La banda de Möbius, la superficie que solo tiene una sola cara

Por el contrario la topología es una rama “nueva” de las matemáticas ya que su origen se suele situar en el año 1736 coincidiedo con la publicación del artículo de Leonard Euler “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” en el que daba respuesta al problema de los puentes de Königsberg. Esta disciplina se dedica al estudio depropiedades de los objetos que se mantienen a pesar de ser deformados, como pueden ser el número de agujeros, existencia o no de borde, o número de componentes, entre otras.

En el desarrollo histórico de ambas materias -geometría y topología- surgieron algunas curvas y superficies que han adquirido mucha relevancia debido a sus interesantes propiedades. En este artículo se describe una de estas superficies famosas: la banda de Möbius (pronunciado Moebius).

Nuestra experiencia cotidiana nos dice que las superficies que manejamos a diario tienen dos caras. Por ejemplo, en un folio podemos escribir por sus dos caras; una botella tiene una cara interna, donde va el líquido, y otra externa, por la que la agarramos.

Si nos movemos sobre la superficie de una tal botella (por ejemplo con la punta de un dedo) no podemos empezar en la parte exterior y llegar a la interior sin quitar el tapón. Del mismo modo, si empezamos a escribir por una de las caras de un folio, seremos incapaces de escribir por su cara posterior a menos que le demos la vuelta.

Equivalentemente, esta propiedad se puede explicar como que en todos estos objetos somos capaces de pintar una cara de un color y la otra de otro, es decir, tienen dos caras distintas, ver Figura 1.

Que una superficie cumpla esta propiedad es equivalente a decir que dicha superficien es orientable. Entonces, la pregunta que surge de manera natural es la siguiente, ¿existen superficies no orientables? o lo que es lo mismo, ¿existen superficies que no tengan dos caras?

Pues sorprendentemente la respuesta es sí, existen superficies con una sola cara y la banda de Möbius es probablemente el ejemplo más famoso.

La banda de Möbius fue descrita de forma independiente en 1858 por los matemáticos alemanes Johan Bendick Listing y August Ferdinad Möbius . Uno podría pensar que semejante aberración que atenta de forma tan flagrante contra la intuición humana sería una superficie cuya descripción es imposible de comprender salvo para algunas avezadas y sesudas mentes de la comunidad matemática. Nada más lejos de la realidad, ya que la banda de Möbius se puede construir fácilmente como sigue (ver Figura 2): cogemos una tira de papel, giramos 180 grados uno de sus extremos, lo unimos con el otro extremo y ya tenemos nuestra banda de Möbius.

Para asegurarnos de que esta superficie tiene una única cara lo mejor es pintarla. Si empezamos a pintar la banda de Möbius y nos vamos deslizando por su superficie, cuando lleguemos de nuevo al punto por el que empezamos a pintar, observaremos que toda la superficie está pintada del mismo color. ¡Por lo que la banda de Möbius es una superficie con una única cara!

La importancia de esta superficie ha transcendido al mundo matemático convirtiéndose en una constante fuente de inspiración para manifestaciones artísticas varias. En la obra del genial Maurits C. Escher aparece la banda de Möbius de formas muy variadas -casi siempre acompañada de hormigas- y actualmente el artísta estadounidense Plamen Yordanov realiza impresionantes esculturas basadas en esta superficie (ver Figura 3).

Víctor M. Manero es profesor de la Universidad de Zaragoza y miembro de la comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la comisión de divulgación de la RSME