La curva que logró un gol histórico a 40 metros

Las cónicas aparecen con una tecnología modesta, como su propio nombre indica: tienen su origen en el cono. Para obtener un cono (como el de los helados), basta con coger dos rectas que se corten y girar una alrededor de la otra. La recta que gira es lo que se llama la ‘generatriz’ de la superficie cónica que se obtiene. La que se queda fija es el ‘eje’ del cono. Si queremos visualizar una superficie cónica (generalización del cono anterior) basta con tomar un triángulo rectángulo y hacerlo girar alrededor de uno de sus catetos (que constituye el eje de la superficie cónica, siendo la hipotenusa del triángulo la generatriz de la misma), pero imaginando que la hipotenusa es infinita y además hay otro triángulo simétrico a partir del vértice.

Una vez que tenemos esa superficie cónica la cortamos por un plano y así nos van apareciendo las diferentes cónicas, al ir variando la relación entre el plano de corte y el eje de la superficie, como se ve en la figura adjunta:

-Cuando el plano es perpendicular al eje el corte es una circunferencia.

-Si lo vamos inclinando, pero sigue dando una curva cerrada, se trata de una elipse.

-Cuando es paralelo a la generatriz el corte es una parábola.

-Si corta a las dos partes de la superficie cónica la curva es una hipérbola.

También podemos verlas en los hermosos grabados de Durero (1471-1528), uno de los más destacados artistas que conocía y aplicaba las matemáticas:

El origen de las cónicas, como tantos otros de nuestros conocimientos actuales, está en la Grecia clásica. Apolonio de Perga (262aC-180aC) escribió un importante tratado sobre las secciones cónicas, en el que recoge estudios anteriores. El motivo del mismo fue buscar soluciones con regla y compás, como se exigía en la geometría de la época, a tres famosos problemas griegos que hoy sabemos que son irresolubles: la duplicación del cubo, la trisección de un ángulo y la cuadratura del círculo.

Durante siglos no se dio mucha importancia a las cónicas hasta que, ya en el siglo XVII, Kepler (1571-1630) descubrió que Marte recorre una órbita elíptica, con el sol situado en uno de sus focos (de donde procede la denominación de esos puntos). Como eso no solo pasa con Marte, sino también con el resto de los planetas, nos vemos desplazándonos por el Universo siguiendo recorridos que son cónicas. Y no solo nosotros desde la humilde Tierra, porque todas las trayectorias de cuerpos en el espacio son algún tipo de cónica.

Todas las cónicas tienen unas propiedades curiosas y sorprendentes. En particular todas ellas se puede definir como un lugar geométrico de distancias a puntos y/o rectas. En el caso de la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo (llamado foco) y de una recta (que se llama directriz). La perpendicular a la directriz que pasa por el foco es el eje de simetría de la parábola.

La parábola tiene una propiedad que la hace jugar un papel determinante en la transmisión y recepción de noticias. Si desde el foco trazamos una recta hasta un punto cualquiera de la parábola y por ese mismo punto hacemos la paralela al eje de simetría, la recta ‘normal’ a la parábola (que como en cualquier curva es la perpendicular a la tangente a la curva en el punto) es la bisectriz de las dos rectas que hemos trazado.

Esta propiedad sofisticada tiene una aplicación sencilla, sobre todo en el caso del paraboloide , que es la superficie que resulta al girar una parábola alrededor de su eje de simetría. Si en el foco ponemos una bombilla y la superficie del paraboloide está pulida, al incidir la luz en un punto cualquiera del paraboloide sale reflejada (puesto que el ángulo de incidencia y el de reflexión coinciden) en dirección paralela a la directriz. Y como la luz se emite desde la bombilla en todas las direcciones, al reflejarse en los diferentes puntos del paraboloide se refleja siempre en la misma dirección: tenemos un foco que emite la luz a distancia. Así son los focos de las salas de espectáculos o de los coches.

Para captar ondas utilizamos la misma propiedad pero al revés: si llegan haces de ondas paralelos a la directriz se reflejarán todos en el foco del paraboloide. Para lograr emitir ondas con esa propiedad solo hace falta una fuente de emisión situada en la dirección del eje y lo bastante lejana como para que sus emisiones lleguen paralelas. Eso es lo que hacen los satélites geoestacionarios (que quiere decir ‘quietos respeto a la Tierra’, lo que no supone que no se muevan, sino que su posición relativa respecto a la misma no varíe) y para colocar bien la antena lo único que hay que hacer es enfocarla al satélite del cual hay que recibir las señales. Todas esas señales se concentran en el foco del paraboloide (que es donde está el receptor de la televisión). Cuanto más grande sea la antena (mayor superficie tenga) más señales concentra y mejor es la recepción del programa. Por eso en los campos de transmisión y de recepción, militares o de las compañías de telefonía, las antenas son enormes.

Además de para comunicarnos, los paraboloides se pueden utilizar para generar electricidad (concentrando en el foco la energía del Sol) o como cocinas solares (colocando el recipiente en el foco del paraboloide). Y también son parabólicos los disparos por elevación con un balón de fútbol, como el famoso (al menos en mi ciudad, Zaragoza) disparo lejano de Nayim que se introduce en la portería después de seguir una trayectoria parabólica y que le supuso al Zaragoza la conquista de la Recopa de Europa de fútbol en 1995.

Por esta misma razón funcionan las atracciones tan comunes en los museos de la ciencia (o centros similares) en los que se puede hablar a distancia. Se trata de dos paraboloides con la misma directriz y de dos personas que se sitúan en los respectivos focos. Sus palabras se trasmiten en dirección del eje común de ambos y se concentran en el oído del otro participante.

La elipse como lugar geométrico es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Y aprovechando esa definición hay una manera sencilla de construir una elipse, por ejemplo en un jardín. Se coge una cuerda, se clavan los extremos en dos puntos del suelo, se tensa la cuerda con un punzón y se va desplazando por la cuerda: así dibujamos una elipse cuyos focos son los dos puntos en los que hemos clavado los extremos. Cuanto más cercanos sean esos puntos más parecida es a una circunferencia, que puede construirse cuando esos dos puntos se juntan: es el centro de la misma.

La elipse también tiene propiedades interesantes para las ondas: si se dirige un rayo partiendo de uno de los focos, al reflejarse en la elipse sigue una dirección que pasa por el otro foco. Eso sucede por ejemplo en algunas estaciones de Metro, si el techo tiene esa sección elipsoidal: como cada uno de los focos está en uno de los andenes se oye perfectamente desde cada uno lo que se habla en el otro andén, pero puede haber dificultades con lo que se dice en el mismo andén.

Esa propiedad hace que si tenemos una mesa de billar elíptica (aquí puedes ver una foto) , si ponemos una bola en cada uno de los focos, de cualquier manera que impulsemos una de ellas rebota en la banda y le da a la otra: eso permite hacer carambolas sin ningún tipo de entrenamiento (lo cual no es mala cosa con lo difícil que es el billar).

Pero lo más importante de las elipses es que es la forma de todas las trayectorias estables en el espacio. La excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente 0,0167, casi una circunferencia. La de mayor excentricidad es la órbita de Plutón, 0,2481, que incluso es pequeña. Los cometas y los satélites también describen órbitas elípticas. En el extremo contrario está el cometa Halley cuya excentricidad es de 0,9675, muy próxima a 1, lo que hace que su periodo sea tan grande.

Una revolucionaria técnica que se utiliza desde hace algunos años para el tratamiento de los cálculos renales utiliza también estas propiedades. La idea principal consiste en usar ondas sonoras intensas generadas fuera del cuerpo del paciente para pulverizar las piedras y convertirlas en arena que pueda ser fácilmente eliminada por el organismo. La clave está en enfocar las ondas para que no afecten al cuerpo, sólo al cálculo. Para ello se usa una cámara semielipsoidal , en uno de cuyos focos se crea una poderosa chispa que evapora agua. La parte que golpea el reflector converge en el otro foco, donde se encuentra la piedra, con toda su intensidad, provocando su destrucción. La mejor cura para un cálculo (renal) es un poco de cálculo (matemático). No está de más recordar que el cálculo de operaciones se llama así porque los romanos hacían lo suyos con piedrecillas.

Vemos que, como anunciábamos al inicio las cónicas tienen una variada presencia en nuestra vida. Y eso que solo nos hemos referido a dos de ellas, dejando aparte la omnipresente circunferencia y la hipérbola . En efecto, la vida es una curva.

Fernando Corbalán. Universidad de Zaragoza. Miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la RSME.