Sangaku, los problemas matemáticos sagrados de los japoneses

El título de este artículo nos aporta una nueva palabra que, a los que nos movemos en este mundo de la divulgación de las Matemáticas, nos resulta familiar: Sangaku . Es una palabra japonesa que literalmente significa “tablilla de madera” y, en particular, se refiere a las tablas de madera que se colgaban en los templos budistas y santuarios sintoístas , y que, generalmente, contenían relevantes descubrimientos matemáticos de contenidos geométricos . Al parecer, este hecho de colgar las tablillas en los templos tenía el doble significado de, por un lado, agradecer a los dioses de esos templos los descubrimientos y, por otro, dar honor a sus autores.

Sí conviene recalcar que el término "sangaku" no da nombre a la matemática japonesa, sino solo a estas tablillas de contenidos matemáticos, pues el nombre de la matemática en general era, y es, "wasan" (otra palabra pues que añadir a nuestro pequeño vocabulario). En este artículo damos cuenta de dos de estos problemas.

Los problemas que aparecen en las tablillas son, en su mayoría, geométricos pero hay algunos aritméticos y algebraicos. Para estos cálculos recurrían a un conjunto de símbolos que representaban a los números enteros y que recibían el nombre de “sangi”, que eran pequeñas líneas colocadas vertical y horizontalmente, lo que sencillamente llamaríamos “palotes” y que, por ejemplo, usamos cuando hacemos recuentos de votos a mano alzada. Además, si estaban escritos en rojo eran números positivos, y en negro, negativos, pues la única diferencia para el número positivo y negativo era el color.

Es interesante señalar que estas tablillas estaban hechas por personas de diversa procedencia, había desde samurais hasta comerciantes pasando por granjeros e incluso niños, no solo por lo que hoy en día llamaríamos un matemático profesional. Es importante citar que sólo se escribía el problema y no su solución , lo cual podía tener una cierta postura de desafío para los que estuviesen interesados en el tema. Los problemas en su mayoría son de geometría plana aunque, algunos de ellos, son problemas tridimensionales en los que intervienen esferas o agrupaciones de ellas, e incluso, entre los que yo conozco, uno está referido a la intersección de un cilindro y una esfera.

Estas tablillas se construyeron durante el periodo EDO que duró desde 1603 hasta 1867. En este punto me imagino que, si usted es aficionado a los crucigramas, habrá identificado el nombre de EDO, pues es la respuesta a la clásica pregunta de “Antiguo nombre de la ciudad de Tokio”. Efectivamente, ese antiguo nombre de Tokio, “bautiza” a un período de más de dos siglos. Podemos situarnos en esas fechas con nuestra historia española y matemática europea. En el Arte es la aparición del Barroco y pintores como Velázquez (1599-1660), en Literatura es el Siglo de Oro, Lope (1562-1635), Calderón (1600-81), etc. Tristemente no podemos hablar de grandes matemáticos. Nos tenemos que ir a Europa: Fermat (1601-1665), Descartes (1596-1650), Leibnitz (1646-1716), Newton (1643-1727), por citar a algunos de los importantes.

El periodo está caracterizado por el aislamiento de Japón del mundo occidental, lo que provocó que no se conociese en Japón el gran desarrollo que en esos siglos tuvo la Matemática en Europa, de tal manera que algunos teoremas, que llamaríamos “europeos”, fueron también encontrados independientemente por japoneses. Este hecho hace que, en los libros de Geometría japoneses, figuren los nombres de matemáticos japoneses desconocidos en teoremas que en Occidente tienen nombres de reconocidos matemáticos. Hay que señalar que algunos de estos descubrimientos tienen fecha anterior a su “descubrimiento occidental”. Uno de los problemas que veremos más adelante (perteneciente a la prefectura de Gumma de 1824) es por ejemplo una variante del “Teorema de las circunferencias tangentes de Descartes”. Afortunadamente esto dejó de ocurrir hace tiempo y, hoy en día, los matemáticos japoneses, no solo son conocidos, sino también, de primer nivel, Por ejemplo, la demostración de la conjetura de Taniyama–Shimura , le permitió a Andrew Wilkes demostrar el archifamoso “Último teorema de Fermat”.

Para los amigos de la Historia hay que señalar que la de Japón está dividida en periodos que van desde el primero, llamado Jomón (8000-300 a.c.) hasta el actual, el decimocuarto, que recibe el nombre de Heisei (1989-...). Este período lo creó el actual emperador Akihito a la muerte de su padre Hirohito y, según acaba de informar en el pasado mes de diciembre, abdicará del trono el 30 de abril de 2019. Ese día acabará el periodo Heisei y se creará uno nuevo.

La aparición de las tablillas en este periodo Edo va desde la más antigua conservada de 1683 en la prefectura de Tochigi, hasta la de Kinshouzan en 1865. En algunos casos se descubrieron muchos años más tarde de su creación. Por ejemplo, una tablilla realizada en 1814, se descubrió en 1994. Actualmente se conservan algo más de 800 tablillas pero se sabe que su número ha sido muy superior, pues se han perdido o quemado un gran número de ellas.

Respecto al contenido concreto de los problemas, en la mayoría intervienen circunferencias tangentes entre ellas o a rectas. Los cálculos para su resolución necesitan ecuaciones lineales o de segundo grado, muchas de ellas obtenidas a partir del teorema de Pitágoras, en el que los valores de los catetos e hipotenusa se calculan a partir de propiedades de la tangencia entre circunferencias y rectas.

[Para aquellos lectores interesados en conocer más este tema, en la revista “Investigación y Ciencia”, número de julio de 1998, hay un artículo de Tony Rohtman con una amplia, documentada e interesante la historia de la matemática japonesa (wasan) de todas las épocas y, en especial, se incluye todo el Sangaku.]

Problema 1.- Tres circunferencias tangentes entre sí y a una recta.

Está fechado en 1824 en la prefectura (jurisdicciones territoriales de Japón) de Gunma. Su enunciado es el siguiente: “Las tres circunferencias de la figura son tangentes entre sí y a la recta horizontal “t”. Establecer la relación entre sus radios”. En Japón se le conoce por “Tercer Teorema de Mikami y Kobayashi” .

Antes de resolverlo lo comparamos con su “versión occidental”, pues se trata de un caso particular del problema de las circunferencias tangentes de Descartes, que se refiere a calcular la relación de los radios de cuatro circunferencias cada una tangente a las otras tres. En él, Descartes plantea la solución en términos no del valor de los radios de las circunferencias sino de su curvatura (recíproco de su radio). El problema y su solución fueron presentados por Descartes en una carta datada en 1643 y dirigida a la princesa Elizabet de Bohemia .

Como vemos el problema tiene dos soluciones pues, podemos hablar de una circunferencia interna y, otra, externa (ambas en rojo). Si comparamos las dos situaciones, en el caso japonés, tendríamos la circunferencia interna (en rojo) y, una de las azules, con radio infinito.

Si los radios de las circunferencias son los señalados en la figura, se puede demostrar que su relación es:

¿Cómo se resuelve el problema de Mikami y Kobayashi? Bueno…, pues con el Teorema de Pitágoras tenemos suficiente…En el triángulo rectángulo PFO tenemos que:

Supongamos un cuadrado de papel de vértices ABCD que doblamos según la línea discontinua de puntos entre G y E, de tal manera que el vértice D se convierte en el punto F sobre el lado BC y el vértice A pasa a ser H. Si ahora inscribimos una circunferencia en el triángulo rectángulo superior JBF, que no es tapado por el plegamiento, como se muestra en la figura, se pide demostrar que la longitud del radio de esa circunferencia inscrita en JBF es igual a la del segmento HJ que “asoma” fuera del cuadrado.

Este problema es un poco más complejo de resolver respecto al anterior pero, no es especialmente difícil. Lo he elegido por dos motivos, uno personal, porque es el primer problema sangaku que conocí (en el libro “More Mathematical Morsels”, (MAA, 1991) de Ross Honsberger) y me puse a resolver y, segundo, porque en las oposiciones para profesores de Secundaria en Asturias en el año 2016, fue uno de los problemas que se puso en el examen, por lo que tuvo alguna difusión.

Se ve en la figura que los dos triángulos GHJ y JBF son semejantes, ya que son rectángulos y tienen un ángulo opuesto por el vértice. Además la razón de proporcionalidad entre sus lados será la misma que entre los respectivos radios de las circunferencias inscritas. De esta manera:

Como en un triángulo rectángulo el diámetro de la circunferencia inscrita es la suma de los catetos menos la hipotenusa, tendremos para el triángulo GHJ lo siguiente:

2s = b + c – a

por lo que sustituyendo [1] tendremos:

r ( a – c) = ½ ( b + c – a) ( a + b - c)

después de operar y teniendo en cuenta la relación pitagórica que liga a “a, b y c”,

obtenemos que:

r ( a – c ) = c ( a – c )

Por tanto deducimos que: r = c que era lo que se quería demostrar.

Debo señalar que el problema admite más soluciones que la aquí propuesta

Nota finales:

1.- Si este resultado no se conoce que en un triángulo rectángulo el diámetro de la circunferencia inscrita es la suma de los catetos menos la hipotenusa, basta observar el triángulo rectángulo JBF de la figura. Como vemos en ella, el centro pertenece a las tres bisetrices y los radios son perpendiculares a los lados por lo que tenemos

p – r + n – r = m de donde p + n – m = 2 r

2.- Si se quiere profundizar en el tema se puede ver mi artículo de la revista “SIGMA” “SANGAKU: Geometría en los templos japoneses” , así como: http://www.wasan.jp/english/index.html

http://www.maths.ed.ac.uk/~jmf/Teaching/Lectures/Sangaku%20Murcia.pdf

http://personal.us.es/rbarroso/rbarroso/trianguloscabri/500SangakuPeiroesp.pdf

http://repositorio.pedagogica.edu.co/xmlui/bitstream/handle/123456789/1590/TE-17796.pdf?sequence=1

Fernando Fouz es asesor de Matemáticas en el Berritzegune de San Sebastián.

El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).