La ingeniosa apuesta del vaso de cubata que se gana con el número Pi

La apuesta solía acabar del mismo modo: el envidado apostaba por la altura. También pagaba las copas con el mismo billete con el que había deshecho su incredulidad, al medir con él altura y perímetro y comprobar que, en efecto, era mayor el segundo.

Alguna vez el resultado de la apuesta no era el esperado, porque existen vasos de tubo tan altos que la respuesta correcta no es el perímetro. Puesto que todos los vasos de tubo parecen larguísimos, ¿cómo lanzar la apuesta sobre seguro? El truco consiste en comprobar de un vistazo si el triple del ancho del vaso es mayor que la altura.

En realidad no se trata del ancho multiplicado por tres, sino por algo más: 3,14 . Esta es la cifra aproximada que se obtiene al dividir el perímetro del vaso entre el ancho (el diámetro de su base). El valor exacto de esa razón es el número pi (π) , de periphereia, que es como los griegos llamaban a la circunferencia de un círculo. [Los misterios del número Pi aún sin resolver].

En cualquier círculo, la razón entre circunferencia y diámetro siempre es ese misterioso valor, cuyas primeras estimaciones conocidas son de hace unos 4.000 años.

Así que el número circular pi , el responsable de la horma de todos los círculos, está escondido en la apuesta del vaso. Para ganar la apuesta basta con recordar la aproximación grosera pi= 3, que aparece ya en la Biblia.

El cómputo exacto de muchos decimales de pi es una tarea muy exigente. En noviembre de 2016 se consiguió el último récord, cuando se calcularon más de 22 billones de decimales exactos, tras un tiempo de computación de 105 días y 9 terabytes de memoria de almacenamiento. Leer esa versión de pi –la más exacta jamás conocida– a ritmo de una cifra por segundo llevaría más de 700.000 años.

Casi todo lo relativo a pi resulta excesivo, cuando no imposible. Después de milenios calculando mejores estimaciones, en 1768 llegó la noticia –en forma de teorema– de que encontrar todas sus cifras decimales es misión imposible. El matemático francés Johann Lambert demostró que no acaban nunca, y que tampoco siguen patrón alguno –los matemáticos dicen que pi no es racional.

Más de un siglo después, en 1882, el trabajo del alemán F erdinand von Lindemann estableció que pi no se puede obtener como solución de ninguna ecuación que involucre solo sumas de potencias multiplicadas por números fraccionarios –los matemáticos dicen que pi no es algebraico .

Ese hecho tiene una consecuencia sensacional: no es posible construir un segmento de longitud pi con regla y compás a partir de otro de longitud 1 –los matemáticos dicen que pi no es construible . Sensacional porque así se resolvía al fin, después de más de 2000 años, uno de los más famosos problemas de la historia: la cuadratura del círculo . No es posible construir un cuadrado exactamente con la misma área que un círculo dado.

Hay más cuestiones intrigantes sobre la cadena (infinita y aperiódica) de decimales de pi. La más notable es saber si la distribución de sus decimales es completamente aleatoria, en el sentido de que ninguna secuencia finita de dígitos aparece con más frecuencia que cualquier otra de la misma longitud.

Ninguna secuencia se puede repetir consecutivamente para siempre, claro, porque pi no es racional, pero ¿aparecen todas las secuencias en la cadena interminable de sus decimales? ¿Lo hacen todas las de la misma longitud con igual frecuencia? Estos números bien podrían llamarse democráticos, pero los matemáticos los llaman normales. Con razón, porque el francés Emile Borel demostró en 1909 que los números típicos son los normales: un número cualquiera (con infinitos decimales) escogido al azar es normal con toda probabilidad.

“Con toda probabilidad” no quiere decir “seguro” y, a pesar del teorema de Borel , se conocen tan solo un puñado de números normales, entre los que no está pi. Resulta desconcertante saber con certeza que una inmensa mayoría de elementos comparten una propiedad y, sin embargo, no saber decir si uno concreto la tiene. Hay evidencia reciente de que pi se comporta como un número normal en sus primeros 22 billones decimales . Es una empresa imposible determinar la normalidad de pi analizando billones de sus decimales, porque siempre quedan interminables billones que recorrer. Es lo que tiene lidiar con el infinito.

No solo las peripecias históricas de pi son excesivas. También lo es su presencia en el mundo. Por ejemplo, aparece una y otra vez al compilar datos de dispar naturaleza. Al agrupar en clases contiguas –por ejemplo– las alturas, los pesos, las pulsaciones o los cocientes intelectuales en una población homogénea, uno encuentra una curva con forma de campana -de Gauss , le llaman todos- y que sirve para establecer lo probable o no de observar un dato en un rango dado.

Calibrando el tamaño de todas las campanas para que encierren el área de una unidad, se encuentra siempre pi. Parece imposible explicar qué tiene que ver la elusiva razón de la geometría circular con esas descripciones estadísticas de las medidas de los hombres.

Para adornar tantos excesos, la mística constante pi se ha ganado su propia efeméride en el calendario. El mes número 3, marzo, y el día 14, por eso de que esa fecha se escribe 3/14 en el formato anglosajón. Así que un mes después del día de San Valentín se celebra el día de los enamorados de pi. Esto es oficial en Estados Unidos. No es broma: en diciembre de 2009 el congreso norteamericano aprobó oficialmente el día de pi .

En España también se celebra ese día, aunque no es oficial. Como en castellano los días se escriben delante de los meses, si llega el caso se podrían celebrar formalmente las maravillas de pi el día 22 de julio. La fracción 22/7, que encontró el gran Arquímedes como estimación de pi, se usó mucho tiempo en los libros de texto. En todo caso, quizá no sea necesario: cualquier día es tan bueno como otro para ir a un bar a celebrar la belleza de los números y del sobrecogedor infinito tomando alguna bebida, aunque no sea en vaso de tubo.

José-Manuel Rey es profesor de la facultad de Ciencias Económicas y Empresariales en la Universidad Complutense de Madrid.

Este artículo ha sido publicado originalmente en «The Conversation».