¿Qué tienen en común algunos tipos de patatas fritas, las pompas de jabón y las centrales nucleares?

Pero, ¿qué tiene esta superficie, escogida por el jabón, que la hace preferible a las demás?

Resulta que de todas las posibles superficies que tienen por borde al alambre, la forma que adopta la película de jabón es precisamente la que tiene menor área.

Este tipo de superficies, las que poseen menor área de entre todas las delimitadas por una cierta curva, se denominan superficies mínimas y hace tiempo que la comunidad matemática se percató de que pueden ser descritas utilizando la curvatura. En particular, las superficies mínimas son superficies cuya curvatura media vale exactamente cero en todos sus puntos. Pero, ¿qué es esto de la curvatura media? Para poder introducir este concepto, tenemos que hacer un pequeño viaje a través de una idea importantísima en geometría, la curvatura.

La curvatura es un concepto que transmite la idea de cuanto se aleja una curva o una superficie de ser, respectivamente, una recta o un plano. Podemos definir la curvatura, (la llamaremos k ) de una curva plana C como una función que a cada punto p de dicha curva le asocia un número real k(p) , esto en matemáticas se suele denotar así:

Dado un punto p de una curva C , podemos pensar en la circunferencia tangente en ese punto que mejor se ajuste a la curva. La curvatura en p , es decir k(p) , se puede interpretar como el inverso del radio de esa circunferencia.

Notad que esta idea de curvatura concuerda con nuestra intuición original de que se trate de un valor que mide cómo de distinta es nuestra curva respecto de una recta.

En los puntos en los que la curva se parezca a una circunferencia de radio grande la curvatura será pequeña, mientras que en los puntos en los que la curva se parezca a una circunferencia pequeña su curvatura será mayor. Con esta idea de curvatura las rectas tienen curvatura nula ya que las interpretamos como circunferencias de radio infinito… Ok, todo cuadra por el momento.

Bien, ya conocemos como se define la curvatura en cada punto de una curva plana pero, ¿como definimos la curvatura de una superficie? Ay amigo, aquí se complica el asunto…pero poco.

Pensemos ahora en una superficie M cualquiera y tomemos un punto p de la misma. Podemos escoger un vector normal n , es decir, que sea perpendicular a la superficie en ese punto. Digo escoger, porque nuestro vector normal puede apuntar hacia un lado de la superficie o hacia el otro. Este hecho hará que podamos tener curvaturas positivas y negativas.

Tomamos todos los planos que contienen al vector normal, los podemos parametrizar por medio de una dirección alpha , y hacemos su intersección con la superficie M , obteniendo así para cada dirección alpha una curva plana sobre M que llamaremos C _ alpha .

Por tanto, para todo punto p de una superficie M y dada una dirección alpha podemos definir la curvatura en esa dirección como la curvatura C _ alpha de en ese punto p

Cabe destacar que para una superficie y un determinado punto obtendremos distintos valores de la curvatura según la dirección que tomemos. Los valores máximo y mínimo de estas curvaturas son lo que se conocen como curvaturas principales y usualmente se denotan respectivamente como k _ 1 y k _ 2. Estas dos curvaturas serán claves para nuestros propósitos.

Ya sabemos como definir la curvatura de una superficie en un punto, en una cierta dirección. Sin embargo, el objetivo de una función curvatura es no depender de direcciones sino ser una función que para cada punto nos de un número real.

¿Y como conseguimos tal función? Hay varias maneras. Veremos dos: la curvatura de Gauss y la curvatura media.

Una de las curvaturas más conocidas es la curvatura de Gauss, y se define como el producto de las curvaturas principales,

por tanto si M es una superficie, su curvatura de Gauss para cada punto viene dada por

Esta curvatura nos permite distinguir tres tipos de puntos en una superficie:

-Elípticos si K >0. Las dos curvaturas principales tienen el mismo signo.

-Parabólicos si K =0. Al menos una de las curvaturas principales es nula.

-Hiperbólicos si K < 0. Las dos curvaturas principales tienen distinto signo.

Estos últimos se suelen llamar puntos silla por su parecido con las sillas de montar de los caballos.

La curvatura media de una superficie, en un punto de la misma, es el valor medio de la curvatura en todas sus direcciones. Es decir cogemos todas las curvaturas de las curvas planas C _ alpha que nos aparecen en las distintas direcciones y hacemos la media. Por lo tanto la curvatura media se define como

¡Una definición con integrales! Pero no pasa nada, porque gracias a un genial resultado de Euler podemos describir las curvaturas en las distintas direcciones en términos de las dos curvaturas principales tal que así,

por lo que haciendo esa integral -cuidado que las carga el diablo- obtenemos que la curvatura media se puede definir equivalentemente como la media de las dos curvaturas principales.

Mucho mejor sin integrales, donde va a parar. Otra consecuencia del resultado de Euler es que las curvaturas principales son perpendiculares, yo lo dejo caer como que no quiere la cosa. En conclusión, dada una superficie , su curvatura media viene dada por

Habíamos aventurado, al comienzo del artículo, que las superficies minimales se pueden describir como aquellas que tienen curvatura media nula en todos sus puntos, es decir H =0, en todos los puntos de la superficie. Una primera consecuencia de este hecho es que en las superficies minimales se satisface que las curvatura principales son opuestas, es decir,

por lo que la curvatura de Gauss en todos sus puntos será,

o lo que es lo mismo la curvatura de Gauss de una superficie mínima no puede ser positiva. ¡Atención, atención! porque esto último implica que en una superficie mínima todos sus puntos son puntos silla (si k _ 1 es no nulo) o es una superficie plana (si k _1 es nulo). Fíjate que maravilloso resultado acabamos de obtener sin más que aplicar las definiciones de curvatura media y de Gauss.

Desde un punto de vista más práctico, la superficies mínimas han sido muy utilizadas en múltiples y diversos campos de la industria. Puesto que minimizan el área, su uso puede producir importantes reducciones de gastos y por ello no es nada extraño encontrar ejemplos de estas superficies en el día a día, como por ejemplo en algunos tipos de patatas o en las torres de refrigeración de las centrales nucleares.

Para obtener nuestros propios ejemplos de superficies mínimas basta coger un alambre cerrado, (o varios), al que daremos distintas formas, sumergirlo en una solución jabonosa y extraerlo con cuidado. En mi caso cogí una percha a la que no tenía mucho aprecio y un cubo de agua con bastante jabón. Fui dando distintas formas a la percha, lo cual me originó diferentes superficies mínimas. Te animo a hacer la prueba en casa, lo pondrás todo perdido, sí, pero conseguirás superficies muy chulas y podrás comprobar que, en efecto, todos sus puntos son puntos silla a no ser que se trate de una superficie plana.

Víctor M. Manero es profesor de la Universidad de Zaragoza y miembro de la comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la comisión de divulgación de la RSME.