Matemáticos descubren la 'camiseta', el patrón que nunca se repite

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Patricio Almirón Cuadros

Este es el denominado problema de Frobenius para semigrupos numéricos, y lleva acompañando a la humanidad desde la creación de la primera moneda

- No tenía ni idea, señor comisario. ¿De quién se trata?

- Su nombre es Ein Stein y me ha llevado casi una vida entera encontrarlo.

- ¿De quién se trata? ¿Tiene alguna foto suya por ahí?

- Sí, la tengo aquí mismo, este es el aspecto que tiene, pero no te dejes engañar por su apariencia inocente, este señorito de aquí nos ha tenido en vilo durante casi diez lustros.

Entonces, MacCarnigan le mostró al agente Pierron la foto del tal Ein Stein, esta foto:

Esta breve historia de policías puede parecer una broma, pero si cambiamos detectives por matemáticos pasa a ser uno de los descubrimientos matemáticos más maravillosos que se han vivido en los últimos años. Pero para poder comprender la envergadura de esta historia tenemos que hablar antes de uno de los campos en los que las matemáticas y el arte se fusionan: los mosaicos.

Todos hemos visto en algún momento de nuestra vida algún mosaico. Se trata de pequeñas obras artísticas o decorativas que se realizan utilizando pequeñas piezas que se van encajando.

Cuando hablamos de mosaicos en matemáticas normalmente hacemos referencia a lo que se conoce como teselaciones, que viene a ser una forma de disponer piezas o teselas de modo que estas piezas tengan bordes comunes y no dejen agujeros.

Hace ya mucho tiempo los matemáticos y matemáticas se plantearon la siguiente cuestión

¿Con que tipo de piezas puedo teselar el plano?

Es decir, que tipo de piezas puedo utilizar para que, poniéndolas de modo que las teselas se toquen por lados comunes, no queden huecos en el plano. Claramente los círculos no están en este selecto grupo, ya que si quiero teselar el plano utilizando únicamente círculos me van a ir quedando huecos. Vamos, que me a tocar echar lechada fijo.

Sin embargo, hay otras muchas figuras con las que podemos teselar el plano, como, por ejemplo, con triángulos, cuadrados o hexágonos.

O podemos teselar el plano con combinaciones de estas u otras figuras.

O incluso se puede teselar el plano con combinaciones más extravagantes:

Pero a pesar de la gran variedad de teselaciones que se han presentado, todas ellas tienen algo en común, y es, que son periódicas. El término periódico hace referencia al hecho de que existe alguna traslación, distinta de cero, que deja todo el mosaico igual. Para que nos entendamos, esto es equivalente al hecho de que si teselamos una superficie, cerramos los ojos y alguien mueve todo el mosaico en una dirección concreta y después abrimos los ojos de nuevo seremos incapaces de apreciar la diferencia entre el mosaico original y el desplazado.

En contraste con las teselaciones periódicas encontramos las teselaciones no periódicas, que son aquellas para las que no existe ninguna traslación, no nula, que deje el mosaico con la misma apariencia. No es difícil encontrar mosaicos no periódicos, basta, por ejemplo, con tomar una teselación periódica, pensemos por ejemplo una formada sólo por cuadrados, y un único cuadrado de todo el mosaico lo partimos en dos triángulos. Claramente sigue siendo una teselación del plano, pero no va a existir ninguna traslación que deje toda la tesela igual ya que podremos distinguir entre el mosaico original y su desplazado sin más que observar la posición modificada de los dos triángulos.

Pero ahora es cuando la cosa se pone interesante, porque es cuando aparece el concepto de mosaico aperiódico que son aquellos que siendo no periódicos satisfacen la condición extra de que no poseen regiones arbitrariamente grandes que sean periódicas. Del mismo modo esta idea se puede entender como que en un mosaico aperiódico, si tomamos un trozo lo suficientemente grande, éste no se repite en el resto del mosaico. Cabe destacar que el ejemplo de mosaico no periódico descrito antes no es aperiódico puesto que podemos encontrar regiones arbitrariamente grandes que sí son periódicas, basta tomar trozos arbitrariamente grandes que no incluyan a ninguno de los dos triángulos.

Entonces, la pregunta que surge de forma natural es la siguiente:

¿Existen mosaicos aperiódicos?

Esta cuestión, que comenzó a ser estudiada en la segunda mitad del siglo pasado, pronto recibió una respuesta afirmativa y uno de los primeros en encontrar un teselado aperiódico fue Raphael M. Robinson. El mosaico descrito por Robinson en el año 1971 está formado por las 6 teselas siguientes.

A los pocos años, también en la década de los 70, Roger Penrose obtuvo dos teselaciones aperiódicas que se podían construir, cada una de ellas, utilizando únicamente dos teselas diferentes. La primera de estas teselaciones está formada por dos rombos distintos:

Y es capaz de producir mosaicos como el que sigue:

La segunda de estas teselaciones aperiódicas viene dada por dos piezas conocidas como cometa y flecha, por razones obvias:

Bueno, y ahora la cuestión que uno podría plantearse es la siguiente:

¿Existen mosaicos aperiódicos formados por una única tesela?

A este problema se le ha conocido como el problema de Ein Stein (del alemán «una piedra») y durante casi 50 años se ha mantenido sin solución. ¡Hasta el pasado mes de marzo!

El pasado 20 de marzo, los científicos David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan y Chaim Goodman-Strauss de las Universidades de Cambridge, Waterloo y Arkansas publicaron el trabajo 'An aperiodic monotile' en el cual describen una posible forma de la tan buscada tesela que da lugar a un mosaico aperiódico con una única pieza.

Con esta única tesela, que a mí parecer se asemeja mucho a una camiseta, demuestran que se pueden construir mosaicos aperiódicos como el siguiente:

Si tienes curiosidad sobre el tema puedes profundizar más sobre este descubrimiento en el siguiente vídeo,

en el que sus descubridores hablan con otras personas relevantes del área, entre ellos el premio nobel de física Roger Penrose.

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

SOBRE EL AUTOR

Víctor M. Manero

Víctor M. Manero (@pitimanero) es profesor de la Universidad de Zaragoza y miembro de la comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).