Evariste Galois, la amarga historia del 'enfant terrible' del álgebra

Nuestra historia es, matemáticamente, de una belleza insólita, pero en todo lo demás se trata de uno de los episodios más amargos de la historia de la ciencia. En efecto, una noche antes de dirigir esas palabras a su hermano, nuestro protagonista se preparaba para morir en un duelo a pistola. Tres cartas por testamento: una a sus correligionarios republicanos, otra a su amigo Auguste Chevalier , y otra a sus colegas de siglos futuros.

Evariste Galois fue un hijo de su tiempo, el de los estertores de un Antiguo Régimen reacio a ceder el testigo a las fuerzas de la Ilustración. Y en el ojo del huracán, una turbamulta de desheredados, sin más credo que la ira y la pólvora.

Nuestro héroe había nacido en 1811 en Bourg-La-Reine, pequeña ciudad a las afueras de París, en el seno de una familia de pequeña y burguesa con simpatías napoleónicas. Educado por su madre hasta los doce años, quien lo formó en latín, griego y cultura clásica, no está documentado que fuese un niño prodigio en matemáticas ni en ninguna otra materia. Durante sus dos primeros años en el Real Liceo Louis-le-Grand, sus resultados estuvieron lejos de ser brillantes, e incluso repitió tercer curso. Lo que sí se había ganado era una notoria fama de alumno heterodoxo y alborotador.

Fue a los quince años, cuando Evariste comenzó a perfilarse como lo que estaba llamado a ser llegando a dominar las matemáticas de secundaria y devorando con avidez la geometría de Legendre y el álgebra de Lagrange . Allí se topó con un problema que se remontaba a la antigüedad y que estaba entonces en la frontera de la investigación: el estudio de las condiciones en que una ecuación algebraica, esto es, definida mediante un polinomio, se puede resolver usando sólo sumas, restas, productos, cocientes y raíces de sus coeficientes.

Intentó entrar en la Escuela Politécnica, orgulloso producto de la Revolución Francesa, meca científica europea y una de las principales cunas del jacobinismo. Sin embargo, suspendió dos veces el examen de admisión por sus maneras rebeldes. Pocos días antes del segundo intento su padre se quitaba la vida.

Así, tuvo que conformarse con la menos prestigiosa Escuela Preparatoria (futura Escuela Normal Superior), de la que sería expulsado al poco de estallar la revolución de 1830, que terminaría con la abdicación de Carlos X y la subida al trono de Luis Felipe de Orleáns .

Fue entonces, a los diecinueve años, cuando Galois completó su monumental 'Memoria sobre la resolubilidad de las ecuaciones por radicales', traducida al inglés en el apéndice del libro de H.M. Edwards 'Galois Theory'.

En un primer envío a la Academia de Ciencias de París, Cauchy rechazará la memoria por considerar (y es cierto) que tenía algunos puntos comunes con el trabajo de otro joven genial y también víctima de muerte tan dramática como prematura: el noruego Niels Henrik Abel , de quien Galois, según él mismo, «no conocía ni su existencia».

Segundo intento. Esta vez, Cauchy sí lo remitirá para análisis, pero Fourier, encargado de su publicación, fallece ese mismo año, y se pierde el manuscrito, siendo el trabajo de Abel el primero en ver la luz. Galois estalla en cólera y acusa a la Academia de una campaña de descrédito contra él. A tan lamentable episodio siguen tres publicaciones de los fundamentos de su teoría en el Boletín de las Ciencias Matemáticas, Astronómicas, Físicas y Químicas.

En 1831 nos encontramos a un Galois que ha pisado la cárcel y sin apoyos fuera del círculo revolucionario. Tercer envío a la Academia, esta vez por consejo de Poisson. Y tercer fracaso: irónicamente fue el mismo Poisson quien se lo rechazó, creemos que, con maneras muy urbanas y educadas, por una sencilla razón: que él mismo no era capaz de entender ni una línea. No le culpamos.

Galois recibió la noticia cumpliendo condena por un delito de sedición. Su memoria sería publicada a título póstumo en 1843, gracias a Joseph Liouville.

En el último año de EGB (hoy segundo de ESO) se enseñaba que la ecuación de segundo grado

(1)

admite como soluciones

Este resultado fue descrito en el Siglo IX por el persa Al-Juarizmi y se basa en el procedimiento de completar cuadrados, por el que la ecuación (1) se transforma en una ecuación directa:

Siete siglos más tarde, Hierolamo Cardano y Nicolo Fontana , apodado Tartaglia debido a su tartamudez, abordaron la ecuación de tercer grado:

(2)

cuyas soluciones, demostraron, son:

En esta expresión, la raíz cúbica

se escoge arbitrariamente (nótese que dado un número real o complejo no nulo siempre existen tres raíces cúbicas distintas), y

se escoge de tal manera que p=–3uv. Por ejemplo, para la ecuación

se tiene

Por lo que tomando la raíz cúbica real

se obtiene

Las otras soluciones se obtienen de tomar las otras dos raíces cúbicas de

Parece que fue Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, el primero en resolver la cuártica:

(3)

El método de Ferrari se basa en reducir esta fórmula a dos cúbicas, cuya solución estaba aún en fase de «desarrollo», por lo que el resultado de Ferrari se publicó junto con la solución de la cúbica dada por su maestro en su tratado ' Ars Magna ' (1545). Hay que hacer notar que Cardano le había jurado a Tartaglia no publicar este resultado, que su autor tenía previsto incluir en un trabajo sobre la materia que estaba preparando. Refrene el lector su indignación: también Tartaglia había publicado, haciendo pasar por suya, una traducción de Arquímedes que no era sino una leve variación de otra debida a Moerbeke (ver ' A history of Mathematics ', C.B. Boyer, U.C. Merzbach. Pág. 255).

Volviendo al álgebra, el paso definitivo en la solución de la cuártica lo dio Lagrange, mediante el uso de la resolvente, que resumimos a continuación. Dado un polinomio

A estas expresiones se les conoce como fórmulas de Cardano-Vieta y observamos que, si permutamos las raíces en cualquier orden, dichas expresiones se quedan invariantes. Son lo que se denomina expresiones simétricas. Así, el lector avispado podría pensar que para resolver la ecuación (3) basta despejar, por ejemplo, la última raíz en la última fórmula de Cardano-Vieta , sustituir en la penúltima, luego en la antepenúltima y así hasta la primera. Este enfoque, sin embargo, está condenado al fracaso, toda vez que al final del proceso llegamos a una expresión de grado 4!=24 (el número de permutaciones de las 4 raíces). La idea de Lagrange es la siguiente:

Consideremos los 24 números:

(6)

Donde los subíndices (i, j, k, l) se mueven entre 1 y 4 y donde la letra i que aparece como coeficiente es la unidad imaginaria. La resolvente de Lagrange es el polinomio

(7)

Donde la Pi mayúscula denota el producto. Aunque este polinomio tiene gado 24, usando las fórmulas de Cardano Vieta se puede expresar como producto de dos polinomios de grado 3, pero evaluados en X4. Resolviendo estos últimos, encontramos los 24 valores u_i,j,k,l por lo que resolviendo (6) obtenemos las raíces buscadas.

Tras este hito, fue natural encararse con el grado 5. El primero en conjeturar que no existe una fórmula general análoga fue Paolo Ruffini en 1799 y el primero en demostrarlo fue Abel. Su enfoque radica en la estructura del grupo de permutaciones de 5 elementos, radicalmente distinto a los de 4, 3 y 2 elementos.

Familiarizado como estaba con la obra de Lagrange, Galois había llegado al mismo resultado que Abel, razón por la que Cauchy rechazó el manuscrito. Pero este contenía mucho más. Veámoslo.

Si bien no existe una fórmula general que exprese las soluciones de una ecuación de grado 5 o superior en términos de los coeficientes usando sólo sumas, productos y radicales, eso no es óbice para que algunas ecuaciones particulares de grado superior sí se puedan resolver por radicales. Pues bien, la memoria de Galois contiene también la condición necesaria y suficiente para que, dada una ecuación particular, podamos decidir si esta es resoluble o no por radicales. Damos a continuación algunas pinceladas sobre su prueba.

Arranca la memoria con varias definiciones. En concreto, dada una ecuación algebraica f(x)=0 de grado n, cuyos coeficientes pueden ser números o letras (lo que cubre también el caso de Abel), explica Galois lo que entiende por función racional de los coeficientes, a saber, un elemento del cuerpo K donde viven dichos coeficientes. Supondremos que K será el cuerpo de números racionales.

A continuación, dado un radical b, raíz n-ésima de un número a, se considera el cuerpo K(b) formado por todos los cocientes de expresiones polinomiales en el radical b y con coeficientes en K. A este cuerpo se le llama ampliación de K por adjunción del radical b. Llamemos F al cuerpo obtenido adjuntando a K las soluciones de f(x)=0.

Si tras un número finito de adjunciones el cuerpo final llega a contener todas las raíces de f decimos que f es resoluble por radicales.

A partir de aquí desarrolla Galois su enfoque, cuya idea clave es la noción de grupo: un grupo es un conjunto sobre el que se ha definido una operación asociativa, con elemento neutro y tal que cada elemento posee un inverso.

Galois sólo considera el grupo de todas permutaciones de n elementos con la operación de composición (la composición de dos funciones f y g es la función que a todo x le asocia f(g(x))). Concretamente, Galois asocia a la ecuación f el grupo S(f) tal que una función racional de las raíces lo es también de los coeficientes de f si y sólo si queda invariante por S(f).

A continuación, prueba Galois que si p es primo, al adjuntar a K un radical b de grado p y las raíces p-ésimas de la unidad, también se adjuntan automáticamente las otras raíces de su ecuación definidora. Nos referimos a esta propiedad diciendo que el cuerpo K(b) es extensión normal de K. Así, si f es resoluble por radicales existe una sucesión de extensiones normales desde K hasta F de tal modo que cada eslabón tiene grado primo. A esta propiedad nos referimos diciendo que S(f) es un grupo resoluble y es la idea central de su trabajo. Para mayor detalle remitimos al lector al anexo III del opúsculo «Gauss y el álgebra de su tiempo», de Ignacio Sols , en la serie de Historia de la Matemática en el Siglo XIX, de Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales.

Hemos dicho que la obra de Galois trasciende con mucho la teoría de ecuaciones algebraicas y así es: en primer lugar, su trabajo establece una correspondencia entre las extensiones algebraicas de K y ciertos subgrupos de permutaciones. Es más, cuando nos restringimos a las extensiones normales antes referidas, la correspondencia es biyectiva y puede verse como un diccionario entre el conjunto de dichas extensiones y el conjunto de los subgrupos del grupo de Galois. Es quizá el primer ejemplo de una equivalencia entre categorías matemáticas, que tan felices consecuencias había de tener.

En segundo lugar, aunque Galois sólo consideró grupos de permutaciones, la idea general de grupo es hoy omnipresente en matemáticas y hasta cierto punto en física teórica.

También la teoría algebraica de números y con ella la prueba de Taylor y Wiles (entre tantos otros nombres) del último teorema de Fermat serían impensables sin la aportación de Galois.

En cuanto a aplicaciones «del mundo real» diversos sistemas de comunicaciones inalámbricas tienen en su base la teoría de Galois. Nos referimos, por ejemplo, al código de Alamouti, o a los códigos Golden y Golden+ incluidos en el standard IEEE Wimax 802.16e.

La Unión Astronómica Internacional bautizó un cráter lunar con el nombre del genial francés. Descanse al fin en paz en el silencio de los astros y en la eternidad de su legado.

Iván Blanco Chacón es profesor e investigador en la Universidad de Alcalá de Henares.

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) .