Quién inventó el cero y otras curiosidades del número más singular de todos

Desde los números perfectos a la importancia del teorema de Pitágoras, pasando por la demostración de que el 73 es el único número primo de Sheldon Cooper (exacto: el personaje de la serie « The Big Bang Theory » que, de hecho, motivó un descubrimiento), Sáenz de Cabezón recopila de forma amena e incluso práctica (cuenta con acertijos de diferentes niveles) «las revelaciones +divertidas y +grandiosas de las matemáticas». Aquí, algunas curiosidades acerca del número más «singular» de todos: el cero.

Convivimos de manera natural con él, es parte de nuestra vida. Pero no siempre ha estado ahí, ¿no? Porque, ¿qué es cero? «Resulta que el cero es... varias cosas a la vez», desvela el matemático. Y lo primero que fue es « la nada »: «Para empezar, el cero representa una cantidad nula, la nada, es decir, cuando no tenemos nada que contar». Es por ello que el uso más básico del cero se extendió por casi todas las civilizaciones. Eso sí, no tal cual nuestro 0, sino con otro símbolo, una palabra, un hueco...

Pero el cero no solo sirve para designar «la nada». Dependiendo de su posición, puede contar o no. Esto es el cero posicional . «Allí donde hay un sistema de numeración posicional -como nuestro sistema, con base 10- necesitamos un uso del cero más especializado para saber, por ejemplo, que en 2202 no hay nada en el lugar de las decenas y que por tanto 2202 no es lo mismo que 222», explica Sáenz de Cabezón.

Los responsables de este uso son los babilonios y los mayas , quienes de forma independiente idearon este cero «que cuenta». Los primeros fueron seguramente a partir de quienes llegó este sistema a India , en donde evolucionó para convertirse en un número de pleno derecho: entró en la aritmética y dejó de ser solo un símbolo posicional.

¿Qué pasaba mientras en Europa ? Ni griegos ni romanos contemplaban el cero (y aún así llevaron a cabo descubrimientos que han servido de base a mucha de la ciencia actual), y hubo que esperar hasta la Edad Media, momento en el que los árabes entraron por la península ibérica (son notables las figuras de Ibn Ezra , Gerberto de Aurillac y el famoso Fibonacci ) y le enseñaron las bondades de la mágica cifra al «mundo civilizado».

Pero, aún así, no hubo una «fiebre del cero» por todo el viejo continente. «Muchos de los avances de las matemáticas renacentistas se produjeron sin el cero. El gran Cardano , protagonista (junto con otros) de uno de los adelantos más potentes de la matemática del Renacimiento -la resolución de las ecuaciones generales de grado tres y de grado cuatro-, realizó todas sus investigaciones sin ayuda del cero)», explica el autor.

«A veces damos por supuesto que las cosas en matemáticas resultan más naturales o más obvias para todos de lo que en realidad son, y la historia del cero es un ejemplo tremendo de todo lo contrario: algo que para nosotros es hoy de uso corriente , y que parece que ha estado ahí toda la vida, costó siglos y siglos comprenderlo y encontrar su verdadera utilidad en matemáticas. Y todavía no llegamos a dominarlo del todo...».

La suma, la resta y la multiplicación por cero es bastante fácil. Pero cuando llegamos a la división... la cosa se complica. « Dividir entre cero es una cosa dificilísima y es aquí cuando se nota que el cero es muy raro», afirma Sáenz de Cabezón. Fue en la India donde con más ahínco intentaron ponerle solución al acertijo.

El primero fue Brahmagupta , el primero en utilizar este número en operaciones aritméticas. Para sumar, restar y multiplicar dio en la clave, pero al dividir solo dejó estipulado que «cero entre cero es cero», sin decir qué ocurre al dividir otro número entre cero. «Lo cual no es correcto», adelanta el matemático. Un siglo después, el matemático indio Mahavira afirmó que si dividimos un número entre cero, se queda igual. «Lo cual también es incorrecto». Y hubo una tercera tesis: el colega y paisano de los anteriores matemáticos, Bhaskara , decía que dividir un número entre cero da infinito. «Esto no es correcto del todo, y desde luego en aritmética no lo es en absoluto, pero puede tener cierto sentido». Entonces, ¿cuál es la respuesta?

«Dejémoslo claro desde el principio: si trabajamos con los números enteros y con la división normal , la de toda la vida, no se puede dividir entre cero », explica el autor. Por ejemplo: un número cualquiera n (distinto de cero), al dividirlo entre cero sería m, por lo que n/0=m. Pero entonces también sería m*0=n, y ningún número multiplicado por cero resulta n. Entonces, ¿por qué Bhaskara tenía algo de razón? «Pensemos en el cero no como el número en sí mismo sino como el resultado de tomar numeritos cada vez más pequeños, el límite de una sucesión». Es decir, dividir entre 0,5 - 0,25 - 0,1 - 0,05... Si cogemos una calculadora y dividimos n entre esos números ¡oh, sorpresa! el resultado crece. «Y, ¿hasta dónde crece? Pues ahí está la gracia, no para de crecer», explica Sáenz de Cabezón.

Sin embargo, la cosa cambia con cero dividido entre cero. «El resultado de esa operación es indefinido, porque podría dar cualquier cosa», adelanta el autor. Esto se explica con sucesiones: «Por ejemplo, 1, ½, ⅓ etc. es una sucesión. Pero no es la única. ¿Qué te parece 1, ¼, 1/9 ? Esta también tiende a cero, son números cada vez más pequeños». Entonces, el límite es el cero. Pero si se divide cada número de la segunda sucesión por la misma que le corresponde de la primera (por ejemplo, 1 entre 1 y luego ¼ entre ½ cada vez son números más pequeños, por lo que parece que cero entre cero es cero.

«Pero no nos aceleremos: ¿qué pasa si lo hacemos al revés?», propone el matemático. En ese caso, los números cada vez son más grandes, por lo que el límite es infinito. Y aún hay más. «Observa esta sucesión: 2 , 2/2 , ⅔, 2/5 ...Son cada vez números más pequeños, tienden a cero. Y si los dividimos entre 1 , ½, ⅓, ¼, 1/5..., el resultado siempre es 2, todo el rato, así que eso significa que, ¡en el límite, cero entre cero es 2!». Es por ello que cero entre cero está indefinido y por eso los límites de la forma «algo que tiende a cero» dividido entre «algo que tiende a cero» pueden tener cualquier valor.

Es una pregunta sencilla, pero cuya respuesta no conoce todo el mundo. « El cero es par, igual que el dos, el cuatro o el catorce », se muestra rotundo Sáenz de Cabezón. La explicación viene dada porque al dividir un número entero entre 2, el resto solo puede ser 0 o 1. Y 0 entre 2 da como cociente 0 y como resto 0. «Por tanto es par».

«El cero es una singularidad, un elemento extraño y, sin embargo, resulta una pieza fundamental en el edificio de las matemáticas. Si un día se produce el Apocalipsis Matemático, en algún momento el cero bajará en su trono de oro y se multiplicará con todo aquel que se encuentre, haciéndolo desaparecer para siempre en el abismo de lo nulo», escribe el matemático. Al menos, después de leer su libro, entenderemos sus «malvados» mecanismos.