El misterio geométrico resuelto por Desargues

Ya está, no hay más. Pero a pesar de la aparente simpleza de estos principios cabe destacar que el segundo principio fuerza a introducir un punto en el que se corten cada par de rectas paralelas, este punto se conoce con el nombre de punto del infinito. En una de las obras conocidas de Desargues, ' Brouillon projet d'une Atteinte aux événements des rencontres du cone avec un plan ', ya aparece el uso del punto del infinito y la dualidad punto-recta.

Esto último se conoce también como principio de dualidad y se basa en el hecho de que los fundamentos básicos de la geometría proyectiva son simétricos, es decir, intercambiando las palabras 'recta' por 'punto' y el verbo 'pasar por' por 'cortarse en' obtenemos los mismos principios básicos (el primero pasa a ser el segundo y el segundo pasa a ser el primero). Este hecho hace que cualquier teorema proyectivo produzca otro resultado igualmente válido sin más que hacer los cambios ya descritos punto-recta.

Pero vamos a lo que nos ocupaba, el reto planteado la semana anterior en el artículo ' Un reto muy geométrico '.

El enunciado del reto decía que:

«Dadas dos rectas r y s que son secantes (pero cuyo punto de corte no es accesible) y dado también un punto P exterior a ambas rectas, utiliza el Teorema de Desargues para dibujar la recta que pasa por P y por el punto de corte de las dos rectas r y s».

Recordemos que el Teorema de Desargues lo podíamos enunciar como sigue:

«Dados dos triángulos ABC y DEF las rectas AD, BE y CF se cortan en un mismo punto sí y sólo si los tres puntos que resultan de la intersección de los pares de rectas (AB, DE), (AC, DF) y (BC, EF) están alineados»

y se puede representar este Teorema del modo siguiente:

Por lo tanto, el resultado en cuestión nos viene a decir que el hecho de que las rectas AD, BE y CF se corten en un mismo punto, que hemos llamado O, es equivalente a que los tres puntos que surgen de la intersección de los pares de rectas (AB, DE), (AC, DF) y (BC, EF) están en una recta, que hemos llamado t.

Nuestro objetivo es encontrar un punto, llamémosle Q, de modo que las rectas r, s y PQ se corten en un mismo punto.

Puesto que nos queremos apoyar en el Teorema de Desargues vamos a intentar describir esta situación en la forma descrita por dicho teorema. Para ello, escogemos al azar dos puntos en cada una de las rectas r y s, llamémosles A, B, D y E.

Por el teorema ya mencionado, (si pensamos en los triángulos ABQ y DEP) el hecho de que las rectas AD, BE y QP se corten en un mismo punto es equivalente a que los tres puntos (llamémosles respectivamente U, V y W) que resultan de la intersección de los pares de rectas (AB, DE), (AQ, DP) y (BQ, EP) estén alineados. Como no sabemos donde está Q no vamos a poder dibujar los puntos V y W, pero sí que podemos obtener U, ya que es la intersección de las rectas AB y DE, las cuales tenemos totalmente determinadas.

Como queremos que U, V y W estén alineados, trazamos una recta cualquiera que pase por U, llamémosla t, esa recta es en la que se encontraran también V y W.

Recordemos que los puntos V y W son la intersección, respectivamente, de las rectas (AQ, DP) y (BQ, EP). Por otra parte como queremos que ambos puntos pertenezcan a t, se tiene también que V y W son la intersección, respectivamente, de las rectas (t, DP) y (t, EP) y como todo esto sí que lo conocemos, podemos encontrar los puntos V y W.

Como V es la intersección de (AQ, DP) y W es la intersección de (BQ, EP) tenemos que, en particular, la recta AQ tiene que pasar por V y la recta BQ tiene que pasar por W. Por lo anterior tenemos que Q debe estar en la recta AV y a su vez en la recta BW por lo que podemos determinar Q como la intersección de las rectas AV y BW.

¡Ya tenemos el tan ansiado punto Q! Si dibujamos los triángulos ABQ y DEP,

Vemos que los tres puntos (U, V y W) que surgen de la intersección de los pares de rectas (AB, DE), (AQ, DP) y (BQ, EP) están alineados (se encuentran todos sobre la recta t), y según Desargues esto es equivalente a que las rectas AD, BE y PQ se cortan en un mismo punto, que es justo lo que queríamos hacer, que era trazar una recta pasando por P y que pasara también por el punto de corte de las rectas r y s.

Agradecemos a los lectores del ABCdario de la Matemáticas el interés mostrado en el reto y destacamos que todas las respuestas que nos han hecho llegar, tanto a través de los comentarios del artículo anterior como vía twitter, son acertadas. Gracias y ¡enhorabuena!

Víctor M. Manero (@pitimanero) es profesor de la Universidad de Zaragoza y miembro de la comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.