El bello mundo de los números imposibles

En realidad, aunque no fue la motivación principal de su aparición en escena, los números complejos ya surgen de forma explícita en las soluciones de determinadas ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, consideremos la ecuación: x²-2x-3=0

Que equivale a: (x+1)(x-3)=0

Resulta claro que sus soluciones son: x=-1 y x=3

Sin embargo, si consideramos la ecuación: x²+1=0

El lector puede observar que, como el cuadrado de un número real cualquiera es positivo o nulo, no es posible resolverla mediante números reales . Sin embargo, si introducimos un número que podríamos llamar la raíz cuadrada de menos uno , obtenemos algebraicamente las soluciones:

No obstante, antes de la época del renacimiento en la que se abordan las soluciones de las ecuaciones cúbicas, la aparición de la raíz de un número negativo en el análisis de cualquier ecuación, también cuadrática, llevaba inmediatamente a la interpretación de que el problema asociado a tal ecuación no presentaba solución alguna .

Hoy en día sabemos que los números complejos constituyen una herramienta esencial de trabajo de algunas ramas de matemáticas puras y aplicadas como la variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica, hidrodinámica o electromagnetismo. De hecho, es altamente reconocida su utilidad en muchos campos del análisis matemático, álgebra, mecánica cuántica, electrónica o telecomunicaciones.

Sin embargo, podríamos decir que desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII estos números fueron usados con cierto recelo y desconfianza , siendo motivo de diversas controversias entre los miembros de la comunidad científica.

De hecho, fueron inicialmente considerados como números imposibles tolerados únicamente en un limitado dominio algebraico por su utilidad complementaria para resolver ciertas ecuaciones cúbicas. Esto se debía principalmente a que, por aquel entonces, resultaba difícil concebir cualquier realidad física que correspondiese con ellos, lo que llevaba a diversos autores a emplear términos como sofisticados, sin sentido, inexplicables, incomprensibles o imposibles para referirse a tales números.

En realidad, el propio Cardano, en cuyos manuscritos aparecen raíces cuadradas de números negativos, los trataba de modo muy sutil, como un mero artefacto matemático carente de significado propio, pero dotados de algunas reglas para manipularlos. Sin embargo, tras el desarrollo de la obra Ars Magna de Cardano, Bombelli fue un paso más allá al desarrollar una cierta aritmética en torno a ellos, algo de lo que nos ocuparemos más adelante.

Un proceso similar ocurrió también con los números negativos, que no fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII . Por ejemplo, el hecho de hablar de -1 piezas de fruta no conllevaba grado alguno de realismo, pero desde ese mismo punto de vista tampoco lo hubiera comportado hablar de ¾ de una persona o afirmar que las mujeres tuvieron un promedio de 2,5 hijos en algún momento dado.

Sin duda alguna, hoy en día la ausencia de los números negativos también nos resultaría inconcebible, y es que por ejemplo la posibilidad de trabajar con magnitudes negativas nos permite constantemente representar deudas, pérdidas, disminuciones … algo tan habitual como el hecho de manejar temperaturas negativas.

De hecho, todo ello nos ayuda también a interpretar con mayor claridad, y expresar algebraica y rigurosamente, resultados estadísticos como el que nos permite afirmar que la tasa de fecundidad en una cierta región se haya reducido hoy en día a la mitad si la comparamos por ejemplo con el año 1960.

Además, desde un punto de vista geométrico, si consideramos los números reales como vectores dotados de magnitud (su valor absoluto) y sentido (dependiendo del signo), entonces la multiplicación por el número negativo -1 hace cambiar de sentido el número que estamos multiplicando, lo que nos añade otra razón natural de su existencia (por cierto, el lector podrá observar más tarde, cuando tratemos la interpretación geométrica de los números complejos, que lo que haremos será establecer otras direcciones en nuestra particular brújula).

Mucho antes, en plena Grecia Clásica , el descubrimiento de que la diagonal de un cuadrado no podía expresarse como una cantidad entera de las unidades que miden los lados, esto es, la constatación de la presencia de números irracionales en tal desarrollo, llevó a la Escuela Pitagórica (en el siglo V a.C.) a una gran consternación , pues en su forma de pensar no tenían cabida las magnitudes inconmensurables .

Anque pensemos que:

Supone una precisión de medida que es físicamente imposible, en términos prácticos no cabe duda que la existencia formal de los números irracionales, junto con todas las abstracciones teóricas realizadas hasta la fecha (incluyendo la propia simbología utilizada para los números naturales y la de los números negativos), nos han ayudado a evolucionar independientemente de su realidad física inmediata … y, desde luego, los números complejos no se escapan de este mismo contexto.

Además de su aparición en la resolución de las ecuaciones cúbicas, actualmente se conoce la importancia que los números complejos tuvieron en el planteamiento y resolución de muchos problemas de la física matemática: magnetismo, calor, electricidad, gravedad, flujo de fluidos …, pero sin duda un factor que ayudó considerablemente a la plena aceptación de los números complejos fue el hecho de haber podido realizar una clara interpretación geométrica, algo que popularizó enormemente el brillante matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

A este respecto, las coordenadas cartesianas en el plano, llamadas así en honor a René Descartes (1596-1650) por su nombre latinizado Renatus Cartesius , asocian a cada punto del plano un par de números denominados abscisa y ordenada. Así, todo número complejo puede representarse en el análogo plano bidimensional complejo como un par ordenado de números reales (a,b), donde a se denomina la parte real y b la parte imaginaria, e identificando los pares (a,0) con los números reales a , y los pares de la forma (0,b) con los llamados números imaginarios puros.

A este respecto, el par (0,1) se le denominó la unidad imaginaria , por ser de naturaleza distinta a la del número real, y es denotado por i, símbolo introducido en la literatura en 1779 por el prolífico matemático, físico y filósofo Leonhard Euler (1707-1783). Los números relacionados, es decir, aquellos de la forma a+bi, con a y b números reales, son los que llamamos números complejos y la colección de todos ello se suele denotar por C.

En el sentido anteriormente descrito, los números complejos son una extensión del sistema de los números reales y constituyen un sistema más amplio en el que cualquier polinomio de grado mayor o igual que 1 admite soluciones, resultado que se conoce con el nombre de teorema fundamental del álgebra y que logró demostrar correctamente Gauss en 1799.

Eso sí, mientras que en nuestro día a día comparamos constantemente dos números reales para decidir cuál es el mayor, esto no se puede realizar en general con los números complejos. Sin embargo, su aritmética es sencilla, ya que la suma y la multiplicación de dos números complejos es la natural, con el ingrediente extra de que cada vez que aparezca i² se reemplaza por -1 .

De hecho, si (a,b) y (c,d) representan dos números complejos arbitrarios, su suma y producto vienen dados de la siguiente manera:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),

(a,b)•(c,d)=(ac-bd, ad+bc).

Equivalentemente,

(a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i,

(a+bi)•(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.

Resulta asequible comprobar que estas operaciones satisfacen las propiedades de conmutatividad, asociatividad y distributividad , también comunes a las operaciones con los números reales. A partir de ellas, también se pueden definir de forma coherente sus operaciones inversas, esto es la resta y la división, y otras operaciones más enmarcadas en el sistema de los números complejos como el conjugado, módulo, argumento o las raíces n -ésimas, algunas de las cuales trataremos a continuación.

A la vista de la interpretación geométrica realizada anteriormente, cualquier problema en el que las direcciones de un plano estén involucradas resulta ser una aplicación potencial de los números complejos. En particular, la física está repleta de tales interpretaciones.

A modo de ejemplo, pensemos en el fenómeno consistente en la propagación de una vibración, lo que nos conduce al concepto de onda.

Pues bien, los números complejos resultan ser una herramienta excelente para describir tales ondas como ocurre con el sonido , las olas del mar, las ondas sísmicas o la vibración de una cuerda. Prueba de ello es que si consideramos un número complejo z=a+bi, representado el plano bidimensional, siempre nos resulta posible trazar un segmento desde el origen de coordenadas (0,0) hasta el punto (a,b), sobre el que podemos calcular su longitud r (también llamado módulo de z y representado por |z|) y su ángulo α respecto del eje de abscisas (que da lugar al argumento de z). Es decir, con la ayuda de trigonometría básica, un número complejo lo podemos también representar mediante la llamada forma polar :

Este desarrollo nos permite inmediatamente dar una interpretación geométrica de las operaciones suma y producto introducidas anteriormente. En efecto, ya podemos afirmar que la suma de dos números complejos es equivalente a la ley del paralelogramo de vectores , y también que al multiplicar dos números complejos sus ángulos se suman, es decir:

Propiedad que resulta muy útil para hacer procesamiento digital de señales, por ejemplo permitiendo rápidamente encontrar el método preciso que interviene en la variación de la fase y frecuencia de una onda, cuya descripción práctica viene dada por:

Ahora el lector podrá tratar de deducir a partir de las propiedades anteriormente expuestas la, así llamada por muchos científicos, fórmula más bella de las matemáticas , esto es, la identidad de Euler, que involucra a cinco constantes matemáticas: 0,1,e,i,π, incluyendo por tanto a la unidad imaginaria.

Finalmente, en este contexto conviene mencionar también los trabajos de distinta índole realizados por matemáticos como Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Karl Weierstrass (1815-1897) y Bernhard Riemann (1826-1866), a partir de los cuales se llegó a la plena aceptación de los números complejos como instrumento de gran potencia en el análisis intrínseco de la teoría de funciones, y en particular en la teoría de las funciones de variable compleja que constituye una de las ramas clásicas de las matemáticas que tiene sus raíces más allá del siglo XIX.

Juan Matías Sepulcre Martínez es Profesor Titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Alicante.

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).