Tres ciudades andaluzas, vistas con ojos matemáticos

Desde hace algún tiempo, se ha extendido la actividad de visualizar las ciudades con ojos matemáticos, esto es, descubriendo las pautas que los arquitectos, diseñadores, ayuntamientos, decoradores, en general todos los que participan en el mobiliario urbano, la planificación de calles y los monumentos, han utilizado para conformar el entorno de acuerdo a diferentes propósitos y conceptos. Muchas de esas pautas (la mayoría diría yo) tiene raíces geométricas, matemáticas, ya que a partir de ellas aseguran al menos propiedades como la simetría, el orden... y quizá la belleza, aunque este concepto es totalmente subjetivo. Esa actividad, que seguramente comenzó con propuestas de ejercicios para grupos de alumnos en eventos como olimpiadas matemáticas , se ha ido extendiendo y generalizando por todo el mundo, no por moda o capricho de algunos entusiastas, sino porque realmente se ha comprobado que son un aspecto más para comprender la filosofía que esconden las obras de arte y los objetos en general.

En artículos pasados, reseñábamos las matemáticas que hay detrás de los embaldosados [ aquí , aquí , aquí y aquí ] citando trabajos realizados en muchas ciudades como, por ejemplo, aquel 'Periplo por la geometría de Valladolid', editado por el ayuntamiento de dicha ciudad (libro por cierto que se agotó en poco tiempo, y hubo que reeditar). La ciudad de Granada también tuvo un estudio, 'Paseos Matemáticos por Granada', publicado en 2017 y coordinado por el profesor Álvaro Martínez Sevilla, cuya reedición ampliada está próxima a aparecer.

Cuatro años después, tenemos la extensión lógica hacia un público más amplio que la que puede suponer un libro que, a priori, está orientado a los más directamente interesados: una exposición. Coordinada por la Fundación Descubre, y la cofinanciación de la Fundación Española para la Ciencia y Tecnología (FECYT) del Ministerio de Ciencia e Innovación y la Consejería de Transformación Económica, Industria, Conocimiento y Universidades de la Junta de Andalucía, la muestra consta de 24 paneles apaisados (siguiendo la proporción cordobesa), con tres ciudades protagonistas: Granada (11 paneles), Córdoba (6 paneles) y Sevilla (5 paneles). A ellos se añaden un panel de presentación y otro para los créditos de la exposición, con un amplio y brillante equipo de especialistas dirigido por Álvaro Martínez Sevilla. Además, se presenta un monitor con el video 'Viaje a las cúpulas andalusíes', y unos expositores con diversas herramientas didácticas (medición de proporciones, medición de arcos, reglas antropométricas), maquetas (cúpulas de arcos de la Mezquita de Córdoba, cúpula de mocárabes de la puerta del Lagarto de Sevilla), y otros materiales construibles (artesonados andalusíes y mosaicos de la Alhambra), semejantes a los que emplean los alumnos de secundaria y profesores que asisten a las sesiones de talleres que se ofrecen en paralelo a la exposición.

Tal y como indica el panel de presentación, los organizadores han pretendido mostrar las matemáticas presentes en el arte andalusí mediante un recorrido interdisciplinar: histórico, artístico, científico, matemático. Para ello se han apoyado además en tecnologías no utilizadas previamente (o al menos no de forma muy habitual) en este tipo de eventos, como la generación de modelos 3D, software de simulación de mosaicos, fotogrametría, realidad aumentada, recorridos interactivos y por supuesto, detalladas explicaciones matemáticas clásicas. En muchas de las fotografías se realizan análisis (geométricos fundamentalmente) que explican las matemáticas presentes en el diseño de los elementos arquitectónicos (arcos, plantas de las estancias, teselaciones, proporciones, entre otros). El trabajo y esfuerzo realizados han sido realmente notables.

Por ejemplo, en la imagen observamos con detalle la generación de los arcos del Mihrab de la Mezquita de Córdoba (los arcos, junto a las cúpulas, son dos de las innovaciones cordobesas destacadas). Los arcos de herradura visigóticos pasan a queda enmarcados en un alfiz, y los arcos del intradós (superficie curva interior de un arco o de una bóveda por su cara cóncava), y del extradós (curva exterior de un arco o de una bóveda), tienen distinto centro (los puntos rojos que vemos sobre la fotografía).

Gracias a software matemático como Geogebra, podemos trazar perfectamente líneas, circunferencias, hacer mediciones de longitudes, ángulos, etc., de un modo sencillo (por supuesto, después de obtener una fotografía lo suficientemente precisa, y sin perspectiva que nos pueda distorsionar las medidas). Así podemos comprobar que los dos arcos extienden exactamente el mismo ángulo, marcado por sendos triángulos equiláteros. Precisamente el baricentro de esos triángulos es el centro de las circunferencias que nos proporcionan ambos arcos, respectivamente. También se puede apreciar como el peralte del arco es mayor que ½ y su rosca y excentricidad son bastante elevados.

Los tópicos matemáticos que se esconden detrás del arte nazarí son muchos y diversos: movimientos en el plano (giros y simetrías, con y sin desplazamiento, homotecias, etc.), teselaciones, geodésicas, modulación, polígonos y poliedros, polígonos estrellados, incluso construcciones que pueden recordarnos a los fractales, entre otros. Sin embargo, los artífices de esta exposición no han exprimido exhaustivamente en cada panel todo lo que puede encontrarse en cada emplazamiento con el objeto de no abrumar al lector/visitante, seleccionando de cada espacio comentado sólo una de sus características más relevantes.

Gracias a las matemáticas se descubren aspectos como que cada una de las decisiones arquitectónicas adoptadas en la construcción de cada monumento tiene un sentido, no siendo siempre el puramente ornamental, contemplativo o estético, como habitualmente se menciona en los tratados de arte, sino también de profundas y meditadas resoluciones para diversos fines (militares, defensivos, hídricos; en general de tipo práctico y pragmático). En las muy pensadas explicaciones de los paneles de la exposición descubrimos muchas de ellas. Hay que advertir no obstante que no es una exposición a recorrer en media hora leyendo cada párrafo y mirando las imágenes, sin meditar sobre el contenido, como suele ocurrir en los recorridos turísticos en los que prima el 'tener el cromo y la foto' de haber estado allí, aunque fuera medio minuto. El verdadero provecho, y sobre todo, la verdadera dimensión a estos alarifes, ingenieros y matemáticos andalusíes se descubre y reconoce con minuciosidad, con reflexión, tal y como ellos lo pensaron. Por supuesto, no es una actitud a mostrar exclusivamente en el arte hispanomusulmán, sino que aparece en todos y cada uno de los rincones que podamos visitar en ciudades, construcciones y monumentos. Y es una lástima que este tipo de ideas pasen completamente desapercibidas, de ahí la relevancia de exposiciones como la que nos ocupa.

El exhaustivo trabajo realizado para elaborar la exposición ha permitido corregir algunos errores comúnmente transmitidos, como proporciones equivocadas, o la constatación, por mucho que nos duela, de la no presencia en la Alhambra de todos y cada uno de los 17 grupos de simetría del plano (los diferentes modos de crear mosaicos; falta uno). También se sugieren vías de trabajo e investigación poco estudiados, como la búsqueda del significado simbólico de los mosaicos. Algunos se conocen, pero no la mayor parte. En algunas de las imágenes de los paneles, en lugar de fotografiar los elementos reales, se han recreado mediante algoritmos implementados en ordenadores que los han plasmado con total exactitud. Mediante aplicaciones como Google Earth Pro y Google Maps se han determinado asimismo las orientaciones precisas y exactas de edificios, calles, oratorios, sorprendiendo los minúsculos errores que los matemáticos árabes del siglo XIV cometieron, teniendo en cuenta los medios de la época. En la siguiente imagen, observamos con total claridad, el apilamiento de seis frisos de cuatro tipos diferentes en el Patio de los Arrayanes de la Alhambra de Granada.

Los paneles están conformados de un modo claro y sencillo: un título del lugar que se analiza, una frase que trata de resumir el contenido que se quiere destacar, una explicación sobre todo histórica y artística, y un amplio conjunto de imágenes en los que se visualizan perfectamente los conceptos matemáticos que se pueden encontrar en el lugar. Así, el recorrido por Granada (centrado mayoritariamente en la Alhambra) tiene los siguientes paneles (entre paréntesis, en cursiva, la frase que resume su contenido): Puerta de la Justicia (El arte de la construcción defensiva), Puerta del Vino (Los arcos de herradura ponen pauta al espacio en una puerta de tránsito), La fachada de Comares (Una enigmática portada donde brota la dualidad), Patio de los Arrayanes (El esplendor de un palacio simétrico y proporcionado como el de Salomón), Salón del Trono (Una qubba majestuosa para el trono del sultán: jerarquía y orden), Palacio de los Leones (Donde el paraíso se hace piedra y agua. Modulación), Patio del Harén (La singular geometría en las habitaciones de las mujeres), Qubbas de Abencerrajes y Dos Hermanas (Las estrellas cobran vida en las cúpulas octogonales de mocárabes), Oratorios de la Alhambra (El precepto religioso en un palacio hedonista: orientación), Alicatados y yeserías (Arte geométrico con significado simbólico), Frisos (Una línea infinita para separar espacios y escribir caligrafías). El de Córdoba, ciudad en la que estuvo la exposición anteriormente, contempla Arcos Califales (Una exhibición de curvas entrelazadas sobre un bosque de columnas), Las cúpulas de la Mezquita (Técnicas pioneras que recorrerán Europa), Las portadas monumentales (Arcos ciegos, mosaicos y proporciones inauguran las “puertas de honor”), Una mezquita que no mira a La Meca (Las escuelas doctrinales disputan como orientar la arquitectura), Una qubba islámica para una sinagoga sefardí (Las matemáticas que definen el gen arquitectónico), La Bimah y la iluminación (Un arco lobulado para simbolizar la Menorah). Y finalmente, el de Sevilla recorre La Giralda (Un alminar imponente realzado con la geometría), La puerta del Lagarto (Las primeras bóvedas de mocárabes en Al-Andalus. ¿Cómo se construye un techo así?), El patio del Yeso (Un pórtico de celosía geométrica para una arquitectura solar), El palacio de Pedro I (El mudéjar conquista a los vencedores) y La Torre del Oro (Prismas poligonales para una arquitectura defensiva). La siguiente imagen nos muestra el arco heptalobulado de la sinagoga cordobesa. Es perfectamente visible que los centros de los lóbulos (señalados con un punto de color amarillo) se encuentran sobre los lados curvos de un triángulo de Reuleaux. El sentido simbólico del número siete para los judíos es muy conocido, apareciendo en muchos de sus objetos de culto, como los brazos de su candelabro ritual, la menorah. Su inspiración es claramente califal, con vestigios similares (con otro número distinto de lóbulos) en la cercana Mezquita.

Como todo en esta vida, la exposición también tiene algunos (pocos) aspectos que pueden resultar incómodos al visitante. El más evidente (pero eso depende de la formación del propio visitante) es que los paneles contienen términos, tanto de tipo artístico, como histórico, como matemáticos, con los que se debe estar familiarizado para seguir con provecho la descripción. No se puede explicar todo con sumo detalle porque entonces se necesitaría el doble de texto, lo cual haría más rechazable el conjunto. Por eso, a este tipo de muestras se le saca el mayor beneficio cuando se asiste a una visita guiada. Pero este es un inconveniente no achacable a las matemáticas, sino que aparece en cualquier tipo de temática. En este caso, hay una amplia oferta de actividades complementarias gratuitas a la exposición (talleres para alumnos y visitas guiadas). Otro aspecto que la mejoraría sería la posibilidad de tener réplicas de los materiales de las vitrinas para poder manipular, pero desgraciadamente esto no es aconsejable por la situación pandémica que atravesamos. Materiales de este tipo son los que nos permiten entender mejor los conceptos, mucho más que todas las imágenes que queramos visualizar, porque de ese modo, construyéndolo con nuestras propias manos, alcanzamos perfectamente a comprender cómo se idearon cúpulas y mosaicos, por ejemplo, y nos topamos con los inconvenientes a resolver y las soluciones a adoptar. Por eso son tan recomendables los talleres, para alumnos y público en general. Así lo están entendiendo, dada la alta asistencia que está teniendo.

El lugar elegido para albergar la exposición no ha podido ser más acertado: el Cuarto Real de Santo Domingo, de Granada. Se trata de un palacio musulmán del siglo XIII del que queda solamente una torre, con una ornamentación en yeso y alicatados realmente notables gracias a una minuciosa restauración, amplios jardines, un estanque y unas excavaciones de varias zonas del edificio primitivo. Su interés radica en ser uno de los escasos y más antiguos vestigios de edificio residencial, y modelo para algunas de las estancias más célebres de los palacios nazaríes de la Alhambra, entre otros. La exposición se encuentra en la planta alta del edificio moderno (ver imagen), y permanecerá allí hasta el próximo 9 de enero para trasladarse posteriormente a la Sala de Exposiciones del Instituto Andaluz de Patrimonio Histórico (IAPH) de Sevilla. Después irá a Algeciras, Málaga, Almería e incluso Túnez, en versión traducida al árabe.

Finalmente, si ustedes no planean estar en Granada estos días, o en los sucesivos emplazamientos que recorrerá la exposición, pueden disfrutar de un magnífico recorrido virtual alternativo en el enlace Paseos Virtuales , una auténtica gozada en la que podemos deleitarnos con panorámicas de 360º de los lugares descritos. Y, además, si somos vagos, o estamos cansados, con audio completo de todas las explicaciones.

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME)

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.