El gúgol y otras cantidades matemáticas gigantescas

Sin embargo, sospecho que el comentario más bien aludía, de un modo sarcástico y poco elegante , si es así, a que el tema tratado era demasiado elemental, sin ningún interés. Deben entender que no siempre toquemos temas de matemáticas superiores, porque hay lectores cuyo nivel matemático (en cuanto a estudios me refiero) no llega a determinados conceptos. Y desde luego a mí no me pueden achacar que no he escrito en esta sección sobre asuntos de cierto nivel ( problemas del milenio , series infinitas , productos infinitos, por citar algunos de los más recientes). Estas pequeñas aportaciones quieren ser divulgativas, para acercar aspectos matemáticos a cualquier persona, y eso implica que deben alternarse algunos sencillos con otros más complicados.

Pero no nos engañemos: ¿Hay algo totalmente trivial en matemáticas? Hoy voy a tratar de probarles que no, que no debemos confiarnos nunca (y esto no sólo atañe a las matemáticas), que no hay enemigo pequeño, ni se debe minusvalorar a nada ni a nadie . Una de las cosas más gratificantes de las matemáticas, para mí, como en el ajedrez, por ejemplo, es que un niño, una persona sin estudios, cualquiera, puede dejar en muy mal lugar a todo un catedrático o un medallista Fields , o a un campeón FIDE , respectivamente. A lo largo de la historia, en la literatura, en los sermones de todas las religiones, abundan los ejemplos que tratan de poner de manifiesto esta precaución ante la soberbia, pero no conozco mejor cura de humildad que las matemáticas (los discursos no dejan de ser eso, palabras que pueden resultar huecas; las cosas hay que demostrarlas con hechos). Pero antes, continuemos hablando un poco, como indiqué al comienzo, de números grandes Y seguiré que el asunto da para mucho).

Como ya se dijo en aquel artículo del billón , hasta épocas recientes no hubo necesidad de consignar números de muchas cifras a nivel práctico, por lo que las locuras de un reducido grupo de matemáticos teóricos no constituían tema de interés. Con las potencias de diez, había más que suficiente para manejarse en el día a día. Sin embargo, desde mucho antes, los matemáticos se habían topado con otro tipo de expresiones. Quizá la más conocida es el factorial de un número , porque aparece de un modo intuitivo para contar objetos: ¿de cuántas maneras distintas podemos colocar cinco libros en una estantería? El razonamiento es sencillo: primero pensamos en uno de los libros y descubrimos que hay 5 lugares distintos para colocarlo entre los demás. Fijado ése, el segundo de ellos puede colocarse en 4 posiciones distintas (porque el primero ya ha sido colocado en un sitio, ya no hay más «plazas» disponibles que cuatro). Razonando igual con los demás, descubrimos que existen 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =120 disposiciones distintas. En general con n libros, tenemos: n(n-1)(n-2)......2x1

Esta cantidad (multiplicar todos los números naturales en orden decreciente hasta llegar a la unidad), como aparece en muchos lugares, se «bautizó» con un nombre propio: el factorial de n , y se representa mediante n !

El factorial de un número crece de un modo espectacular. Por ejemplo, 120! = 6689502913449127057588118054090372586752746333138029810295671352301633557244962989366874165271984981308157637893214090552534408589408121859898481114389650005964960521256960000000000000000000000000000

Es decir, un número de 199 cifras. Expresado en notación científica, es 6.6x10^198. Unos pocos números más allá, con el factorial de 3249, alcanzamos la cifra de 6.4 x 10^10000. En matemáticas, trabajar con el factorial nos conduce a muchas y diferentes complicaciones. Pregunten a cualquier alumno de ingeniería, física o matemáticas que opinión les merece el factorial en el cálculo de límites . Esbozará una leve sonrisa y soplará, seguro (hablo de un alumno que estudie, y se tome un poco en serio la asignatura, obviamente). Uno de los pocos recursos de los que dispone es utilizar la llamada fórmula de Stirling :

Sí, parece peor el remedio que la enfermedad, ¿verdad? Pues les garantizo que es mucho más asequible sustituir el factorial por esa ristra de factores ( con número π incluido ). ¿No les pica el gusanillo saber por qué aparece tal cantidad como equivalente al factorial, que es un número natural, muy grande, pero natural, y aquí se sustituye por cantidades irracionales? ¡¡Ay, las matemáticas, cada vez más enigmáticas, pero más maravillosas!!). Si no fuera por esa expresión, no podríamos resolver casi ningún límite en que aparezca el factorial.

Pero el factorial también nos sorprende en las cantidades más pequeñas. ¿Saben que 0! = 1? ¿¿¿Cómo??? Sin ese «convenio», no podríamos trabajar con el factorial. «Convenio» que tiene su razón de ser. Observen:

Escrito de otro modo:

Particularizando entonces para n =3, n =2, n =1:

Parece convincente, pero en realidad, esto no demuestra nada, ya que la definición del factorial es exclusivamente para números naturales (del 1 en adelante; en esto no hay consenso: hay quien considera el 0 como natural, hay quien no). Sin embargo, en determinadas operaciones nos topamos con el 0!, y hay que darle algún valor. El convenio (que no es artificial, sino que se ha analizado concienzudamente para no incurrir en paradojas ni contradicciones) es que 0! = 1.

La notación del factorial y su denominación (ese signo de admiración) se deben al matemático francés Christian Kramp (1760 – 1826), ya que así lo escribe en su libro Éléments d'arithmétique universelle (1808). Pero en el prefacio de ese mismo libro indica: « Le he dado el nombre de "facultad". Arbogast lo ha sustituido por "factorial", que es más claro y más francés. Al adoptar su idea, me felicito por rendir homenaje a la memoria de mi amigo ». Se refiere al matemático Louis Arbogast , fallecido en 1803. No obstante, a algunos colegas no les gustó demasiado la notación. Por ejemplo, Augustus De Morgan , indica en una enciclopedia editada en 1842: « Entre los peores de los barbarismos está el de introducir símbolos que son bastante nuevos en matemática, pero que se entienden perfectamente en el lenguaje común. Los escritores han tomado prestado de los alemanes la abreviatura n! para significar 1 x 2 x 3 ... (n – 1) x n, que da a sus páginas la apariencia de expresar sorpresa y admiración por el hecho de que 2, 3, 4, etc. deban encontrarse en los resultados matemáticos ».

Si el factorial tiene sus inconvenientes, también existe el doble factorial , n !!, pero lo dejaremos para otra ocasión dado que tiene particularidades curiosas y no quiero alargar este artículo excesivamente.

Un número muy grande popularizado por un buscador de internet, es el gúgol (en inglés, googol ), nombre que designa a 10^100. Fue «inventado» por Milton Sirotta , un niño de nueve años (sí, sí, no me he confundido) al que su tío, el matemático norteamericano Edward Kasner pidió en 1938 que pensara en una denominación para un número formado por un uno seguido de cien ceros. Al contrario que los factoriales, matemáticamente no tiene relevancia alguna, obviamente. Si esto no les parece lo suficientemente alucinante, rayando lo surrealista, Kasner se animó, y definió el gúgolplex como un uno seguido de un gúgol de ceros, o sea 10 elevado a la gúgol-décima potencia. Y ya puestos, se ha iterado el asunto con el gúgolduplex (un uno seguido de un gúgolplex de ceros), el gúgoltriplex , etc.

Otro número gigantesco, de mayor interés desde el punto de vista matemático, es el mayor número primo conocido hasta el momento (se ha descubierto en diciembre de 2018). Tiene 24.862.048 cifras. Imprimirlo entero nos llevaría varios kilómetros de páginas, y leerlo en voz alta de principio a fin, sin descansar, nos llevaría entre cuatro y cinco meses. Se preguntarán que cómo ha sido entonces descubierto. La respuesta es sencilla. Se trata en realidad de:

El quincuagésimo primer primo de Mersenne . Ha sido descubierto por Patrick Laroche, miembro del Great Internet Mersenne Prime Search ( GIMPS ). Se trata de un proyecto fundado en 1996 de colaboración de voluntarios que buscan con sus equipos informáticos personales números primos de Mersenne, utilizando software disponible gratuitamente (con algoritmos escritos por matemáticos). Es uno de los primeros proyectos de computación distribuida a gran escala en Internet con fines de investigación.

Cualquiera puede unirse a este proyecto, respetando una serie de normas obviamente. Y todo esto, ¿para qué? (la archirrepetida pregunta). Bueno, ya hemos hablado alguna vez de que la seguridad de las comunicaciones actuales se basa en el conocimiento de la factorización de números compuestos (no primos) muy grandes. Pero si además quieren una razón más pragmática, hay instituciones que pagan mucho dinero por la obtención de números de estos (que supongo no lo harán porque no saben en que tirar el dinero). En la actualidad, por ejemplo, hay un premio de 150.000 dólares para quien encuentre el primer número primo que supere los cien millones de dígitos (en este enlace pueden ver que no me lo invento).

A todo esto, un número primo es de Mersenne, si es de la forma 2^n – 1, siendo n un número natural (lo denotaremos por Mn ). Su denominación es en honor al monje francés Marin Mersenne , que los estudió a principios del siglo XVII. Hay muchos resultados sobre estos números que nos facilitan su búsqueda. Por ejemplo:

La demostración de este resultado no es complicada (puede localizarse fácilmente en la red o en cualquier libro elemental de teoría de números). Se trata de una condición necesaria (frase condicional: si P es cierto, entonces Q es cierto). Como cualquiera de este tipo, en matemáticas la mayor información nos la proporciona la proposición negada, que de acuerdo a las leyes lógicas es un resultado equivalente (es decir, si Q es falso, entonces P es falso), que sería:

Este resultado facilita la búsqueda de primos de Mersenne, ya que nos dice que basta mirar aquellos Mn para los que n es primo. Por ejemplo, mirar si 2^6 – 1 es primo es perder el tiempo, porque el exponente n = 6, no es un número primo. No puede haber ningún primo de Mersenne para los que el exponente de 2 no sea un número primo. Pero, ojo, no todos aquellos cuyo exponente sea primo, serán primos de Mersenne: por ejemplo, 23 es primo, pero 2^23 – 1 = 8388607 no es primo porque se factoriza como 47 x 178481.

Por el momento sólo se conocen 51 primos de Mersenne (el último es el escrito arriba). El proyecto GIMPS ha descubierto 17 de esos 51 hasta ahora (todos los hallados desde que se constituyó dicho proyecto).

Seguiremos hablando de estos primos y los de Fermat, y otros números enormes (como el número de Graham , por ejemplo), pero en próximas entregas, de modo que, como las series televisivas que tanto apasionan… To be Continued .

En el colegio de primaria de mi hijo pequeño, llevo dieciséis años proponiendo en torno a su Semana Cultural un Concurso en el que madres/padres pueden colaborar con sus hijos (se propone desde el AMPA, y hay varios días para resolverlo; no es necesario saber más matemáticas que las de los niños de 5º y 6º de primaria, y ya me preocupo de que la mayor parte de las cosas no aparezcan resueltas en internet) denominado Concurso Ingenioso (sé que es poco original, pero es el que se me ocurrió en su momento).

Estoy corrigiéndolo en estos días, y ha habido una cuestión con muchas respuestas y razonamientos diferentes, lo cual no ha dejado de sorprenderme siendo una cuestión tan elemental. No es tipo test, pero la voy a proponer como si lo fuera, con las soluciones que han dado, y lo que pretendo es conocer su opinión acerca de cuál es la solución correcta (que obviamente es solo una). Todas las respuestas tienen un razonamiento, que no voy a incluir para no condicionar su opinión. Con ello enlazo con la idea del principio de que la sencillez o la dificultad es un concepto subjetivo. Les recuerdo que para resolverlo no se puede superar el nivel de primaria, y en ese nivel, no saben nada de ecuaciones (que a la gente a la mínima le encanta tirar de la x ; lo constato hablando con padres. Parece que es lo único que recuerdan del colegio, y les garantizo que, en muchos casos, no hace falta recurrir a ellas):

Beatriz y Carlota fueron una vez igual de altas. Desde entonces, Carlota ha crecido un 20%, mientras que Beatriz ha crecido la mitad de centímetros que Carlota. Sabiendo que Carlota tiene ahora 156 centímetros de altura, ¿cuánto mide Beatriz exactamente?

A: 137, 28 cm.B: 140,4 cm.C: 143 cm .

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.