La paradoja del cumpleaños, el problema matemático que puedes probar en tu agenda

Pero vamos a cosas ‘importantes’: ayer se resolvió la Liga y ya conocemos al campeón. Hoy no será el único artículo que hable de fútbol, pero nosotros vamos a hacerlo desde otro punto de vista. El fin de semana hubo 10 partidos de primera división, ¿cree que en alguno de ellos hubo, contando solo los 22 jugadores que iniciaron el partido y el árbitro principal, dos de los ‘actores’ que cumplían años el mismo día (o sea con el mismo cumpleaños)? O si esto parece poco probable, ampliamos a los dos jueces de línea y los dos entrenadores, a un total de 27 personas.

A pesar de no ser un gran entusiasta ni de haber mirado ni alineaciones ni mucho menos las fechas de nacimiento de los jugadores, si alguien me quiere hacer una apuesta yo apostaría sin ninguna duda por que sí hubo coincidencias, en ambos casos y varias. ¿Resulta que no soy aficionado al fútbol y sí apostador compulsivo? ¿O tengo información privilegiada (algo que los medios nos muestran que no poca gente tiene o ha tenido)?

La respuesta está en el llamado ‘Problema del cumpleaños’ : “En una reunión hay N personas que se han juntado de forma casual. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día (es decir, que hayan nacido el mismo día del mismo mes)? O por pedir algo más concreto, ¿cuántas personas tiene que haber para que la probabilidad sea 1/2 (o del 50%)?”. Lo de la ‘forma casual’ es lo que sucede en los partidos de fútbol o en la agenda de cumpleaños.

Y la respuesta es sorprendente (y la daremos razonadamente más adelante). Con 23 personas la probabilidad de que haya dos personas con el mismo cumpleaños es un poco mayor del 50%. Y asciende a más del 62% cuando ponemos a los árbitros. Y si usted es persona sociable y felicita a 50 amigos o conocidos la probabilidad de que coincidan dos es del 97%. Y si son más de 60 ya es casi seguro: del 99.5%.

Pero atento con el ‘casi’ que hemos puesto: si apuesta a que pase puede hacerlo varias veces porque pronto ganará. Pero en absoluto será una casualidad que le pase: es muy probable. Para hacerse idea de la probabilidad, el 99.5% es mucho, muchísimo: de cada mil veces que se repita en unas 995 va a suceder. Pero no apueste algo que tenga en mucho aprecio (no digamos la vida, pero sí por ejemplo una oreja) porque el 99.5% no es la seguridad: puede perder. Y la probabilidad de que no pase es muy pequeña, pero bastante mayor que la de que nos toque algún premio importante en cualquiera de las loterías (legales) a las que tan aficionados somos en nuestro país (que es primera potencia mundial en juegos de azar), a las que se juega con la esperanza, manifiesta en las conversaciones habituales, ¡de que nos saque de la crisis y nos permita tapar agujeros!

En todo caso, como el fútbol da para mucho, en diferentes ocasiones se ha mirado a ver si las previsiones teóricas se cumplían. En el Mundial de 2014 participaron hay 32 equipos, cada uno con 23 jugadores. Mirando las fechas de nacimiento de la lista oficial de la FIFA, 16 equipos tenían al menos un cumpleaños compartido, el 50% del total. Cinco de ellos, además, tenían dos pares de coincidencias de cumpleaños: España, Colombia, Suiza (2), Estados Unidos, Irán (2), Francia (2), Argentina (2), Corea del Sur (2), Camerún, Australia, Bosnia Herzegovina, Rusia, Holanda, Brasil, Honduras y Nigeria. En la Eurocopa de 2008 (en la que España fue campeona), había 8 de las 16 selecciones presentes que tenían parejas de jugadores nacidos el mismo día: Turquía, Suiza, Alemania, Grecia, Austria, Francia, Rusia y Suecia. Y en las cuatro últimas de la lista anterior dos parejas a las que les pasaba.

Para ver cuál es la probabilidad hacemos algunos cálculos y aplicamos la definición: el cociente entre los casos favorables (CF) y los casos posibles (CP). Suponemos que el año tiene 365 días y hallamos la probabilidad de que no haya coincidencias. Una vez que la tengamos, restando de 1 (o de 100 si lo hacemos en porcentaje) tendremos la probabilidad buscada.

Consideremos que el grupo es de N personas. Seleccionada al azar una de ellas, puede cumplir años en cualquiera de los 365 días del año, lo mismo que sucede con la segunda, con la tercera y con todas las demás hasta tener las N personas. Luego el número de CP que se pueden dar es:

Ya tenemos la fórmula y al aplicarla a los diferentes valores de N tenemos la tabla siguiente, donde p(N)% es la probabilidad en porcentaje:

Ahora que ya estamos entrenados con cumpleaños, otro problema de cumpleaños un poco diferente. Ahora no se trata de que haya dos personas con el mismo cumpleaños, sino que sea justamente el día de mi cumpleaños; o dicho de otra manera que haya en la sala otra persona cuyo cumpleaños coincida con el mío. ¿Cuántas personas tiene que haber en este caso para que la probabilidad sea del 50%?

Como buscamos que p sea 0.5 (o 50%), eso no se logra cuando N = 23 como en el caso anterior (para ese valor p = 0.061151, algo más del 6%), sino que se alcanza para N = 254 personas (en cuyo caso p = 0.5005). Ahora sí que es un resultado más próximo a nuestra intuición.

Si le han sorprendido los resultados anteriores, no crea que es el único que no acaba de percibir con agudeza el azar, porque tiene ilustres colegas. Pascal y Fermat, dos grandes matemáticos del siglo XVII, fundadores de la teoría de la probabilidad, tuvieron muchas dificultades para resolver unos problemas que ahora se abordan en Bachillerato. Y otro grande Leibnitz (1646-1716), que además era aficionado a jugar a los dados, creía erróneamente que era igual de difícil sacar 11 que 12 al tirar dos dados. Mucho más cerca, Paul Erdös (1913-96), uno de los matemáticos más destacados del siglo XX, dijo que era imposible la que era correcta solución de un conocido y sencillo problema de probabilidad (del que otro día hablaremos).

Nacemos los humanos con muchos sentidos, pero parece que nos vendría bien otro del que carecemos: el sentido del azar. Y si lo queremos tener medianamente a punto lo que tenemos que hacer es, como en tantas otras cosas, entrenarlo. ¿Cómo? Lo que acabamos de exponer es un pequeño ejemplo.

El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).