Investigadores del MIT solucionan un problema matemático de hace 70 años

Algunas de esas propiedades son muy específicas de unos pocos objetos matemáticos. Evidentemente las que son tan particulares que solo las posea una figura geométrica, por ejemplo, nos dan menos juego, pero también es bueno conocerlas. Y quien sabe, quizá algún día se descubra que otros también la cumplen.

Pensemos en un hexágono , por ejemplo. Tiene propiedades que no tiene ningún otro polígono. O que la tienen muy pocos. La suma de todos sus ángulos, por ejemplo, es 720º, y no hay otro polígono regular que sume ese valor. Para determinar el valor de la suma de los ángulos de cualquier polígono regular, los matemáticos hemos deducido una fórmula: 180 ( n -2) donde n es el número de lados del polígono. En el caso del hexágono, basta con sustituir n por 6, y obtenemos el valor de la suma de sus ángulos.

Sigamos con el hexágono. Este polígono tiene también 6 ángulos. Entonces, cada uno de los ángulos de un hexágono regular es de 720/6 = 120º. Ángulos obtusos, por tanto (recuerden, eran los que superaban los 90º de un ángulo recto; los de menos de 90º eran los agudos). Dibujemos un hexágono regular. Tracemos a continuación sus diagonales. ¿Recuerdan lo que son las diagonales de un polígono? Las de un cuadrado las sabemos trazar muy bien, pero ¿y las de polígonos con mayor número de lados? Aunque no lo hayamos hecho, o no recordemos haberlo hecho, también los polígonos de más de cuatro lados tienen sus diagonales. Son los segmentos que unen un vértice cualquiera del polígono con otro vértice no consecutivo (que para eso ya tenemos los lados). De esa definición se deduce que un triángulo no tiene diagonales, el cuadrado tiene dos, ¿y el resto de polígonos? Pensemos en el hexágono.

En efecto, tiene 9. Es fácil deducir que (intenten hacerlo), en general, el número de diagonales de un polígono convexo (lo que incluye a los regulares) es:

Un conjunto de rectas (segmentos también) se dice que son equiangulares si todas ellas se cortan en un punto y cada par de ellas forman ángulos iguales. Por ejemplo, algunos tríos de diagonales del hexágono anterior, se cortan en un vértice (parten de él, de hecho), y esas tres diagonales forman dos a dos ángulos de 30º. Pero no son equiangulares, porque la primera y la tercera formarían un ángulo de 60º. En cambio, en el centro del hexágono también se cortan tres diagonales, y cualquier par de ellas forman ángulos de 60º.

Determinar el número máximo de líneas equiangulares que puede haber en el espacio euclideo de dimensión n es un problema difícil y, en general, no está resuelto. Se saben para dimensiones concretas, y para el resto sólo se conocen cotas a esos valores. Durante cuarenta años han aparecido muchos artículos refinando esos valores límites. El número máximo de líneas equiangulares en el espacio euclideo bidimensional (el plano) es 3, y precisamente en el ejemplo anterior de las diagonales del hexágono las tenemos. En tres dimensiones, el número máximo de rectas equiangulares es 6, y las encontramos en los segmentos que unen vértices no consecutivos de un icosaedro, como se observa en la imagen adjunta.

Las líneas equiangulares fueron introducidas por primera vez por el matemático neerlandés Johannes Haantjes (1909 – 1956) en 1948 y luego fueron investigadas por Jacobus Hendricus van Lint (1932 – 2004) y Johan Jacob Seidel (1919 – 2001), éste último alumno de doctorado de Haantjes. Se estudiaron más a fondo durante la década de 1970, y recientemente, ha renacido cierto interés en algunos sistemas complejos de rectas equiangulares con estructuras especiales. ¿La razón? En ingeniería, tienen aplicaciones en el procesamiento de señales (allí denominados equiangular tight frames) y en Física en tomografía cuántica (en ese ámbito conocidos por SIC-POVM, siglas de Symmetric, Informationally Complete, Positive Operator-Valued Measure, una medida sobre un espacio de Hilbert utilizada en mecánica cuántica; un problema sin resolver aún en matemáticas, adicional al planteado, es si esta medida existe en espacios de cualquier dimensión).

El pasado 4 de octubre, un artículo de unos investigadores del MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts, como sabrán, una de las universidades privadas más punteras a nivel mundial) anunciaba un avance en la resolución del problema para n dimensiones. Yufei Zhao , los estudiantes Yuan Yao y Shengtong Zhang , el doctorando Jonathan Tidor y el postdoctorado Zilin Jiang , actualmente miembro de la facultad de la Universidad Estatal de Arizona han sido sus artífices. Su artículo se hará público en la edición de enero de 2022 de 'Annals of Mathematics' (aunque ya está disponible en el sitio de preimpresión ' ArXiv '), prestigiosa revista científica especializada en matemáticas fundada en 1884 y publicada por la Universidad de Princeton y el Instituto de Estudios Avanzados (aunque también en Princeton, esta segunda es una institución privada independiente de la Universidad).

En 1973, Seidel y P.W.H. Lemmens establecieron que una cota superior al número de líneas equiangulares en un espacio de n dimensiones N(n) venía dado por:

lo que nos da los valores

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, ....

En el año 2000, Dominique de Caen (1956 – 2002) prueba que ese límite superior va unido a un factor constante, consiguiendo ajustar más la cota (compárense con los valores anteriores):

1, 3, 6, 6, 10, 16, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 36, 40, ....

En su afán por desgranar más el problema, en simplificarlo, otros investigadores encaminaron sus trabajos en buscar el número de líneas equiangulares que formen un ángulo fijo, concreto. Dado 0 < a < 1, buscaban el número máximo de líneas equiangulares que, tomadas por parejas, tuvieran ángulo arccos a. La función arco coseno (arc cos x) es la función inversa del coseno. Es mucho más práctico trabajar con las funciones inversas de las trigonométricas, ya que están definidas en el intervalo [– 1, 1], mientras que trabajar con todos los ángulos posibles nos llevaría a un intervalo mucho mayor, [0, 2π] (bueno, en realidad, en [0, π], porque el resto de valores pueden obtenerse por simetría). Además, como vemos en la imagen, la función arco coseno tiene también cierta simetría, por lo que nos basta restringirnos al intervalo [0, 1], para conocer que sucede en todo [– 1, 1]. Así descubrieron que la cota superior máxima al número de líneas equiangulares era lineal respecto al número de dimensiones n del espacio en el que estemos, siendo 1.93n, para cualquier ángulo, salvo cuando a = 1/3, en cuyo caso se alcanza el máximo, que va a ser 2n. En estos años, los trabajos para mejorar estas cotas no han cesado. Recientemente, por ejemplo, se ha demostrado que:

Trabajar con rectas equiangulares de ángulo a es equivalente a hacerlo con un objeto llamado two-graph. Desconozco si existe término específico en español. No es un grafo aunque está relacionado con ellos. Un two-graph (V, T) es un conjunto T de triplas (desordenado) elegidas del conjunto V de vértices (o nodos), de modo que cada cuádrupla (desordenada) de V contiene un número par de triplas de T. El two-graph es regular si cada par de vértices aparece en el mismo número de triplas.

Por ejemplo, sobre el conjunto de vértices V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, la siguiente colección de triplas es un two-graph:

T = {123, 124, 135, 146, 156, 236, 245, 256, 345, 346}

Además es regular porque cada par de vértices distintos de V aparece en exactamente dos triplas de T.

Cada two-graph tiene asociado un grafo que se obtiene mediante un proceso concreto que sería un tanto prolijo detallar aquí. Mucha de la información que suministran los grafos es gracias a su matriz de adyacencia. Un two-graph tiene asociada una matriz de adyacencia (también denominada matriz de adyacencia de Seidel, definida en 1966) que es una matriz simétrica en la que los elementos de la diagonal son todos nulos, los vértices adyacentes se representan por valores –1, y los no adyacentes por 1. Los two-graphs se introdujeron como herramienta para el estudio de grupos doblemente transitivos. Como ven, todo ello muy específico matemático, muy teórico, muy abstracto. Esperen al final.

Cuando trabajamos con matrices cuadradas (recordemos que son aquellas matrices con el mismo número de filas que de columnas, por tanto, las matrices simétricas son siempre cuadradas), un elemento característico importante son los autovalores (o valores propios) y los autovectores (o vectores propios). El conjunto de valores propios conforma el llamado espectro de la matriz, y el nombre no es casual porque estos valores son como la estructura interna de la matriz (y por tanto del objeto que representan), son como el esqueleto, de ahí el nombre. Están muy estudiados y son bien conocidos muchos aspectos concernientes a los autovalores de las matrices, como, por ejemplo, que siempre que tengamos una matriz simétrica, sus valores propios son reales. También la multiplicidad de esos autovalores es una característica importante en el estudio de este problema.

Trasladamos de este modo un problema puramente geométrico (el de las rectas equiangulares) a un ámbito algebraico (trabajo con matrices y autovalores) y de grafos. Es decir, de la geometría a la teoría espectral de grafos. Y sin olvidar resultados de análisis matemático relativos a espacios de Hilbert (productos interiores, normas, etc.). Esto sucede con cierta frecuencia en el intento de resolver un problema en matemáticas, las derivaciones a diferentes ramas aparentemente alejadas entre sí.

Además del procesamiento de señales y de la mecánica cuántica, los avances en la comprensión de las líneas equiangulares tiene implicaciones potenciales para la codificación y las comunicaciones. Las líneas equiangulares son ejemplos de códigos esféricos. Atención porque esto no es lo que parece.

¿Cómo se pueden distribuir n puntos en una esfera unitaria (de radio la unidad) de modo que maximicen la distancia mínima entre cualquier par de puntos? Esta distancia máxima se denomina radio de cobertura y la configuración que lo logra se denomina código esférico (o empaquetado esférico). ¿Recuerdan el artículo 'Cuántas personas te pueden besar a la vez'? En él se hablaba del kissing number (número de besos), que está directamente relacionado con este asunto, que no está tampoco aún resuelto. Los campos de aplicación de estas configuraciones (los códigos esféricos) son tan imprevistos como la evaluación numérica de integrales sobre esferas (este es un asunto técnico, estrictamente matemático), en química, en arquitectura, en medicina, etc.

Para que nos hagamos una idea. En una resonancia magnética de difusión (dMRI) de un órgano o un tejido, un buen esquema de muestreo es importante para detectar posibles problemas (tumores, por ejemplo) y tener una reconstrucción sólida, ajustada a la realidad del órgano o tejido enfermo. La señal ponderada por difusión normalmente se adquiere en una o varias capas. Las muestras de señal se distribuyen típicamente de manera uniforme en diferentes capas para que sean invariables a la orientación de las estructuras dentro del tejido o al marco de coordenadas del laboratorio. En el muestreo de capa única se empleaba el llamado método de minimización de energía electrostática (EEM), después ampliado a esquemas de múltiples capas, como el EEM generalizado (en siglas, GEEM). Sin embargo, estos procedimientos de escaneo no abordan directamente el objetivo de un muestreo óptimo, es decir, lograr una gran separación angular entre los puntos de muestreo. Pues bien, gracias a los códigos esféricos (SC) se han desarrollado algoritmos que permiten maximizar directamente el ángulo mínimo entre diferentes muestras tanto en una como en varias capas. De este modo, las resonancias suministran mayor y mejor información sobre el órgano dañado.

Cuando el Rover Perseverance envía imágenes y/o información desde Marte, se producen interferencias, distorsiones, en definitiva, ruido en las comunicaciones desde tan larga distancia. Al recibirlos la NASA a veces no se encuentra nada entendible en esos mensajes. Necesitan filtrarlos mediante algoritmos que aclaren al menos parte de lo que tenían de información cuando fueron emitidos desde allí. De nuevo esos algoritmos funcionan gracias a los códigos esféricos.

¿Quién nos iba a decir que la solución, o al menos, una mejora apreciable de estas situaciones, se iban a encontrar en el estudio de las líneas equiangulares en espacios de dimensiones mayores que la tridimensional en la que vivimos? Bueno, pues así es. Una vez más deberíamos decir: ¡¡Gracias, Matemáticas!!

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.