'Paquirri' por «derecho propio»

Antes de tomar la alternativa, toreó en más de un centenar de novilladas y en varias ocasiones abrió la Puerta Grande. Fue premiado, entre otros, con el trofeo al mejor novillero nacional de la temporada en Figueras y la Oreja de Plata al mejor novillero de RNE (1995).

Tomó la alternativa como matador de toros el 23 de abril de 1995, en La Maestranza de Sevilla, con Juan Antonio Ruiz 'Espartaco' como padrino y Jesús Janeiro, 'Jesulín de Ubrique', como testigo. Hasta finalizar 1995 salió a hombros, entre otras, de las plazas de Córdoba, Ronda, Toledo, Zamora, Barcelona, Valencia, Murcia, Salamanca y Valladolid; esa temporada participó en 90 corridas, en las que cortó 111 orejas, y el 22 de octubre debutó en América, en Caracas (Venezuela).

En 1996 abrió la Puerta Grande de la Monumental de Barcelona y el 23 de mayo de ese año confirmó la alternativa en Las Ventas (Madrid), teniendo como padrino a 'Joselito' y como testigo a Enrique Ponce. Cerró 1996 con 101 corridas, 98 orejas y cinco rabos, colocándose en el cuarto lugar del escalafón. Entre otros galardones consiguió el de triunfador de la temporada en Barcelona para la crítica. En 1997 lidió en España 90 corridas y cortó 79 orejas; suspendió la temporada por una lesión en su rodilla y terminó 1998 colocándose en el tercer lugar del escalafón en España, posición que repitió en 1999.

En 2000 salió a hombros de la Monumental de Barcelona y del coso de Melilla, y en 2001 abrió la Puerta Grande en distintas plazas, mientras al año siguiente lidió en España 61 festejos y cortó 49 orejas. En 2003 la Asociación de Críticos e Informadores Taurinos de Cataluña le consideró Triunfador de la temporada en la Monumental de Barcelona y en 2004 intervino en 58 festejos en España y cortó 73 orejas y un rabo colocándose en el décimo lugar del escalafón.

Cortó tres orejas en Ronda (Málaga) en 2005, y un año después, en la misma plaza, le dio la alternativa a su hermano Cayetano Rivera, en un mano a mano, y ambos salieron por la Puerta Grande del coso donde están enterradas las cenizas de su abuelo, Antonio Ordóñez.

En la temporada de 2007 Francisco Rivera participó en 78 festejos, consiguió 98 orejas y seis rabos y se colocó en el quinto lugar del escalafón de matadores. Comenzó la temporada de 2008 en América; posteriormente lidió en Valencia, en la Feria de las Fallas, y entre otras, cortó tres orejas en Córdoba, dos en Dos Hermanas (Sevilla), dos en Burgos, la tarde del 4 de julio y cinco en la plaza de toros de Estepona (Málaga) en su corrida número 1.000.

En 2010 salió a hombros en varias ocasiones: en la localidad manchega de Manzanares, donde cortó dos orejas, en la 54 corrida goyesca de Ronda y en la Feria de la Virgen del Remedio, y en el cierre del Pilar de Zaragoza. En la temporada 2011 repitió éxito de Puerta Grande en la localidad manchega de La Solana, donde cortó dos rejas y un rabo.

Especialmente representativas fueron sus participaciones en la plaza de toros manchega de Porzuna (Ciudad Real) en julio de 2012 donde salió a hombros, y en la LVI Corrida Goyesca de Ronda de septiembre de 2012, cuando vivió su momento culmen con el paseíllo. El diestro, que define su toreo como clásico, hondo y lento, es desde 1997 vocal de la Unión Profesional de Matadores de Toros y pertenece a la Hermandad de la Esperanza de Triana. En 2009 le fue concedida la Medalla de Oro de las Bellas Artes que fue contestada por los diestros Paco Camino y José Tomás, que devolvieron sus medallas.

Descendiente de una saga de importantes toreros, es el hijo mayor de los dos que tuvo el matador Francisco Rivera 'Paquirri' con su primera esposa, Carmina Ordóñez; nieto del también torero Antonio Ordóñez, sobrino de José Rivera 'Riverita', biznieto de Domingo Dominguín y Cayetano Ordóñez "Niño de la Palma" y hermano de Cayetano Ordóñez.

Es padre de una hija, Cayetana, que nació de su matrimonio con Eugenia Martínez de Irujo, hija de la duquesa de Alba, con quien contrajo matrimonio el 23 de octubre de 1998 y de quien se separó en 2002; actualmente mantienen un litigio por la custodia de su hija.