¿Eres capaz de resolver el problema de las pastillas Juanola?

Tampoco daremos la solución a esta variación del problema: ¿es posible rellenar el tablero de ajedrez al que se le han eliminado un cuadrado blanco y uno negro, sean cuales sean las posiciones de dichos cuadrados? Sólo indicaré que la respuesta es ahora positiva.

Tanto si estos problemas resultan fáciles o difíciles, en matemáticas nos gusta hacer nuevas preguntas. La que surge de manera natural en este contexto es la siguiente: ¿qué tipo de regiones se pueden rellenar, como si de un embaldosado se tratara, con piezas de dominó?

Una primera respuesta a esta cuestión la ofreció el matemático William Thurston (ganador de una medalla Fields en 1982) en el artículo titulado «Conway's tiling groups» y publicado en la revista The American Mathematical Monthly en 1990. En su trabajo, desarrolló un test para determinar cuáles son las regiones que tienen solución utilizando para ello ciertas técnicas de una especialidad matemática conocida como Teoría de Grupos.

Otra cuestión que nos podemos plantear es la de contar el número de teselaciones por dominós que tiene una figura dada. El caso más simple corresponde al rectángulo de dimensiones 2m x 2n, y fue resuelto independientemente por Michael Fisher y Neville Temperley y por Piet Kasteleyn en 1961. El maravilloso número que obtuvieron es igual a:

(fórmula que representa un doble producto de sumas de cuadrados de cosenos de ciertos ángulos). Lo sorprendente de esta fórmula es que, a pesar de que los sumandos no son números enteros, el resultado final sí lo es. Por ejemplo, para el tablero de ajedrez, correspondiente a m = n = 4, hay un total de 12988816 soluciones (la lista completa, para los tableros cuadrados, corresponde a la sucesión número A004003 de la enciclopedia virtual OEIS).

¿Y si la región que queremos rellenar con piezas de dominó no es rectangular? Un caso sencillo corresponde a los llamados «diamantes aztecas», que son figuras cuyos casos más simples tienen la forma de estas imágenes:

El número de fichas de dominó necesarias para rellenar un diamante azteca es 6, 12, 20, …, n (n + 1), … y en todos los casos siempre hay alguna solución.

Pues bien, en 1992, Noam Elkies, Greg Kuperberg, Michael Larsen y James Propp demostraron que el número de formas distintas de recubrir un diamante azteca de orden n es igual a 2 elevado a n(n+1)/2. Posteriormente, en 1998, William Jockusch, James Propp y Peter Shor demostraron el llamado «teorema del círculo polar ártico». Este teorema afirma que, si las dimensiones del diamante son suficientemente grandes, se observa una gran región central con forma circular donde se alternan aleatoriamente piezas verticales y horizontales dejando los bordes con piezas que tienen la misma orientación, como si estuvieran congeladas. Como ilustración, mostramos la siguiente figura correspondiente a un diamante azteca de orden 50, que ha sido coloreado para una visualización más nítida.

Si te apetece descubrir más propiedades ocultas de los diamantes aztecas, puedes realizar distintas simulaciones con el software que ofrece Dan Romik en este enlace.

Para no profundizar más en esta dirección, plantearemos un nuevo problema, algo más goloso pues tiene su origen en unas famosas galletas. Un calisson es un dulce provenzal en forma de rombo como el que se obtiene uniendo dos triángulos equiláteros por uno de sus lados (la misma forma que tienen las tradicionales pastillas juanola).

Pueden presentarse empaquetados en cajas con forma de hexágono regular, de modo que su disposición sugiere interesantes problemas combinatorios, como estos:

1. ¿Cuántas pastillas cuyo lado tiene longitud igual a uno caben en una caja de lado igual a n?

2. Teniendo en cuenta que hay calissons de tres sabores y, por tanto, de tres diferentes colores, y los del mismo sabor están colocados en una misma orientación, ¿cuántos dulces de cada color podemos encontrar en una caja?

3. ¿De cuántas formas distintas se pueden colocar los dulces en una caja?

Este problema tiene su origen en el artículo de Guy David y Carlos Tomei titulado «The problem of the calissons», que fue publicado el año 1989 en la revista The American Mathematical Monthly. El resultado que prueban David y Tomei en su trabajo es que siempre debe haber el mismo número de dulces en cada orientación, concretamente n elevado al cuadrado. De modo que el total de dulces que caben en una caja es igual a 3 por n al cuadrado. En la siguiente figura se muestra un hexágono de lado 3 relleno con 27 rombos, 9 de ellos en cada dirección.

Una demostración visual del resultado anterior, aunque no rigurosa, se consigue imaginando la figura como una proyección tridimensional, como un apilamiento de cubos en el espacio de dimensión 3, cubos de los cuales siempre es visible al menos una de sus caras. Con esta interpretación, en cada dirección que parte de las caras traseras, las alturas de los cubos forman una sucesión decreciente.

Intuitivamente, se trata por tanto de encontrar todas las posibilidades de llenar con cajas unitarias un cubo de dimensión n x n x n, de modo que empiecen apoyadas en las caras traseras y estén colocadas de forma decreciente.

En el ejemplo de la imagen anterior, la disposición obtenida:

equivale a las tres líneas que marcan las alturas de los cubos:

Con esta interpretación, pero sin entrar en más detalles técnicos, el número de posibilidades de rellenar un hexágono regular con pastillas romboidales es el mismo que el del número de particiones planas bidimensionales. Pero este número ya era conocido desde 1915, cuando Percy MacMahon publicó en el libro Análisis Combinatorio esta sorprendente fórmula:

Los primeros valores para los casos en que X = Y = Z son:

N(1,1,1)=2, N(2,2,2)=20, N(3,3,3)=980, N(4,4,4)=232848.

Si sales a la calle con ojos matemáticos, seguro que encuentras algunos lugares pavimentados con este tipo de rombos y, si están diseñados con tres colores o tonalidades, darán una ilusión tridimensional, no plana.

Solución al acertijo del tablero de ajedrez: utilizaremos un tipo de argumentación llamada de coloración, bastante habitual para probar la imposibilidad de ciertas teselaciones.

Es imposible rellenar todo el tablero pues cada pieza de dominó cubrirá una casilla blanca y una casilla negra, sea cual sea la posición en que se coloque dicha pieza. Como las dos esquinas eliminadas del tablero son negras, sólo quedan 30 casillas negras y 32 blancas. Si hemos logrado colocar 30 fichas de dominó, se habrán cubierto las 30 casillas negras y 30 casillas blancas. Quedan siempre dos casillas blancas sin cubrir.

En este enlace puedes encontrar la historia del problema.

* El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

SOBRE EL AUTOR

pedro alegría

Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME)