La mal llamada 'paradoja del cumpleaños', qué es y cómo se explica

De entrada, una pregunta trivial. ¿Cuánta gente cree que hace falta reunir en un grupo para que la probabilidad de que dos personas tengan la misma fecha de cumpleaños (día y mes) sea mayor del 50 por ciento? ¿50, 60, 70… personas?

Seguramente que a priori muchos de nosotros pensaremos que hay que congregar a un número muy elevado, sin embargo, con tan sólo 23 personas se alcanza una probabilidad del 50,7%. Una cifra que se eleva hasta el 99.6% cuando en la reunión hay 57 personas.

Vayamos a un caso concreto, por ejemplo, nuestra monarquía. De un total de diecinueve monarcas españoles -los comprendidos entre los Reyes Católicos y Felipe VI- hay dos coincidencias: Carlos II y Carlos IV, ambos nacieron el 11 de noviembre, y José I y Juan Carlos I, que nacieron un 5 de enero.

A esta probabilidad se la conoce como la 'paradoja del cumpleaños', un término que, la verdad, no parece muy apropiado, ya que en sentido estricto de paradoja no tiene nada, más bien se trata de una contradicción lógica a la intuición y que está en línea al llamado 'principio del palomar'.

Este principio establece que si 'n' palomas se distribuyen en 'm' palomares, y si 'n' es mayor que 'm' -hay más palomas que palomares-, al menos habrá un palomar con más de una paloma. Hasta aquí todo en orden, parece un asunto tan trivial y simple que ni siquiera necesita demostración, sin embargo, tiene una gran potencia y numerosas aplicaciones que pueden usarse en la teoría e grafos, en combinatoria y en las ciencias de la computación.

El primero en abordar este concepto fue el alemán Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), al que se le atribuye la definición formal moderna de una función. Este matemático teutón lo bautizó como el 'principio de las cajas': Schubfanchprinzip (1834).

Extrapolando la paradoja del cumpleaños podemos afirmar que en un concierto con más de 800 personas habrá, al menos, dos de ellas que tendrán las mismas iniciales de su nombre y de su primer apellido. Esto se debe a que cada inicial una de las veintisiete letras del abecedario, lo que significa que hay 27x27=729 combinaciones posibles entre nombres y apellidos.

Ya hace varias décadas que Martin Gardner planteó sus famosos problemas matemáticos de los calcetines. Uno de ellos decía que si en una bolsa hay 10 calcetines negros y 10 calcetines blancos, ¿cuántos habrá que sacar para encontrar un par que coincida en color? Simplemente, tres.

Otra forma curiosa de plantear el problema es analizar si se repiten las dos últimas cifras de la matrícula en quince automóviles anotados al azar. La probabilidad es del 67%, es decir, ganaremos dos de cada tres veces. Una cifra que se puede elevar a cinco de cada seis veces si en lugar de quince matrículas se analizan diecinueve.

Un problema con un poco más enjundia matemática sería demostrar que si se toman cinco enteros entre el 1 y el 8 –ambos inclusive- habrá obligatoriamente un número par de ellos que sumen 9. De entrada, hay cuatro pares enteros entre 1 y 8 que suman 9, a saber, 1-8, 2-7, 3-6 y 4-5. Estos pares serían los 'palomares' y los cinco números tomados son las 'palomas', por lo que según el principio del palomar tiene que haber, al menos dos números que pertenezcan al mismo par.

Todos estos ejemplos son problemas muy elementales, pero el principio de Dirichlet se puede aplicar a planteamientos muchos más complejos.

Pedro Gargantilla es médico internista del Hospital de El Escorial (Madrid) y autor de varios libros de divulgación.