El teorema de Fermat: hasta los genios se equivocan

Claro, es la respuesta con la que el jurista francés Pierre de Fermat, apodado por Eric Temple Bell como el príncipe de los aficionados a las matemáticas, quiso atajar el problema que él mismo había enunciado de esta manera: «Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere». Es decir: «Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente».

[En lenguaje moderno y con enunciado más preciso, no existen tres números naturales a, b y c tales que:

para ningún valor de n > 2.]

Una frase como esta no basta para calmar los ánimos de nadie con un mínimo espíritu crítico así que solo sirvió como pistoletazo de salida de una fantástica historia que, a simple vista, terminó con la definitiva demostración de Andrew Wiles (con ayuda de Richard Taylor) en 1995.

Esta historia ha sido narrada en multitud de medios y con diferentes enfoques. Para resumir, el propio Fermat probó el teorema para las potencias cuartas. Mas tarde Leonhard Euler lo demostró para las potencias cúbicas y, en 1825, Peter G. Dirichlet y Adrien Legendre , de forma independiente, para las potencias quintas. Debido a que la versión general del teorema se seguía resistiendo, se fueron ofreciendo premios a quien consiguiera la demostración para todos los casos, lo que provocó, como era de esperar, todo tipo de intentos de todo tipo de personajes. Por ejemplo, en 1908 Paul Wolfskehl dejó una herencia de 100.000 marcos para la primera persona que lo demostrara y, solo durante el primer año de la convocatoria, se recibieron 621 intentos de demostración. Por cierto, las posibles razones que motivaron la oferta de dicho premio han sido motivo de diferentes elucubraciones y podrían servir de inspiración para una novela romántica.

A propósito de los intentos de demostración del teorema de Fermat por parte de los apodados “fermatistas”, solo quiero citar una divertida anécdota que narra Martin Gardner en el libro “Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas” (Editorial Labor, 1985):

El periódico Time, en su edición del 7 de marzo de 1938, publicó que Samuel Isaac Krieger afirmaba haber encontrado un ejemplo que demostraba la falsedad del teorema de Fermat. Dicho ejemplo era el siguiente:

Siendo n un número natural mayor que dos, que Krieger no quiso desvelar.

No duró mucho su impostura porque, como afirmaba el citado artículo de Time, un periodista del New York Times descubrió rápidamente que dicho ejemplo era falso: es imposible que tal igualdad fuera cierta porque todas las potencias del primer sumando terminan en 4 o 6 y las potencias del segundo sumando (así como las del término de la derecha) terminan siempre en 1, de modo que su suma solo puede terminar en 5 o en 7.

Así pues, no es necesario realizar ningún cálculo: es imposible que la suma de un número que termina en 4 o 6 con otro número que termina en 1 dé como resultado un número que termina en 1. No fue muy astuto Krieger escogiendo este ejemplo.

Este personaje protagonizó otros episodios controvertidos por sus contribuciones a las matemáticas. Por ejemplo, en 1934 afirmó que el número de 72 cifras:

era el mayor primo conocido, siendo en realidad un número compuesto. Ciertamente, este resultado fue más difícil de refutar por la prensa. No se sabe muy bien cómo pero Krieger consiguió que Albert Einstein le describiera como “el mayor genio en matemáticas y la mayor mente matemática que he conocido en mi vida”. Quizá tenga que ver este artículo que publicó el Pittsburgh Post-Gazette el 16 de noviembre de 1933.

Volviendo al teorema que Fermat afirmó haber demostrado , a lo largo del tiempo se han planteado diversos problemas relacionados con el de Fermat. Por ejemplo, se conoce como la conjetura de Euler la siguiente afirmación:

Ninguna potencia de grado n de un número entero, con n mayor que dos, puede ser suma de menos de n potencias de grado n de números enteros.

De hecho, para el caso n = 3, se trata de la conjetura de Fermat demostrada por Wiles. Ahora bien, no se sabe si la ecuación:

tiene alguna solución pero la falsedad de la conjetura de Euler fue demostrada en 1966 por Leon Lander y Thomas Parkin (en uno de los artículos más cortos de la historia con solo dos párrafos) pues encontraron el siguiente ejemplo con las potencias quintas:

Aquí también nos encontramos con un episodio peculiar. En 1988, Noam Elkies afirmó haber encontrado un método para demostrar que la conjetura también es falsa para n = 4. El menor contraejemplo que mostró es:

más tarde mejorado por Roger Frye con el ejemplo más pequeño conocido hasta el momento

Por cierto, el mismo año 1984 en que Wiles logró demostrar el teorema, el propio Elkies lanzó la noticia de que había encontrado un ejemplo que probaba la falsedad de la conjetura de Fermat, ejemplo que no podía desvelar debido a que el método utilizado era “no constructivo”. En vista del prestigio matemático del autor, rápidamente se difundió la noticia hasta que alguien se dio cuenta de que se trataba de una típica broma del día de los inocentes o “april’s fool day”, que se celebra el 1 de abril en algunos países de habla inglesa pero también adoptado por otros países.

Entonces, ¿Fermat demostró o no su teorema? Una tesis interesante es la que se expone en la novela “ El misterio de la belleza exacta ”, escrita por Sergey Baksheev y publicada en 2019, donde se sugiere que Fermat no quería impedir a otros la alegría del descubrimiento de la demostración de su teorema y que “aquel que se ilumine recibe un chispazo de un gusto irrepetible y gracias a ese momento feliz vale la pena vivir”. Una reflexión que muchos han compartido y una sensación que muchos han experimentado.

Pedro Alegría es profesor de la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea y miembro de la comisión de divulgación de la RSME.

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).