En busca del «einstein» perdido por los suelos

Por una parte, hasta el año 2017 no se sabía la cantidad de tipos de pentágonos convexos (todos iguales pero lógicamente irregulares) con los que se podía embaldosar un suelo infinito. En la imagen adjunta se muestran los quince modelos encontrados hasta aquel momento:

Pero ese año apareció el artículo de Michaël Rao , investigador en el Centro Nacional de Investigación Científica (CNRS) de Lyon, titulado Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane , donde se demuestra que no hay más de esas 15 familias de formas pentagonales con las que teselar el plano. Si las revisiones del artículo por parte de los expertos lo confirman, esta demostración finiquita el problema que llevaba en danza exactamente un siglo, desde que Karl Reinhardt encontrara los cinco primeros tipos en su tesis doctoral de 1918.

Pero, como de costumbre, un problema resuelto conduce inexorablemente a otro sin resolver. El artículo de Michaël Rao demuestra también que no existe ningún polígono convexo con el que teselar el plano de forma no periódica, es decir de forma que el diseño se repita indefinidamente mediante desplazamientos. La cuestión se traslada entonces a la búsqueda de algún embaldosado no periódico, cuestión para la que la comunidad matemática tiene todavía asuntos pendientes.

El problema que ocupa ahora a los expertos es el de encontrar el llamado “einstein” (término alemán equivalente a “una piedra” que sería la traducción de ein stein), un simple azulejo hipotético con el que solo puede embaldosarse el plano de forma no periódica, es decir de modo que las orientaciones de las baldosas nunca se repiten.

Hasta ahora se conocen embaldosados no periódicos pero formados con, al menos, dos figuras diferentes. El primer ejemplo, descubierto por Robert Berger en 1964, tenía más de 20.000 piezas distintas. Por suerte, Raphael Robinson redujo en 1971 a seis el número de piezas necesarias. Pero los más prácticos son los de Penrose (descritos por Roger Penrose en los años 1970 pero descubiertos independientemente por el aficionado a las matemáticas Robert Ammann ), formados por dos piezas -cometas y dardos- o dos tipos de rombos -estrechos y anchos- los cuales presentan simetría pentagonal.

El mejor intento conseguido hasta el momento con una sola pieza es el conocido como embaldosado de Socolar-Taylor , a partir del artículo publicado en 2010 por Joshua Socolar y Joan Taylor titulado “An aperiodic hexagonal tile” . La buena noticia es que consiguen su objetivo de teselar el plano con una sola baldosa y la mala noticia es que la baldosa no es conexa, es decir está formada por componentes separadas, de modo que, a efectos prácticos, es irrealizable. Así que, si tienes un punto de vista optimista, el problema está resuelto y, si no, el problema sigue abierto.

A un nivel más casero, lo que sí se está poniendo de moda es el “embaldosado tridimensional”, mejor dicho, embaldosado que presenta alguna perspectiva con la que se crea una ilusión óptica de profundidad. Las imágenes muestran un par de ejemplos, cuyo objetivo es limitar la siniestralidad en pasos de peatones y en pasillos muy transitados, ya que “obligan” a ralentizar el paso.

Para terminar, quiero volver a citar a Robert Ammann, quien trabajó como programador para la empresa Honeywell y, posteriormente, como cartero. Su afición por las matemáticas -y como ávido lector de las columnas divulgativas de Martin Gardner- le llevó a descubrir conjuntos de polígonos que forman embaldosados no periódicos del plano. Incluso, se conocen como “barras de Ammann” las líneas del plano que sirven de guías para generar nuevos embaldosados. Por cierto, hoy en día, esos descubrimientos ya no pertenecen a la categoría de matemática recreativa pues se aplican en el estudio de los cuasicristales, descubiertos en 1982. Otro ejemplo de resultado matemático aplicaciones surgen a posteriori.

Pedro Alegría es profesor de la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea y miembro de la comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME)

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la comisión de divulgación de la RSME .