La idea surgió de un «problema de juguete» que el matemático Emory Ken Ono (izquierda) presentó como un «regalo» para Don Zagier (derecha) por su 65 cumpleaños. El problema se ve en la pizarra detrás de ellos
La idea surgió de un «problema de juguete» que el matemático Emory Ken Ono (izquierda) presentó como un «regalo» para Don Zagier (derecha) por su 65 cumpleaños. El problema se ve en la pizarra detrás de ellos - U. Emory

Matemáticos recuperan un enfoque abandonado para solucionar la hipótesis de Riemann

Arrojan nueva luz sobre el más codiciado de los problemas del milenio

Madrid Actualizado: Guardar
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La célebre hipótesis de Riemann, planteada en 1859 por el matemático alemán del mismo nombre y aún sin resolver, es quizás la más famosa del mundo. Tiene implicaciones en la comprensión de la distribución de los números primos, lo que repercutiría, por ejemplo, en el diseño de técnicas de seguridad informática. El Instituto Matemático Clay la incluyó en el año 2000 como uno de los problemas del milenio, por lo que si alguien consiguiera demostrarla se llevaría un tentador premio de un millón de dólares. En ese camino están unos matemáticos de la Universidad de Emory (Atlanta, EE.UU.) quienes han recuperado un viejo enfoque abandonado para intentar entender el problema. Aclaran que no lo han solucionado, pero han visto algo de luz entre las sombras.

Durante los últimos 150 años, se han propuesto muchas formas de abordar la hipótesis de Riemann, pero ninguna de ellas ha llevado a una solución. «En una prueba sorprendentemente corta, hemos demostrado que un enfoque viejo y abandonado sobre la hipótesis de Riemann no debería haber sido olvidado», dice en un comunicado Ken Ono, coautor del trabajo publicado en la revista Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS). «Al formular un marco adecuado para un enfoque antiguo, hemos probado algunos teoremas nuevos, que incluyen una gran parte de un criterio que implica la hipótesis de Riemann. Y nuestro marco general también abre enfoques a otras preguntas básicas sin respuesta», señala.

Un problema de juguete

Bernhard Riemann
Bernhard Riemann - Archivo

Curiosamente, la idea fue planteada en un principio como un «problema de juguete», una versión reducida de un problema más grande y complicado que los matemáticos tratan de resolver. Se trataba de un entrenimiento que Ono «regaló» hace un par de años a su colega Don Zagier, actualmente en el Instituto Max Planck para las Matemáticas, por su 65 cumpleaños. Pero pronto se dieron cuenta de que el asunto podía ir más allá.

«Encontré el problema difícil de resolver y realmente no esperaba que Don llegara a ninguna parte con él», recuerda Ono. «Pero pensó que el desafío era súper divertido y pronto había creado una solución», añade. El presentimiento de Ono era que una solución de este tipo podría convertirse en una teoría más general. Eso es lo que finalmente lograron los matemáticos.

El documento se basa en el trabajo de Johan Jensen y George Pólya, dos de los matemáticos más importantes del siglo XX, que fue abandonado por considerarse como un enfoque demasiado lento y difícil de manejar. Revela un método para calcular los polinomios de Jensen, una formulación de la hipótesis de Riemann, no uno a la vez, sino todos a la vez.

«La belleza de nuestra prueba es su simplicidad», dice Ono. «No inventamos ninguna técnica nueva ni utilizamos ningún objeto nuevo en matemáticas, pero proporcionamos una nueva visión de la hipótesis de Riemann. Cualquier matemático razonablemente avanzado puede verificar nuestra prueba. No hace falta un experto en teoría de números», asegura.

Aunque como insisten sus autores el documento no llega a demostrar la hipótesis, sus consecuencias incluyen afirmaciones previamente abiertas que se sabe que se desprenden de la misma, así como algunas pruebas de conjeturas en otros campos.

«El resultado establecido aquí puede verse como una evidencia adicional de la hipótesis de Riemann, y en cualquier caso, es un hermoso teorema independiente», dice Kannan Soundararajan, matemático de la Universidad de Stanford y experto en este problema.

Contar los números primos

La motivación de Riemann «era simple», dice Ono. «Quería contar los números primos». Aunque los números primos son objetos simples definidos en matemática elemental (cualquier número mayor que 1 sin divisores positivos, excepto 1 y en sí mismo), su distribución permanece oculta.

El primer número primo, 2, es el único par. El siguiente número primo es 3, pero los números primos no siguen un patrón de cada tercer número. El siguiente es 5, luego 7, luego 11. A medida que se continúa contando hacia arriba, los números primos rápidamente se vuelven menos frecuentes.

«Es bien sabido que hay infinitos números primos, pero se vuelven raros, incluso cuando llegas a los 100», explica Ono. «De hecho, de los primeros 100.000 números, solo 9.592 son números primos , o aproximadamente el 9,5 por ciento. Y rápidamente se vuelven más raros desde allí. La probabilidad de escoger un número al azar y que sea primo es cero. Casi nunca sucede».

Como dicen los autores, «algunas de las ideas más hermosas de las matemáticas son aquellas que tardaron mucho tiempo en darse cuenta, pero una vez que las ves, parecen simples y claras». A pesar de su trabajo, los resultados no descartan la posibilidad de que la hipótesis de Riemann sea falsa. Sea como sea, los investigadores creen que una prueba completa de la famosa conjetura aún está lejos.