El comportamiento secreto de los números primos en espiral

2² + 0² + 1² + 9² = 86; 8² + 6² = 100; 1² + 0² + 0² = 1,

el número 2019 es feliz y, por extensión, este año será feliz. En la entrada de este ABCdario correspondiente al 8 de enero , Fernando Corbalán nos detallaba las características y propiedades de los números felices.

En otra dirección se orientaban los que nos deseaban un año afortunado, nuevamente apelando al concepto de número afortunado (concepto introducido en 1955 por Verna Gardiner, R. Lazarus, Nicholas Metropolis y Stanislaw Ulam para la revista Mathematics Magazine), cuya definición es completamente diferente. Para obtener los números afortunados, escribimos una lista con todos los números naturales

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …

A continuación, nos quedamos con el primero de la lista, el 1 que será el primero de los afortunados, y tachamos de dos en dos a partir del segundo de la lista. Nos queda una nueva lista de números:

1 , 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, …

Nuevamente, nos quedamos con el 3, que es el primero de los no tachados y nuestro segundo número afortunado, y tachamos de tres en tres (el 5, el 11, el 17, …) los números de la nueva lista. Nos quedan ahora los números

1, 3 , 7, 9, 13, 15, 19, …

Como el primer número no tachado es ahora el 7, se van tachando de siete en siete los números de la nueva lista, y así sucesivamente. El resultado final será una selección de números no tachados, llamados precisamente números afortunados, entre los cuales está el 2019, el cual ocupa la posición 278. No habrá que esperar mucho tiempo hasta el próximo año que sea número afortunado, que es el 2023.

Este método de eliminación para destacar un conjunto especial de números nos recuerda a la famosa criba de Eratóstenes , procedimiento establecido por el astrónomo Eratóstenes de Cirene, allá por el siglo –3, con el que se obtienen todos los números primos hasta una posición determinada (que depende de nuestra paciencia y el tamaño de nuestra hoja de papel). De hecho, se ha comprobado que los números afortunados comparten algunas propiedades con los números primos, lo que nos da alguna esperanza en una mejor comprensión de estos números tan esquivos.

El eterno problema de destacar a los números primos entre sus colegas compuestos parece no tener solución, lo cual no impide que la comunidad matemática desista de su empeño en desentrañarlo.

Algunos intentos clásicos de obtención de fórmulas algebraicas no pudieron prosperar, ya que Christian Goldbach probó en 1752 que ningún polinomio con coeficientes enteros da como resultado un número primo para todos sus valores enteros. Son bastante conocidas algunas fórmulas sencillas, a la vez que curiosas, con las que se pueden obtener algunas colecciones de números primos. Un ejemplo muy popular es el polinomio de Euler n² + n + 41, que da como resultado un total de 40 números primos diferentes al sustituir el valor de n por 0, 1, 2, …, 39. Ya no vale si n = 40, porque 40² + 40 + 41 = 41². Un poco mejor es el polinomio 36n² – 810 n + 2753, con el que se obtienen 45 números primos diferentes desde n = 0 hasta n = 44.

El ya citado matemático polaco Stanislaw Ulam (1909-1984) da nombre a una nueva distribución de los números naturales en forma de espiral , mediante la cual aparecen misteriosamente representados los números primos. En esta imagen se muestra la forma de construir la espiral de Ulam con los cien primeros números.

¿Dónde están los números primos (los que están sombreados) en esta espiral? Con pocos números no hay demasiada información, así que vamos a ampliar la imagen hasta los mil primeros números.

Sin ser del todo precisos -ya sabemos que los números primos son muy esquivos-, se puede observar una mayor concentración de números primos en determinadas líneas horizontales, verticales y diagonales de este esquema. Lógicamente, esta curiosidad no le llega a la suela de los zapatos al famoso teorema del número primo, que proporciona una fórmula para estimar la proporción de números primos con respecto al de los números naturales para cantidades muy grandes. Sin embargo, tiene otras cualidades que agradan a científicos y artistas. Por ejemplo, la mayoría de los números primos que se obtienen dando valores al polinomio de Euler ya citado tienen una disposición muy especial pues forman dos líneas oblicuas como la que se observa en la imagen. De hecho, algunos cambios de variable con este polinomio dan lugar a otros polinomios que contienen los números primos de ciertas diagonales de la espiral de Ulam.

¿Y esto interesa a los artistas? No solo interesa sino que inspira. La artista vasca Esther Ferrer realizó una serie de obras basadas en la espiral de Ulam, bajo el título “Poema de los números primos” , y puedes pisar una de las más espectaculares (un cuadrado de 20 metros de lado) si paseas por el parque del Prado de Vitoria.

Como podría esperarse, esta línea de trabajo iniciada por Eratóstenes no se detiene aquí: en 1994, Robert Sacks propuso situar a los números naturales formando una espiral de Arquímedes, lo que se conoce como la espiral de Sacks . ¿Qué descubrió? Que hay ciertas curvas que contienen también gran cantidad de números primos. ¿Ratifica esto que estos números tienen de verdad algún comportamiento secreto que no somos capaces de desvelar? El pulso continúa y la gloria está reservada para las mentes que logren encontrar alguna respuesta.

Pedro Alegría es profesor de la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea y miembro de la comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) .

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME).