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ABCdario de las matemáticas

El hombre que ha propuesto más de 300 problemas de matemáticas

La pasión del neoyorquino Stanley Rabinowitz le ha llevado a fundar una editorial dedicada exclusivamente a las ciencias exactas

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No sé si sucede en otras disciplinas como la literatura, el arte, la música, la astronomía, etc. Lo desconozco porque no es mi campo, pero el mundo de las matemáticas tiene facetas realmente sorprendentes. Y no lo digo solo por la naturaleza de los temas que aborda, que también, sino por la completa organización que investigadores, profesores, divulgadores y seguidores en general han logrado establecer a lo largo del tiempo. Todos conocemos también que las matemáticas fueron de las primeras que pusieron en práctica las famosas Olimpiadas, que, a imagen y semejanza de las deportivas, pero en este caso de celebración anual, congregan cada curso a miles de estudiantes en todo el mundo (se van superando niveles desde los certámenes locales, a los regionales, nacionales e internacionales) resolviendo ejercicios de bastante nivel de complejidad. Su éxito ha sido tal que han surgido a su vera otros concursos con otras características, pero con el denominador común de la resolución de ejercicios (Canguro matemático, Pangea, Círculos Matemáticos, etc.).

Lo que no sé si es muy conocido y es el propósito de la reseña de hoy, es la existencia de una editorial que se dedica exclusivamente a la edición de libros con enunciados de problemas de matemáticas no resueltos. Desde esta sección se han descrito algunos de los problemas del milenio, llamativos por estar dotados con la suculenta recompensa de un millón de dólares (me recuerda a los anuncios del “Se busca” del Oeste americano popularizados en tantas películas; a ver si surgen aquí tantos “cazadores de recompensas” como en ellas), pero es que aparte de esos hay centenares, miles de cuestiones, que esperan solución desde hace mucho tiempo. Entre muchas personas existe la falsa leyenda urbana de que en matemáticas está todo descubierto. Nada más lejos de la realidad. Las matemáticas son probablemente la rama del conocimiento que más enigmas tiene planteados, y cada uno que se resuelve sugiere cientos de variantes y nuevas posibilidades.

En la actualidad, pensamos que internet es la mayor enciclopedia, la nueva Biblioteca de Alejandría a salvo de pirómanos indeseables, donde está todo el conocimiento humano con la comodidad de un clic de ratón (no todo gratis; muchas publicaciones están, pero por un módico precio). Pues les garantizo que no está todo, al menos cuando entramos en temas más especializados. Concretamente, en matemáticas, no está todo lo que se conoce, ni todo lo que se desconoce.

En 1989, el matemático neoyorquino Stanley Rabinowitz funda la editorial MathPro Press con el propósito de publicar índices de problemas de la literatura matemática. Sí, lo han oído bien. Libros que son sólo índices. También publican libros de problemas matemáticos, compendios de resultados matemáticos, libros sobre concursos de matemáticas y otros libros de interés para “problemáticos” (o sea aquellos fans de plantearse y/o tratar de resolver problemas).

Stanley Rabinowitz se doctoró en la Universidad Politécnica de Nueva York bajo la dirección de Erwin Lutwak en las áreas de convexidad, combinatoria y teoría de números. Profesionalmente es ingeniero de software y consultor informático, pero resolver problemas de matemáticas ha sido su hobby la mayor parte de su vida. Ha propuesto más de 300 y es un colaborador habitual, tanto como solucionador como proponente, en las secciones de problemas de más de una docena de revistas de todo el mundo.

Con esas premisas tan particulares, la elección del logo de la editorial no podía ser cualquiera, de modo que se eligió uno de esos ejercicios (el número 1364 publicado en la revista Mathematics Magazine 64) cuya resolución logró el propio fundador, que decía lo siguiente:

Sea P cualquier punto dentro del triángulo ABC, como se muestra en la imagen. Trazamos los segmentos PA, PB y PC. Estos segmentos cortan a la circunferencia inscrita al triángulo en los puntos X, Y, Z, respectivamente. La circunferencia inscrita toca a los lados del triángulo en los puntos D, E y F. Demostrar que, sea quien sea P, los segmentos DX, EY y FZ siempre se cortan en un punto (etiquetado como Q en la figura).

Rabinowitz demostró este resultado en 1990 (no es difícil la prueba, pero no la voy a incluir porque excede las pretensiones de estas breves notas, quizá algún lector pueda hacerla; comprobar su veracidad con Geogebra, por ejemplo, puede ser ilustrativo para los estudiantes de secundaria), que generalizaba otras situaciones como la existencia del denominado punto de Gergonne (en el mismo dibujo anterior, sería el punto en el que se cortan los segmentos AD, BE y CF). El nombre se debe al matemático y lógico francés Joseph Diaz Gergonne (1771 - 1859), al que debemos la terminología de las coordenadas polares y el principio de dualidad en geometría proyectiva, entre otros resultados. Como curiosidad, en su juventud fue capitán del ejército, participando en la invasión francesa de España.

Volviendo a Rabinowitz, además de resolver problemas más o menos serios como el anterior, escuchar música y jugar en sus ratos libres (al parecer es un viciado del juego de rol Dragones y Mazmorras). En consecuencia, no es extraño que haya también utilizado sus neuronas en cuestiones de matemática recreativa. Una de ellas es la búsqueda de rutas mágicas y semi-mágicas por un damero. Describamos en qué consisten.

Realizar una ruta por un damero (o tablero de ajedrez, de 8 x 8 escaques) por una pieza de ajedrez determinada es efectuar una secuencia de movimientos de esa pieza, de modo que se recorra cada casilla del tablero una única vez y pasando por todas ellas. Esa ruta se denomina cíclica o cerrada si la pieza de ajedrez puede moverse desde la última casilla del recorrido directamente hacia la primera casilla del recorrido. Las piezas que pueden completar este tipo de rutas son el Rey, la Reina, la Torre y el Caballo, pero no son posibles para el Alfil ni los Peones, por razones obvias. Cuando numeramos sucesivamente las casillas que vamos recorriendo 1, 2, 3, 4, ..., el recorrido se denomina mágico si la disposición de los 64 números es la de un cuadrado mágico (es decir, la suma de todas las filas, todas las columnas y las dos diagonales principales es el mismo valor, la llamada constante mágica). La ruta es semi-mágica cuando el cuadrado resultante es semi-mágico (las filas y las columnas suman la constante mágica, pero no las dos diagonales principales). Es bastante conocida la ruta mágica del caballo proporcionada por Leonhard Euler.

Obsérvese que no es una ruta cíclica, porque la posición que ocupa el caballo al alcanzar la casilla con el número 64 no enlaza con la del número 1. El resultado es un cuadrado mágico porque filas, columnas y diagonales principales suman 260, la constante mágica de lado 8 (la constante mágica se calcula con sencillez mediante la expresión n(n^2+1)/2 para un cuadrado de lado n; el lector puede deducirla fácilmente sin más que considerar cuánto vale la suma de los primeros n^2 números). Pero la solución de Euler tiene como particularidades el que los cuatro cuadrados señalados mediante los trazos más gruesos también son mágicos.

Recordemos que este tipo de problemas se engloban dentro de un propósito más general que es encontrar una Ruta Hamiltoniana estudiada mediante la teoría de grafos. Una descripción más completa de esta ruta del caballo puede verse en la reseña «El problema del caballo, el intrincado enigma matemático en el que no se puede repetir» en esta misma sección. En ella también puede verse una conocida ruta mágica y cíclica del rey. Existen también rutas cíclicas y mágicas sobre dameros 12 x 12 y 16 x 16. ¿Se animan a intentar encontrarlas? (sin hacer trampas, o sea, sin buscarla en internet).

En 1985, nuestro protagonista, Rabinowitz, hizo pública una ruta mágica y cíclica de la torre:

La primera ruta mágica de torre conocida se publicó en la revista alemana de problemas de ajedrez Die Schwalbe en agosto de 1985, y su autor fue el musicólogo y compositor Joachim Brügge. Utiliza movimientos de torre de seis longitudes (1, 2, 3, 4, 5, 6). ¿Será el lector capaz de encontrar una ruta mágica de torre de sólo cuatro longitudes diferentes?

Para finalizar, hay planteadas varias cuestiones cuya solución se desconoce por ahora relacionadas con este tipo de recorridos: ¿de cuántas maneras diferentes es posible solucionar la ruta mágica del caballo? ¿Cuántos cuadrados mágicos diferentes (sin contar rotaciones y simetrías) existen de orden mayor que 5? (Recordemos que de orden 3 sólo hay uno, de orden 4 son 880, de orden 5 hay 275305224, a partir de ahí sólo hay estimaciones).

Ahí tienen material los amantes del misterio. Estos sí son enigmas reales.

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.