Matemáticas para acertar quién ganará el Mundial de Rusia

Sobre las matemáticas inherentes a los resultados y clasificaciones hablaré poco o nada; creo que todo el mundo tiene claro las nociones de aritmética básica (sumar) que impregnan estas cuestiones.

Vamos a fijarnos en otros aspectos menos inmediatos que, haciendo uso de otras técnicas menos conocidas que las sumas, son susceptibles de ser estudiados y/o analizados con matemáticas.

¿Recuerdan, por ejemplo, al pulpo Paul ? ¿Aquel octópodo (descanse en paz) que en 2010 al ser ‘consultado’ sobre el resultado de la final del mundial de aquel año se comió el mejillón de la lata con la bandera de España ‘pronosticando’, con ello, la victoria de nuestra selección frente a Holanda? Evidentemente, aquello no fue más que un entretenimiento, exacerbado, posiblemente, por la circunstancia de que nuestra selección llegaba por primera vez a la final de este campeonato de fútbol. Nadie sensato esperaba causalidad alguna entre la decisión del cefalópodo y el resultado final del encuentro. No había nada científico allí.

Lo que no se hizo tan popular como Paul fue un estudio más serio y riguroso que, con el mismo objetivo, publicaron antes de la citada final los matemáticos Javier López Peña y Hugo Touchette de Queen Mary (Universidad de Londres) y que pueden consultar aquí.

En dicho artículo, los autores recogieron todos los pases dados en las distintas fases de juego previas al campeonato en Sudáfrica y llegaron a predecir el triunfo de España. Para ello, construyeron lo que se conoce con el nombre de grafo : una estructura en la que cada jugador es representado con un punto (lo llamamos vértice o nodo) y en la que se añaden flechas entre ellos (entre los puntos que representan a los jugadores) de diferentes grosores en función del número de pases en dicha dirección. Para cada una de las selecciones en el mundial de Sudáfrica, López Peña y Touchette elaboraron una red de pases (passing network) entre los jugadores durante todo el torneo y las compararon entre ellas. Para ello, asignaron a cada jugador en una puntuación, llamada centralidad , que mide lo vital que es para la red. A mayor valor de la centralidad, mayor será el impacto si ese jugador falla, por alguna razón. Este tipo de análisis es común para conseguir las redes informáticas más robustas, detectando que servidores son los que más pueden liarla si caen, por ejemplo.

Para calcular dicha puntuación, la centralidad de cada jugador, se tenían en cuenta, básicamente, 3 factores: la cercanía de cada jugador (si está bien conectado con el resto del equipo), la importancia de ese jugador en jugadas que conectan a otros dos compañeros de su equipo y, por último, la popularidad del mismo en el equipo. En pocas palabras, podríamos decir que el algoritmo usado para medir la puntuación de cada jugador en un equipo es similar al PageRank que Google utiliza para ordenar páginas en internet.

Con estos cálculos en la mano, las selecciones española y holandesa tenían asociados (respectivamente) los grafos mostrados en la siguiente figura:

Analizados los datos, estos revelaron que los jugadores españoles habían hecho un número sorprendentemente grande de pases en este torneo, casi el 40 por ciento más que Alemania y dos veces más que los holandeses. Por otra parte, equilibrio español también se encontraba en los pases que recibía David Villa, máximo goleador del torneo, con un promedio de 37 pases por partido, más que cualquier otro delantero del resto de los equipos. Por el contrario, el modo de juego holandés era claramente ofensivo, con número muy bajo de pases entre los jugadores, la mayoría de los cuales estaban dirigidos a los delanteros. Pues bien, en función de dichos datos, llegaron a la conclusión de que era más sencillo para España anular el juego holandés y que, por tanto, la victoria debía corresponder a nuestra selección, publicando dichos resultados el día 2 de julio de 2010 (días antes de la final). Y sin pulpo.

Evidentemente, este estudio mucho más riguroso y científico tampoco puede garantizar nada puesto que hay factores que no se tienen en cuenta: los futbolistas son seres humanos, con sus momentos bajos, con sus egos y sus preocupaciones personales. Pero, sin duda, son análisis con otras aplicaciones, como ya he mencionado, más rigurosas y, para mí, interesantes: los grafos.

Pero hay más. Hace algún tiempo y en esta misma casa hablábamos de una estructura geométrica con infinidad de aplicaciones: el diagrama de Voronoi . Pues, como también dijimos en aquella ocasión, se puede aplicar esta estructura al deporte rey para determinar qué equipo está mejor posicionado en el campo como le contamos a continuación.

Supongamos que tenemos dos equipos (equipo rojo y equipo azul) que ocupan esta posición:

La ventaja posicional de uno sobre otro puede que a simple vista no esté muy clara, pero si dibujamos el diagrama de Voronoi de los jugadores, obtenemos:

Se ve mejor sobre todo si coloreamos cada una de las regiones:

Se puede observar que el equipo azul no sólo ocupa mayor región del campo, sino que sus regiones están todas conectadas, con lo cual se favorecen los pases entre los distintos jugadores de dicho equipo (cosa que no ocurre con el rojo).

Pero los jugadores no son puntos fijos en el plano, se están moviendo continuamente; se hace necesario actualizar esta información constantemente. Para ello podemos recordar un trabajo de Joachim Gudmundsson y Michael Horton (Universidad de Sidney). Estos autores proponen asignar las regiones de influencia de cada jugador en función de su posición y de la dirección de su movimiento.

En la figura siguiente tenemos un ejemplo de cómo quedarían ahora las regiones: el jugador del la izquierda se mueve hacia la derecha a gran velocidad mientras que el jugador de la derecha está parado. Sombreamos de gris el área formada por los puntos a los que llega antes el jugador de la izquierda en función de su posición, dirección y velocidad de movimiento. La región en color blanco estará formada por los puntos del terreno de juego a las que el jugador de la derecha llegaría antes que el de la izquierda.

O sea, que si se tiene en cuenta el movimiento de los futbolistas, el aspecto que tendría el diagrama de Voronoi en realidad sería algo así:

Sin duda, un análisis automatizado de este tipo de configuraciones nos permitiría diseñar estrategias más efectivas de posicionamiento en el terreno de juego. Y, miren, tal y como están las cosas, no descarte que le llamen a usted para entrenar a la selección.

¿Sorprendidos? Bueno, no hace falta que se levanten para hacer la ola… O sí, porque también las matemáticas explican cómo se genera una ola en los estadios deportivos (o en el congreso de diputados). Esta ola, la de los estadios, es conocida como «la ola mexicana», puesto que se popularizó durante el mundial de México de 1986.

Pues bien, como he dicho, detrás de esta forma de celebración también se esconde un interesante sistema digno de ser estudiado con las herramientas de la física y la matemática. Existen diversos estudios, como este publicado en Nature , tratando sobre distintos aspectos de la ola, gracias a los cuales tenemos un buen entendimiento de las características de una ola, que son:

1. Se inician con un número reducido de espectadores, del orden de unas pocas docenas.

Se podría decir que se necesitan unos 25 espectadores para comenzar una.

2. Rápidamente se estabilizan y adquieren una velocidad típica de 12m/s, es decir, unos 20 asientos por segundo. Su anchura también permanece constante mientras está en la fase estable, de 6 a 12 metros, alrededor de 15 asientos en la fase levantada.

3. Generalmente, suelen ir en el sentido horario.

4. La ola se disipa de forma espontánea.

Crear modelos matemáticos para la ola mexicana es interesante por varios motivos. En primer lugar se ha de tratar con sistemas que muestran un comportamiento autoorganizado y espontáneo, comportamiento que surge de la coordinación entre un número elevado de individuos que actúan de forma independiente.

Esto es muy interesante, ya que el comportamiento colectivo depende de la decisión individual de cada espectador. Es decir, hay que combinar procesos de decisión con procesos de comportamiento conjunto, y eso es un reto tanto a nivel de la descripción teórica como la de la implementación de simulaciones por ordenador.

Afortunadamente, la física y la matemática nos proporcionan herramientas para afrontar este problema: el estudio de gases o materiales, por ejemplo, combinan descripciones de los elementos que los conforman con descripciones globales de tales sistemas.

En segundo lugar se puede intuir una cuestión que nos puede parecer trivial pero que en realidad es bastante compleja: cuando un pequeño grupo de espectadores se coordina para iniciar la ola, generalmente haciendo algún tipo de sonido, lo que se espera es que al levantarse y sentarse los espectadores cercanos tanto a derecha como a izquierda sigan con el movimiento. Es decir, la ola debería de propagarse a partir del foco en las dos direcciones permitidas.

Sin embargo, la experiencia nos dice -y si hemos estado en un campo de fútbol lo habremos vivido- que la ola se suele propagar solo en una dirección y que además suele ser la horaria. Eso introduce un elemento de rotura de simetría que es muy interesante, ya que lo exhiben muchos fenómenos físicos naturales (para un detallado tratamiento y para ver las simulaciones, echa un ojo a este enlace).

Haciendo uso de modelos probabilísticos del comportamiento de cada individuo se puede obtener una buena aproximación al comportamiento global de la ola. Con modelos muy simples se ha conseguido emular la aparición, propagación y extinción de una ola mexicana. De hecho, hay implementaciones tan chulas como en los campeonatos de fútbol de Lego, donde las gradas están programadas para que surjan olas de forma espontánea.

Este tipo de estudios aparentemente lúdicos tienen gran importancia para el tratamiento de la propagación de fuegos o de las señales eléctricas que controlan el movimiento del corazón. Tanto en un caso como en otro, ya sea el comportamiento de cada elemento de un bosque ante el fuego o el comportamiento de cada célula del corazón ante un determinado estímulo nervioso, es importante tener control sobre el comportamiento del sistema al completo. Por último, la investigación en este campo puede aportar herramientas en el manejo de crisis grupales en recintos cerrados y evitar catástrofes indeseadas.

Podríamos seguir hablando de fútbol y matemáticas pero lo dejamos hoy por aquí. Si se quedan con ganas de más les invito a que echen un vistazo a este libro tan gracioso que acaba de publicarse.

Clara Grima es profesora de la Universidad de Sevilla y presidenta de la comisión de divulgación de la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la RSME.