta correcta; es decir,alguien tuvo que saber todo esto que digo; pero eso no les preocupa, total, ya está hecho).

Pero en el pasado hubo otras personas de carne y hueso como nosotros que pensaron lo mismito que ustedes piensan si han llegado hasta aquí: ¿y no habrá otro modo más sencillo de resolver esta tontería de calcular una 'sencilla' área de un círculo? Pues sí: pasando a coordenadas polares. ¿Coordenadas polares? ¿Y eso qué es? Hombre, no nos vendría mal un poco de fresco en estos días, pero seguramente no tiene nada que ver con hacer la integral dentro de un frigorífico, ¿no?

En efecto, las coordenadas polares son otra forma de describir los puntos en el plano diferente al de las coordenadas cartesianas. El mismo punto (x, y) del gráfico de antes puede localizarse de otras formas que conociendo sus distancias a los ejes. Por ejemplo, echen un vistazo al nuevo dibujo: conociendo la distancia r del punto al centro de coordenadas (el (0, 0), recuerden) y el ángulo  que la semirrecta que une el punto con el origen forma con el eje de las X, medido en sentido antihorario. Es decir, con esos valores de r y de , tenemos perfectamente localizado cualquier punto. Hay unas expresiones que nos permiten pasar de coordenadas cartesianas a polares, y viceversa, pero eso lo dejamos para otro día, que los noto ya cansados. Pues bien, con este sistema de coordenadas, la ecuación de la circunferencia de radio R, es sencillamente

r = R

En efecto, constante. Y entonces la integral para calcular su área es

que es muy sencilla de resolver. Sin hacer casi operación alguna nos devuelve el famoso πR^2. Es decir, trabajar en coordenadas polares me simplifica todo muchísimo. Pero entonces, hay que conocer la 'herramienta' de las coordenadas polares.

Fíjense las complicaciones a las que nos lleva una sencilla circunferencia. ¿Qué pasará con elipses, o con curvas cuyas ecuaciones sean mucho más complicadas? Miren, los ingenieros tienen que utilizar con frecuencia las llamadas curvas mecánicas (el nombre no está puesto por casualidad: intervienen en muchos procesos industriales). Dos de las más simples son la cicloide y la epicicloide (también la hélice, la catenaria, la espiral, etc., pero esas son de otros tipos diferentes). Por simple curiosidad, la ecuación de una cicloide en coordenadas cartesianas es la que aparece junto a su representación gráfica:

Sin embargo, en coordenadas paramétricas , la cicloide tiene este otro aspecto, más 'amigable'

Ni que decir tiene que, a la hora de hacer cálculos, son estas últimas las ecuaciones que se utilizan. Pero de nuevo hay que conocer la 'herramienta' de las coordenadas paramétricas.

Esta es una de las innumerables ocasiones en las que se hace hincapié a los alumnos en que para este tipo de situaciones es necesario saber y estudiar resultados que nos facilitan las cosas (y es uno entre cientos, créanme). O sea, las matemáticas también se estudian (no se crean la leyenda urbana de que las matemáticas se practican, no se estudian; es sólo verdad a medias: si no conozco resultados, ¿con que voy a practicar? ¿Sólo con lo que proponen los C4OP? Eso se nos queda corto en tres minutos).

Por supuesto existen otros sistemas de coordenadas ( coordenadas cilíndricas , coordenadas esféricas , coordenadas astronómicas , etc.) que nos facilitan la labor en otras situaciones.

Aunque en la antigua Grecia hubo trabajos conteniendo relaciones entre ángulos y distancias aplicados a la navegación y la astronomía (Hiparco, Arquímedes, por citar un par de ellos), la utilización de las coordenadas polares tal y como la hemos descrito no aparece hasta que se desarrolla la geometría analítica en el siglo XVII. De hecho, Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri las emplearon de forma independiente en la resolución de problemas geométricos. El segundo, por ejemplo, para determinar el área encerrada por la espiral de Arquímedes. Posteriormente, Blaise Pascal las utilizó para calcular la longitud de arcos parabólicos. Son sin embargo trabajos aislados. El que realmente formaliza con rigor este tipo de coordenadas (junto a otros ocho sistemas diferentes), fue Isaac Newton en 1671.

Su nombre, coordenadas polares, se atribuye un siglo después a Gregorio Fontana. De las coordenadas paramétricas (y otros sistemas), hablaremos en otra ocasión. De momento, cuando salgan a la calle, y vean una grúa en una obra, piensen cómo es más sencillo llegar a cualquier punto a depositar los materiales: ¿con un sistema basado en coordenadas cartesianas, o con uno en polares? No tiene más que observar cómo se mueve la grúa.

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.