¿Para qué sirve un logaritmo?

Y este hombre, al menos se lo plantea, porque estoy convencido que a otros muchos (probablemente la mayoría) lo que aprenden sus hijos les importa más bien poco, fenómeno que se agudiza al pasar a la educación secundaria (en primaria, parece que estamos más concienciados de lo que van a aprender, seguramente porque son pequeños y aún no nos han cansado mucho). Por otro lado, en mi última entrada , hablé de algoritmos diferentes al clásico para multiplicar números grandes, así que el recuerdo con el que he empezado me viene de perlas para enlazar ambas cosas, por lo que hoy hablaremos de los logaritmos (no confundir algoritmo con logaritmo; no sé por qué hay confusión: tampoco es lo mismo mejillones y,…, canelones, ¿no? Aunque ahora que me fijo, antes de la terminación “ritmo” están las mismas letras, pero en otro orden; curioso).

A partir del siglo XVI los cálculos que se necesitaban hacer empezaban a ser de números grandes. El perfeccionamiento en las técnicas de navegación, las investigaciones en Astronomía, el cálculo de préstamos e intereses en la floreciente actividad económica, fueron los principales temas que requerían largas multiplicaciones, divisiones, etc. Por supuesto aún no existían calculadoras (aunque también empezaba a haber intentos). Y hacer los cálculos resultaba tedioso y podían cometerse errores, pero eran imprescindibles. Así que algunos matemáticos y científicos comenzaron a pensar sobre cómo facilitar esas cuentas.

Según indican los estudiosos de la Historia de las Matemáticas, ya Arquímedes se había planteado algo en esta dirección (recordemos que Arquímedes es del siglo III a. C. y que fue un gran solucionador de cuestiones prácticas, por lo que necesitaba también efectuar abundantes cálculos). Comparando una progresión aritmética (primera fila de la tabla adjunta, n) con una geométrica (segunda fila de la tabla, 2^n), se dio cuenta de que para multiplicar 128 por 512, en realidad no tenía más que sumar los valores de n de los que provienen (es decir, 7 + 9 = 16), y luego ir al lugar donde esté ese valor, que resulta ser 65536 (que es el producto de los dos números indicados). Obviamente necesita la tabla en cuestión, y que los números que necesita multiplicar estén en la tabla.

Para cualquier lector actual que haya entendido algo de la enseñanza primaria, esto no es más que una conocida propiedad de las potencias, aquella de que “para multiplicar potencias de la misma base, basta sumar los exponentes”:

Pero, ¿cómo hago para multiplicar cualquier par de números? ¿Es que todos están en alguna tabla? ¿Y si dos números están en tablas diferentes? Afortunadamente, estamos en el siglo XXI (no cojan aún el móvil, la calculadora o el ordenador, no hagan trampa aún, que eso vendrá después) y el conocimiento matemático ha crecido mucho y bien. Gracias a eso podemos utilizar el concepto de función.

Ese 2^n de antes, únicamente tomaba valores enteros para el exponente n (1, 2, 3, …), es decir, si lo llevamos a una gráfica, sólo tenía unos “pocos” valores (pocos entrecomillado, porque son infinitos). Pero ¿qué ocurre? Sólo aparecen tres puntos rojos (tres valores), porque el siguiente, 2^4 = 16, se nos sale de la gráfica. Los valores crecen potencialmente, muy rápido, y no “caben” en la escala que ponemos. Podemos hacer más pequeña esa escala, pero da igual, sólo veríamos un par de puntos más a lo sumo. Esto es importante para entender una de las aplicaciones de los logaritmos que comentaremos más adelante.

Como decía, gracias a la noción de función, podemos extender los valores del exponente a “más” n’s. Ampliar el dominio, que decimos los matemáticos, y en vez de que n sea sólo válida para números enteros, que lo sea para números reales. Para diferenciarlo, introducimos una letra diferente, la x. Y así aparece la función f(x) = 2^x, cuya representación gráfica es ahora la señalada en color azul (he dejado los tres valores de antes, para que se vea que hemos “extendido” los posibles valores).

Obsérvese a partir de la gráfica que ahora se recorren en el eje vertical (eje de ordenadas) todos los pasibles valores de cero a infinito (ese es el conjunto imagen de la función), y no sólo el 2, el 4, el 8, etc. De modo que, si queremos buscar el 13, por ejemplo, sobre el eje OY, hay un valor en el eje OX (eje de abscisas) cuya imagen mediante la función es precisamente 13. Matemáticamente esos valores se encuentran mediante la función inversa, que es, en efecto la que suponen, la función logaritmo. En este caso como la base de la función potencial era el 2, el logaritmo es el logaritmo en base 2. Si hubiéramos dibujado la función 10^x, su inversa sería el logaritmo en base 10 (también llamado logaritmo decimal). En general, resulta por tanto que

En la siguiente gráfica vemos en negro la función potencial 2^x, en rojo su inversa, la función logaritmo en base 2, y en azul la bisectriz del primer y tercer cuadrante, y = x. La inversa de cualquier función, de existir, SIEMPRE es SIMÉTRICA respecto de esa bisectriz con la función de partida. Es decir, si doblamos por la línea azul, tienen que coincidir ambas funciones.

Fíjense que la gráfica roja, la logarítmica, sólo existe desde cero a infinito (o sea, que su dominio, su campo de existencia, son esos valores). No se puede por tanto intentar calcular el logaritmo de un número negativo, es una burrada. Por supuesto estoy hablando cuando trabajamos con números REALES, que alguien veo por ahí ya queriendo ponerme verde porque si trabajamos con números complejos sí es posible.

Por supuesto fueron muchas las personas involucradas en el desarrollo de todo esto que resumimos aquí en pocas líneas, y mucho el tiempo empleado. Entre ellos destacamos a Jobst Bürgi, John Napier y Henry Briggs, los dos últimos responsables además de confeccionar tablas numéricas con los valores de los logaritmos en diferentes bases. Seguro que muchos de ustedes recuerdan un librito que tenían que comprar además del de matemáticas en la escuela, las famosas tablas de logaritmos, una de cuyas últimas ediciones aparece en la imagen adjunta. Otro día les cuento cómo se confeccionaban dichas tablas, ahora veamos porqué fueron tan importantes.

Después de la idea teórica, bajemos a lo concreto. Supongan que necesitan multiplicar 2828 x 5257 (la idea sirve para números tan grandes como se quieran, pero les pongo un ejemplo no muy grande por abreviar), sin hacer la multiplicación, es decir, mediante una suma, que es más rápido y sencillo. Recordemos las propiedades elementales de los logaritmos, válidas en cualquier base a positiva:

Emplearemos la primera de esas igualdades para multiplicar xy (x es el 2828, e y el 5257 en nuestro caso). Tomamos la tabla de logaritmos que tengamos más a mano (en base 2, base 3, base 10, neperianos, da igual). La primera que he encontrado es la que ven de logaritmos decimales, es decir, en base 10. Vean que sólo tenemos los valores de los logaritmos entre 10 y 54, pero da lo mismo, nos sirve. Necesitamos saber el

Como los valores están entre 10 y 54, lo que vamos a hacer es buscar en la tabla

En dicha tabla vamos a obtener la parte decimal. La parte entera la tenemos que saber, porque, si entendieron la explicación inicial, comprenderán fácilmente que

Por tanto, como 28 está entre 10 y 100, la parte entera del logaritmo decimal será un 1. Vamos con los decimales. En la tabla nos colocamos en la fila del 28. Vamos hasta la columna del 2 (porque el tercer dígito de 2828 es el 2). Allí pone 4502. Seguimos a la parte de la tabla que pone Partes Proporcionales, y anotamos el valor de la columna del 8 (porque el cuarto dígito de nuestro número es un 8). Pone un 12. Lo ven, ¿verdad? Ahora sumamos 4502 + 12, dándonos 4514. Pues bien, entonces

Vamos con el 5257. Necesitamos calcular

Como la tabla sólo nos llega hasta el 54, calculamos

Procediendo como antes, se obtiene

Ahora, según la primera propiedad,

Finalmente nos toca “quitar” el logaritmo con la operación inversa, es decir, calcular 10^3.1722 (a esto se le llamaba obtener el antilogaritmo). Pero lo hacemos de nuevo (como entonces) con la misma hoja de la tabla que venimos utilizando. La parte entera es un 3, es decir que el número está entre mil y diez mil. Buscamos en la tabla el valor más cercano a 1722. Vemos que es 1703 que se encuentra en la fila del 14 columna 8. En esa misma línea, vayamos a las partes proporcionales. ¿Cuánto nos falta para llegar a 1722? Una simple resta, nos dice que 1722 – 1703 = 19. El valor más cercano es la columna del 6 en la que aparece un 18. Juntando todos esos valores, obtenemos 1486. Y resulta que 28.28 x 52.57 = 1486.6796. Y por tanto 2828 x 5257 = 14866796 (corremos la coma cuatro lugares, porque 2828 = 28.28 x 10^2, y 5257 = 52.57 x 10^2, y ya saben 10^2 x 10^2 = 10^4).

Defraudados, ¿verdad? Todo esto para obtener sólo los cuatro primeros dígitos de un número de ocho cifras. A ver señores, que sólo hemos utilizado una hoja de todo un libro de tablas, y además de sólo cuatro dígitos significativos. ¿Qué esperaban? Milagros a Lourdes (si son creyentes, claro). Por eso las tablas realmente útiles del siglo XVII y posteriores incluían al menos seis cifras significativas y con valores lo más altos posibles. Observen la portada de este libro de los años cincuenta: ¡¡del 1 al 20000!!

Pero esto no acaba aquí. Los logaritmos dan mucho más juego, como ya les contaré en próximas entregas. Para entonces les propongo que piensen en lo siguiente.

Reto 1 : Sabiendo lo que da la multiplicación que hemos utilizado de ejemplo, y únicamente con la hoja que hemos utilizado, ¿se les ocurre algún modo de mejorar esas cuatro cifras y obtener con precisión alguna más?

Reto 2: ¿Sería posible calcular el producto o la división de cualquier par de números solamente con esta hoja? En caso contrario, dar un contraejemplo.

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.