Ni profecía ni maldición en la Alhambra, solo matemáticas

Con esta inspiración escribí el relato del fin del mundo enmarcado en la Alhambra que apareció en esta sección hace quince días, situándolo en términos paralelos a los magníficos 'Cuentos de la Alhambra'. Para mí sorpresa, hubo quien asumió la historia como real, aunque quedaba bien indicado que se trataba de una ficción con el propósito de ofrecer al lector un enigma matemático a resolver. Agradezco el halago implícito de saber que, terminada mi carrera docente, quizá pueda dedicarme a la narrativa fantástica.

Aclarado lo cual, volvamos por la calle de la imagen al lugar y resolvamos la cuestión que era para mí la importante, la matemática.

En mi historia imaginada, me encontraba en las paredes del palacio una misteriosa sucesión de números: 1492, 1898, 1936 y 2342. Debajo, casi indistinguibles, aparecían otras cifras. La más nítida es 777. Todos son años de infausto recuerdo para los españoles, ¿supondría que algo malo va a pasar en nuestro país en 2342? Dejando a un lado las imaginativas interpretaciones del significado de los años de la expresión (elegidos adrede para ese fin), se trataba de demostrar que

es divisible entre 777 para cualquier exponente n entero no negativo. Y de paso, averiguar si existen más números aparte del 777 con dicha propiedad.

Todo el mundo en sus años escolares ha estudiado los polinomios, y sus operaciones básicas. Los polinomios son un concepto matemático muy interesante porque trabajar con ellos en esas operaciones es muy sencillo (no me refiero sólo a sumar, restar, multiplicar y dividir; sustituir valores numéricos en ellos o calcular sus derivadas y primitivas, es de las pocas cosas que cualquier estudiante desearía que le entrara en un examen porque tendría un sobresaliente con seguridad). Por eso los polinomios se utilizan como primer aproximante a funciones más complicadas.

Entre los aspectos más interesantes de los polinomios (y de los más complicados), se encuentra su factorización, esto es, expresarlos como producto o cociente de otros polinomios de menor grado. Cuanto menor sea el grado de un polinomio (el valor del exponente más alto que aparezca), más manejable es, obviamente. Entre las factorizaciones que hemos estudiado en la escuela, se encuentra la célebre “diferencia de cuadrados”, que aprendimos a base de que nos lo repitieran constantemente que es igual a “suma por diferencia”. Algebraicamente:

Observen que esa igualdad puede también expresarse del siguiente modo:

Si los números x e y fueran enteros, eso indica que el cociente del primer miembro resulta ser siempre un número entero, e igual a x + y. Es decir, nos dice, por ejemplo, que el número

es divisible entre 1936 – 1898 = 38, y además no hace falta que lo dividamos, porque de acuerdo a las expresiones anteriores, ese cociente es 1936 + 1898 = 3834 (los que tengan las matemáticas un poco roñosas, o directamente olvidadas, pueden comprobarlo: 38 x 3834 = 145692, que es igual a 1936^2 – 1898^2). Lo maravilloso de la fórmula es que eso se cumple sean quienes sean los valores que pongamos en x y en y. Espero que hasta aquí, todo se haya entendido.

¿Y qué pasa con exponente 3? Pues que hay otra fórmula similar, diferente, pero similar (a ver si el lector va descubriendo esa semejanza antes de que la describamos):

Conste que la idea importante para nuestro enigma, es que el cociente de la fracción del primer miembro es un número entero (la expresión del segundo miembro), siempre que x, y sean enteros.

Y efectivamente, hay fórmulas similares para exponente 4, 5, 6, etcétera. La expresión que generaliza todos esos exponentes, por muy altos que sean, la describimos los matemáticos como elevado a la potencia n (porque n puede tomar cualquier valor). Esa expresión es

Aunque no es muy difícil acordarse de esa expresión (fíjense en los exponentes de cada sumando: siempre suman n – 1: primero solo la x; luego metemos multiplicando una y, y por tanto la x tiene por exponente n – 2; luego metemos y al cuadrado, y por tanto la x tiene un exponente n – 3; y así hasta que se acaban las x, quedando sólo la y elevada a n –1), eso NO ES LO IMPORTANTE para nuestro enigma. Lo importante es que el resultado de dividir la fracción es un número entero, y por tanto, x – y divide de modo exacto a x^n – y^n.

Recordemos otra vez la inscripción 'misteriosa':

'Casualmente' (sí, va con segundas),

Los he puesto con colorines para que observen que los cuatro números verifican que, dos a dos como se indica, dan la misma diferencia. Eso significa que, tanto 406 como 444, dividen (de acuerdo a la expresión polinómica explicada antes) a ambos sumandos, es decir:

son cantidades enteras. Por tanto, la expresión completa es divisible por 2 × 406 × 444 = 360528 = 2^4 × 3 × 7 × 29 × 37, y por tanto, por todos sus factores. Una de esas posibles combinaciones de factores es 3 × 7 × 37 = 777. Por eso es divisible siempre por esa cantidad.

Una cuestión que aparece en muchas circunstancias, no sólo en ejercicios de matemáticas, sino también en nuestra vida cotidiana, tiene que ver con el número total de divisores que puede tener un número. Si es un número pequeño, como 6, no nos cuesta demasiadas dificultades porque lo hacemos casi mentalmente: como 6 = 2 × 3, los divisores son 1, 2, 3 y 6. Es decir, 4 divisores en total. Pero, ¿y si el número es más grande? Por ejemplo, 32. Si factorizamos el 32 tenemos que es igual a 2^5. También es sencillo, porque sólo tiene un factor primo (el 2). Entonces sus divisores son 1, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5. Es decir, hay 6. ¿Podemos establecer una regla general en estos casos? Evidentemente. Si el número se factoriza como p^a, entonces sus divisores son

que son justamente tantos como indica el exponente (a), más el 1. En definitiva, si llamamos d(n) a la función que proporciona el número de divisores del número n, entonces

Fácil. Pero la cosa se complica cuando la factorización tiene más de un factor primo, por ejemplo, ¿qué pasa si n = p^a × q^b? Tampoco es muy complicado utilizando el recurso de una tabla, del siguiente modo:

Es sencillo deducir que, en general, tengamos los factores primos que tengamos, el número total de divisores es el producto de todos los exponentes más una unidad en cada uno de ellos. Entonces, el número total de divisores que proporciona la expresión de marras, la de nuestro enigma, teniendo en cuenta que 360528 = 2^4 × 3 × 7 × 29 × 37, será d(360528) = (4+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 5 × 2 × 2 × 2 × 2 = 80

¿Os atrevéis a encontrarlos todos?

Un último comentario sobre las respuestas de los lectores y la dificultad de la cuestión. Me llegaron un par de respuestas por correo electrónico perfectamente resueltas (de matemáticos o profesores de matemáticas seguramente), en twitter se describió otra, y en los comentarios de los lectores, alguno también proporcionaba las pistas necesarias para la resolución (vía binomio de Newton, para obtener los coeficientes de la división de los polinomios). Otros cuestionaban la veracidad de que los alarifes musulmanes de 1492 conocieran el calendario gregoriano o los exponentes en las expresiones matemáticas.

Reitero una vez más que la historia en la que enmarqué el ejercicio es totalmente inventada, pero por aclarar estas cuestiones de historia de las matemáticas (interesantes por sí mismas, como cualquier otro aspecto de la cultura universal), en efecto el calendario gregoriano se empieza a considerar a partir de 1582. Pero, astrónomos y matemáticos árabes habían considerado otros sistemas para adecuar con más precisión la duración de los años a los movimientos de la Tierra. En concreto, Omar Khayyam ( ver la explicación en esta misma sección) corrigió el calendario persa mediante el calendario yalalí que tiene un error de un día en 3770 años, menor que el del calendario gregoriano que es de un día en 3330 años. El calendario yalalí se empezó a utilizar el 15 de marzo de 1079, y es el calendario empleado todavía hoy en países como Irán y Afganistán. Así que, aunque inventada por mí, la expresión pudo haberse escrito en 1492 por algún matemático musulmán. En cuanto a los exponentes, también a Omar Khayyam le debemos la descripción más temprana de la potencia de un binomio con exponente natural. Así que, el marco en el que se presentó la cuestión, no estaba tan desencaminado. Respecto a la dificultad de la cuestión, podríamos decir que es de grado medio-alto para alguien que haya estudiado matemáticas alguna vez en su vida, y asequible para quienes hayan cursado matemáticas superiores en cualquier grado universitario.

En cualquier caso, mi felicitación y agradecimiento a todos los lectores que trataron de resolver la cuestión por si mismos.

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección en colaboración con la RSME.