Recta o curva: ¿cuál crees que es la forma perfecta de un tobogán?

Centrémonos en los toboganes , fijándonos en concreto en su forma, en la curva que determinan viéndolos de perfil. Es evidente que uno de sus objetivos es que el que se sube disfrute al máximo de la bajada (sin riesgos, por supuesto: nunca veremos una caída libre totalmente vertical, excepto si la «llegada» es lo suficientemente «blanda» -una piscina, por ejemplo, aunque en éstas hay que tomar precauciones adicionales-, y ese goce depende de la velocidad que se alcance en el desplazamiento .

Quedémonos por el momento en los parques infantiles urbanos. En la mayoría, el perfil es una línea recta : la que une el final de la escalera de subida con el punto final. A mayor altura, y dependiendo del punto donde finalice, mayor o menor pendiente, es la única diferencia.

No me puedo creer que ningún diseñador no conozca que existe una curva que proporciona el descenso más rápido porque se recorre en el menor tiempo posible por cualquier cuerpo sujeto únicamente a la fuerza de la gravedad. Nuestros antepasados la denominaron braquistócrona (del griego brachistos, que quiere decir «el más corto», y chronos, que es «tiempo»), y su búsqueda llevó a muchas personas a investigar y analizar sus propiedades, que admirablemente, no son pocas, y muy curiosas, además de provocar más de una disputa seria. Y entonces la pregunta que inmediatamente me asalta es: ¿por qué no hay toboganes con perfil de cicloide?

El problema fue planteado por Johann Bernoulli en 1696 como un desafío a la comunidad matemática, después de que él mismo ya lo hubiera resuelto. Sin embargo, siendo correcta la conclusión de que esa curva era la cicloide , su demostración se consideró incorrecta. Cuando su hermano mayor, Jakob, lo demostró, y lo hizo bien, Johann intentó hacer pasar por suya la demostración de su hermano, aunque lo descubrieron.

Los Bernoulli son seguramente la familia que más científicos relevantes han dado a la humanidad (unos doce en total destacaron en matemáticas y/o física), aunque no son un ejemplo precisamente de cordialidad y fraternidad entre ellos. Jakob y Johann fueron los más destacados, y los que peor se llevaban. Por cierto, Newton también resolvió con éxito la cuestión, al día siguiente de ser planteada, según los historiadores de las matemáticas. Leibniz y L´Hopital también resolvieron satisfactoriamente la cuestión. La verdad es que el plantel de genios coincidentes en una misma época fue excepcional.

Aunque seguramente el mérito debamos apuntárselo al desarrollo de la nueva manera de enfocar los problemas: el cálculo infinitesimal . El problema de encontrar la curva braquistócrona fue el primero de otros tantos, y el primero también del llamado cálculo de variaciones, una generalización a espacios funcionales de la búsqueda de valores máximos y mínimos (extremos) de funciones reales. Euler y Lagrange desarrollaron posteriormente este campo a lo largo de todo el siglo XVIII.

Esta curva fue bautizada y estudiada ya anteriormente, en 1599, por Galileo. Se define como el lugar geométrico que describe un punto cualquiera de una circunferencia cuando ésta rueda sin deslizar a lo largo de una línea recta. En la imagen se ha tomado como punto de la circunferencia de radio a el que está en contacto con el suelo (en negro). Al rodar la circunferencia observamos una posición posterior del punto. A la mitad del recorrido (cuando la circunferencia ha dado media vuelta), el punto se encuentra en su valor máximo, de coordenadas (πa, 2a).

Es claro porqué: en el eje de abscisas (el horizontal) la circunferencia se ha desplazado la mitad de su longitud (que recordemos es 2πa), y en el eje de ordenadas (el vertical) el punto se encuentra en el valor del diámetro de la circunferencia, es decir, 2a. Si terminamos de dar la vuelta completa, el punto ha recorrido la curva dibujada en rojo. Esa es la cicloide. En la imagen también podemos ver las ecuaciones de la cicloide en coordenadas paramétricas. Este tipo de coordenadas, en lugar de expresar una función de la forma y = f(x) con las habituales coordenadas cartesianas (es decir, dando valores numéricos a x, obtenemos y, y con ellos situamos el punto de coordenadas (x, y)), proporcionan las coordenadas de los puntos en función de un parámetro. En este caso el parámetro común a la x, y a la y, es el ángulo θ. Dando valores numéricos al ángulo, se obtiene el valor de x, y de y, y se representan exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

«¿Qué porqué usamos este nuevo tipo de coordenadas? ¿Para que los alumnos tengan que estudiar más?», suelo ironizar en clase. Con ejemplos concretos aclaro a continuación que justamente es por todo lo contrario, para facilitar las cosas , porque la expresión de la cicloide en cartesianas es muy complicada y engorrosa, y los cálculos se vuelven horrorosos cuando se tiene que operar con ellos. En cambio en coordenadas paramétricas (o en coordenadas polares con otras curvas), los cálculos se simplifican mucho. Muchísimo en algunos casos, como en el cálculo del área de un simple círculo, por ejemplo. Éste no es el sitio para que ustedes comparen, pero para que se hagan una idea: de llenar un par de pizarras (si usaramos coordenadas cartesianas), a calcularlo en una línea de dos pasos elementales (en paramétricas o polares). Esto es como un carpintero o un fontanero: dependiendo del problema a resolver, se necesita una herramienta u otra, nada más que eso. Pero para ello, hay que conocer dichas herramientas.

Galileo intentó calcular el área encerrada por la cicloide (tres veces el área del círculo que la genera) mediante procedimientos imaginativos (pesando piezas de metal cortadas y colocadas sobre la forma de la cicloide), pero no lo logró de forma general. Torricelli , Fermat y Descartes sí hallaron el valor de esa superficie. La cicloide también fue estudiada por Roberval en 1634, Wren en 1658, Huygens en 1673, y Johann Bernoulli en 1696. Hoy en día cualquier alumno de primer curso universitario es capaz de calcular el valor de esa superficie, sin demasiado esfuerzo, resolviendo una integral de las fáciles, sin más que utilizar la expresión del cálculo de áreas en coordenadas paramétricas (nueva advertencia a terraplanistas y negacionistas del cambio climático: estas integrales son otra cosa distinta a un tipo de barras de pan).

La demostración de que la curva braquistócrona es la cicloide se simplifica también gracias al cálculo infinitesimal, aunque no es elemental. Incluye relacionar la ley de la conservación de la energía, ecuaciones diferenciales, las ecuaciones de Euler-Lagrange , y cierta soltura en operaciones elementales como la derivación de expresiones implícitas. Demasiado técnico para este foro, aunque quien lo desee puede ver dicha demostración en este enlace.

La demostración (ya corregida) de Johann Bernoulli utilizaba ideas de óptica en un campo que nada tenía que ver aparentemente, la mecánica. Partía del principio de Fermat que establece que es un rayo de luz el que recorre cualquier camino en el menor tiempo. Ese resultado implica la conocida ley de refracción de la luz (conocida en países anglosajones como ley de Snell ) que establece que cualquier onda experimenta un cambio de dirección y de velocidad al pasar de un medio a otro con distinto índice refractivo cuando incide oblicuamente sobre la superficie de separación de los dos medios.

Ahora mismo es cuando alucináis porque estáis pensando que ni hay cambio de medio cuando nos tiramos por un tobogán, ni vemos relación alguna con la cicloide, que es una curva, y la luz se propaga en línea recta. Por eso digo que es genial, porque ahí es donde entra el cálculo infinitesimal, c onsiderando en el desplazamiento a lo largo del tobogán, cambios de medio infinitesimales (o sea tan pequeños como queramos).

La imagen adjunta lo aclara todo (confío). A partir de ahí, utiliza como en la prueba de sus colegas, el principio de conservación de la energía y la resolución de una ecuación diferencial. Pero no crean que todo se acabó ahí, dado que, en siglos posteriores, se hicieron nuevas demostraciones (Hamilton en el siglo XIX, por ejemplo) aplicando nuevos métodos. Todo para buscar una mejor comprensión y simplificación de cálculos para las generaciones posteriores (que a pesar de todo consideran que «todo es muy complicado»; si se echara de vez en cuando un vistazo a la historia de la ciencia, descubriríamos lo que es de verdad complicado, y reconoceríamos el verdadero genio de nuestros antepasados).

Para los que ya estén pensando en sacar «peros», soy plenamente consciente de que el estudio de la cicloide como braquistócrona que se ha descrito es en ausencia de rozamiento , cosa que n o ocurre cuando bajamos por el tobogán . En este caso, ya no es exactamente una cicloide la curva braquistócrona, sino una variación . Sin embargo, a efectos de divulgación, es más que suficiente. Nos daríamos con un canto en los dientes sólo con conocer esto y que el público no siguiera mayoritariamente eligiendo la pendiente recta como la más rápida para bajar. Lo verificamos diariamente con el público que asiste a la recién inaugurada sala de matemáticas del Museo de la Ciencia de Valladolid , cuando se les pregunta qué bola llega antes al final de las tres que aparecen en la imagen superior.

Como se ha comentado previamente, la cicloide resuelve además otros muchos problemas, como el de la tautócrona o isócrona (de image los prefijos griegos tauto = mismo o iso = igual, y chrono = tiempo), es decir, la curva para la cual es irrelevante el punto del que se lance un objeto sin rozamiento hasta su punto más bajo porque se llega a la vez, en el mismo tiempo, considerando también únicamente la fuerza de la gravedad. O es la que permite que una bicicleta con ruedas cuadradas se deslice sobre ella tan suavemente como la bicicleta de ruedas circulares en un suelo rectilíneo.

Para finalizar, si el perfil de una cicloide es el que más «emoción» puede generar al que se tira por el tobogán, volvamos a la pregunta inicial, ¿por qué en los parques mayoritariamente son de perfil recto? Mi sospecha es que la respuesta tiene que ver, como casi siempre, con la economía : se «gasta» menos tiempo y dinero en la construcción de un perfil recto que en cualquier forma curva. Para comprobarlo, gracias de nuevo al cálculo integral, echemos unas cuentecillas. Se trata de calcular la longitud de los diferentes perfiles. Supongamos que el desnivel a salvar es de 2 metros de altura, y el punto de “aterrizaje” se encuentra a 3 metros. Veamos cuánto material necesitamos gastar con una recta (la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aquí ni integral ni otras historias; eso sí, una raíz cuadrada de esas de las algunos se quejan porque según ellos no se utilizan para nada), un arco de elipse, una parábola y una cicloide (en la imagen son, respectivamente, la azul, la verde y la morada; falta la cicloide precisamente).

Los valores que se obtienen son: 3.60555… metros para la recta, 3.678414… metros para la parábola y 3.96635…. metros para la elipse. Lo que sale para la cicloide es un valor próximo al arco de la elipse (la curva verde), mayor, por tanto, como ya sabíamos, que la de la recta. Si tienen curiosidad, calcúlenla ustedes y me lo dicen, a ver si les sale lo que a mí.

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la RSME.

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).