Todo a la vez en todas partes: lo que las matemáticas ya sabían del multiverso

Cabe preguntarse si la causa es el argumento (el multiverso), la realización (mucho montaje y poca interpretación), lo injusto de los premios, o todo ello.

No es la primera vez (ni será la última) que la ciencia ficción y la fantasía recurren a temas aparentemente retorcidos: 'Matrix' (Hermanas Wachowski, 1999), 'Origen' (Christopher Nolan, 2010), entre otras muchas; y Y tampoco son breves precisamente... Ni que aparecen expresiones visuales diferentes (el movimiento Dogma, por ejemplo), o que se dan premios interesados. En cualquier caso, no siendo esto un lugar para hablar de cine, vayamos a las matemáticas.

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Fernando Blasco

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Es frecuente escuchar a docentes y matemáticos (dirigiéndose a sus alumnos, sobre todo, con afán motivador) que las matemáticas contienen todo, que siempre podemos encontrar algún concepto o resultado que contempla cualquier idea (es lo que tiene la generalización, fundamento básico de la matemática). Y este no es un caso diferente.

La existencia de diferentes universos paralelos o multiverso (idea y nombre que data de 1895, definido por el psicólogo William James) es evidente en los diferentes conjuntos de números existentes en matemáticas. Comenzamos con los números naturales, los que nos sirven para contar, esto es, N = {1, 2, 3, 4, 5, …}. Aquí por cierto comienza una controversia: hay quien considera el cero también como natural, y otros que no. No voy a entrar ahora en este asunto, pero yo me alineo entre los que no lo toman como natural, porque si éstos son los que sirvan para contar cosas, cuando no hay nada que contar no necesitas nada, porque nada tienes.

Tras la necesidad de contar, aparece la necesidad de hacer operaciones. Por ejemplo, añadir más objetos a los que ya tienes, definiéndose la suma o adición. Para esta operación no necesitamos más números porque la suma de dos naturales sigue siendo un número natural. Sin embargo, en el momento en que el hombre necesita hacer transacciones comerciales, intercambios, pagos, etc., aparece la sustracción o resta. Y todos sabemos lo que sucede cuando debemos más de lo que tenemos. Necesitamos otro tipo de números, los enteros, que son todos los naturales junto al cero y a los negativos. En definitiva, el conjunto

ℤ = { …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Claramente, los naturales están incluidos dentro de los enteros. Es decir que los números naturales comparten dos «universos» diferentes: pueden ser tratados como enteros o como naturales, y en cada sitio rigen propiedades diferentes (algunas comunes, pero las hay distintas). Después, con la operación división, nos aparecen números que no están en ninguno de esos dos conjuntos. Se definen entonces los números racionales

La condición de que el divisor sea diferente de cero es obvia, porque no se puede dividir por cero, y la de que a y b sean primos entre sí obedece a que, sin entrar en detalles técnicos, el número racional es la fracción simplificada, sin factores comunes, ya que

es decir, aunque las anteriores sean fracciones diferentes, corresponden sin embargo al mismo número racional, 0.5.

Obviamente los racionales incluyen a todos los enteros (ya que éstos aparecen cuando el denominador b es – 1 o 1). Por tanto, ahí tenemos al número 2, por ejemplo, en tres universos diferentes por ahora, el de los naturales, el de los enteros y el de los racionales. Posteriormente aparece la necesidad de calcular longitudes, con ellas la operación raíz (cuadrada, cúbica, etc.), y es necesario definir los números irracionales, que son aquellos que no tienen raíz exacta (como

etc.), junto a los números con infinitos decimales no periódicos (como pi, e, etc.). Cuando los racionales y los irracionales se unen en un único conjunto, aparecen los números reales. Y cuando pasamos a dos dimensiones (es decir, pasamos de una única línea, a considerar objetos con base y altura, o sea puntos del plano, designados mediante dos coordenadas, como el punto (1, 2) de la gráfica,

aparecen los números complejos. De modo que el número 2 aparece en varios «universos»: los naturales, los enteros, los racionales, los reales…, y los complejos, porque 2 puede expresarse como 2 + 0i, siendo i la unidad imaginaria (que advierto para los que sean demasiado «imaginativos»: se llama imaginaria, no porque no exista, sino porque está en el eje OY, el de las «imágenes»). En esta reseña anterior del ABCdario de las Matemáticas se describieron con más detalle los diferentes tipos de números.

Quizá algunas personas, los que estudiamos la EGB por ejemplo, recuerden por otra parte que, un mismo número puede tener diferentes «apariencias» dependiendo de la base de numeración que se empleé. Así, por ejemplo, el número 11 en base decimal, pasado a binario, es decir, base 2 (donde sólo existen el 0 y el 1), se expresa como 1011 ( aquí ya explicamos cómo se pasa un número de base decimal a binaria). Es claro el porqué:

Pero es que en base 3 (o sea en el «universo» en el que sólo existen los dígitos 0, 1, 2), el 11 tiene la apariencia 102

Para cada base de numeración b, con 2  b  11, tendrá un «aspecto» distinto:

Así pues, el número 11 además de estar en el «universo» de los naturales, los enteros, los racionales, los reales y los complejos, también «aparece» con distinto aspecto según la base de numeración en que «viva». Esas bases de numeración se encuentran en otros conjuntos algebraicos llamados anillos, cuerpos, módulos, etc., dependiendo de las propiedades que cumplan (recuerden aquello de la asociativa, conmutativa, etc.). Así estar en base 2 equivale a ser parte del cuerpo conmutativo ℤ/(2), en base 3 sería ℤ/(3), etc. En general están los conjuntos ℤ/(n), donde n es un numero natural cualquiera. Y ya saben que hay infinitos números naturales, de modo que las afirmaciones de la película «El Universo es mucho más grande de lo que imaginas» o «Hay un multiverso infinito», no está diciendo nada extravagante, …. en el mundo de las matemáticas. Por si alguien se piensa que esto son matemáticas muy complicadas, de eso nada: son matemáticas elementales, de un primer curso de álgebra abstracta a lo sumo.

Les dejo un reto sencillo relacionado con esto, que perfectamente podría haber aparecido en la película: encontrar un personaje que tiene el aspecto xyz en el «universo» de base 7 y que al pasar el «universo» de base 9 aparece como zyx. ¿Qué aspecto tiene en nuestro mundo decimal? ¿Se animan a descubrirlo? (No hace falta más que haber entendido lo que se ha contado aquí, y por supuesto, echar alguna cuenta).

Pero no solamente los números habitan en multiversos. Incluso hay resultados, teoremas, que tiene distinta formulación en diferentes lugares, a pesar de responder a la misma idea. En otro artículo de esta sección , hablábamos de cómo surgió y qué era la geometría proyectiva. Recordemos, para entender lo que sigue a continuación, que en el plano proyectivo no existen las rectas paralelas: todas se cortan en el llamado punto del infinito. En ese contexto, existe el principio de dualidad, en el que a cada proposición le corresponde otra simplemente cambiando algunas palabras clave (y eso no sucede en el «universo» de la geometría euclidea). La siguiente afirmación es clara:

Todo par de puntos distintos determinan una única línea recta.

Cambiemos gramaticalmente punto por recta y recta por punto, y leamos lo que aparece:

Todo par de rectas distintas determinan un único punto.

Son proposiciones distintas, indican cosas distintas, pero una surge de la otra simplemente con un intercambio de palabras. Son sentencias duales. Y no sólo hay teoremas duales en el plano proyectivo. También hay figuras, objetos, duales (incluso hay objetos auto-duales).

La idea de multiverso aparece también en Física (mecánica cuántica, principio de indeterminación de Heisenberg, el famoso gato de Schrödinger, entre otros ejemplos), en Filosofía, Mitología y Religión (¿qué es la reencarnación budista sino un existencia en diferentes universos? o el Dios judeo-cristiano que es uno y trino (ya saben, padre, hijo y espíritu santo, además de estar omnipresente), en Psicología (cuando soñamos, visitamos algún que otro universo diferente del real; el psicótico Norman Bates de Psicosis (Alfred Hitchcock, 1961) también «vivía» en dos universos paralelos), en Literatura (los viajes en el tiempo, las aventuras de Alicia en un cierto país), en Cosmología, en Astronomía, etc. El lector que haya seguido este artículo también habrá visitado cuatro «universos» distintos.

Links o hipervínculos se llaman ahora, las referencias bibliográficas de toda la vida. En definitiva, nada nuevo bajo el sol, el multiverso está bastante trillado desde hace mucho como para sorprenderse por una película. ¿Qué el argumento es mediocre? Yo aún no la he visto, pero estoy seguro que no será peor que algunas que me vienen a la cabeza, aunque tampoco me parecerá merecedora de tanto botín como el obtenido. Pero desde luego, jamás me sorprenderá nada que no haya visto en el mundo de las matemáticas. Puede incluso que algún guionista falto de ideas encuentre en ellas argumentos interesantes….

* El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

SOBRE EL AUTOR

Alfonso Jesús POblación sáEz

Profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la RSME.