Metagrobología o cómo aprender matemáticas jugando con rompezabezas

El juego es tan antiguo como la propia humanidad. Es una actividad que elegimos realizar voluntariamente porque nos entretiene, nos gusta y muchas veces nos desafía. Existen muchos tipos diferentes de juegos, pero cualquiera de ellos nos permite desarrollar estrategias cognitivas que no se encuentran en ninguna otra tarea. Y tienen un aspecto motivador especial: ganar. Uno juega para ganar (en el caso de un juego individual, se desea resolverlo por amor propio). A los matemáticos (por supuesto siempre habrá alguna excepción) nos gustan los juegos, pero no exclusivamente por ese aspecto desafiante, sino porque en esencia tienen muchas similitudes con el trabajo que hacemos.

Todo juego tiene unas normas, unas reglas; las matemáticas también, por lo que didácticamente son muy aprovechables (esenciales, diría yo) para comprender las etapas y las herramientas que precisa la demostración de un teorema, una proposición o un simple ejercicio. Obviamente no de cualquier manera. Tiene que adecuarse a una actividad bien pensada, con unos objetivos precisos y acordes al fin al que se quiera llegar. Utilizar los juegos como recurso didáctico en clase de matemáticas no debería ser una simple actividad lúdica para rellenar el tiempo, como entretenimiento a los alumnos o por cualquier otra razón espúrea.

Es un derecho a recibir una enseñanza lo más completa posible y un deber por parte del docente por estas razones (y otras) que estoy enumerando. El juego es ampliamente recomendado también para las personas mayores, porque permite tener activas áreas concretas de nuestro cerebro, y ejercitarlas, para que no vayan apagándose con tareas puramente contemplativas. Por supuesto no estoy diciendo que tiremos los libros de texto y nos dediquemos sólo a jugar; es necesario aclararlo porque somos muy amigos con demasiada frecuencia de ir de extremo a extremo.

Los que conozcan un poco los avatares de las matemáticas a lo largo de la Historia, saben que no estoy proponiendo nada novedoso ni extraordinario. El descubrimiento y desarrollo, por ejemplo, de la teoría de grafos , que tantas aplicaciones tiene en la actualidad, surgió como consecuencia de la resolución de un problema recreativo. El desarrollo del cálculo de probabilidades aparece como consecuencia del interés por intentar describir las ganancias y las pérdidas en los juegos de apuestas.

La propia teoría de juegos (no se confundan, la palabra 'juego' no es aquí únicamente lo que todos entendemos, sino algo más general, cualquier confrontación entre intereses contrapuestos) estudia y analiza 'juegos'. La Combinatoria, la teoría de grupos, la Topología son otras ramas matemáticas “serias” que han visto enriquecidos sus resultados gracias a diferentes juegos. Y existen múltiples afirmaciones de matemáticos célebres propugnándolos: «Un buen pasatiempo vale más y aporta más a la matemática que una docena de artículos mediocres», de John L. Littlewood sea seguramente la más expresiva y más citada al respecto.

Por ello, muchos profesores utilizan este recurso, y hay muchas ideas y materiales publicadas en internet al respecto. Pero tras este preámbulo introductorio quiero hablar de un tipo de juegos de poco recorrido en nuestro país, aunque en Europa tienen una larga tradición y hay legiones de diseñadores de estos juegos. Ni siquiera tenemos un nombre que los diferencie de otros, porque habitualmente se les llama rompecabezas (y en nuestra cultura eso es un juego de niños para componer un cuadro a partir de cubitos pequeños) o puzles (que tampoco responden a lo que entendemos nosotros con ese término). Me refiero a esos objetos que requieren de varios movimientos secuenciales para ser resueltos. El cubo de Rubik, por ejemplo, que aparece en los años ochenta del siglo pasado (cuyos métodos de resolución se basan en la teoría de grupos, por lo que puede servir como aplicación de la misma, y mira que es abstracta).

O el juego del quince , atribuido a Sam Loyd , aunque no está claro que lo inventara él. Lo que sí hizo fue comercializarlo y ofrecer una jugosa recompensa a quien fuera capaz de resolverlo (mil dólares del siglo XIX). El juego se vendía con los números 14 y 15 intercambiados (es decir, el 15 antes que el 14), y se trataba de colocarlos en su orden correcto (como se ve en la imagen) efectuando los desplazamientos que fueran necesarios. Causó furor entre 1880 y 1882, y no sabemos si Loyd sabía o no que es imposible su resolución como demuestran las permutaciones y la teoría de grafos.

Más antiguo aún es el popular solitario de bolas que vemos en la imagen de la derecha. Su origen no está claro (algunos autores afirman que ya en la antigua Roma se jugaba, pero no hay evidencias claras), pero su popularidad se pone de manifiesto en el siglo XVII.

Se dice que fue inventado por un noble encarcelado en La Bastilla. Los grabados que se muestran a la derecha son de 1697 ('Madame la princesse de Soubize jouant au jeu de Solitaire', de Claude-Auguste Berey) y de 1698 ('Dame de qualité jouant au solitaire', de Antoine Trouvain), respectivamente. Posteriormente el juego se extendió por otros países europeos, entre los que destacó Inglaterra (época victoriana).

De hecho, los ingleses introducen una variante resoluble (sólo 33 agujeros), porque el original francés de 37 es irresoluble. Supongo que todos conocen cómo se juega. Se quita la bolita central, y se van eliminando las demás saltando al espacio vacío inmediatamente siguiente a la bola 'comida'. Esos saltos siempre en dirección horizontal o vertical, nunca en diagonal. El objetivo es dejar una única bolita y que acabe exactamente en el agujero central. Una misma bola puede encadenar varios saltos contándose como entonces como un solo movimiento. Hay muchas soluciones que sólo necesitan 18 movimientos (las encontrarán en internet sin dificultad, aunque el reto es hacerlo uno mismo). Pero la cuestión es, ¿se puede hacer en menos movimientos?

El célebre filósofo y matemático Gottfried Wilhem Leibnitz (ya saben el descubridor junto a Isaac Newton del teorema fundamental del Cálculo, resultado crucial de las matemáticas al mostrar la relación entre las derivadas y las integrales) se ocupó de este juego y propuso algunas variantes. Es un juego que aparece en gran parte de los tratados de matemática recreativa. A partir de estos tres juegos se han desarrollado otros muchos con la misma filosofía. Y por supuesto hay muchos más de otros tipos. Una referencia magnífica para el que desee profundizar en ellos, además de las estrategias que permiten su resolución es el libro Orden en el caos. El mundo de los rompecabezas matemáticos, publicado en 2006.

Como ya he comentado, existen una infinidad de juegos de este tipo, y muchos aficionados que desarrollan y comercializan nuevos modelos. Hay decenas de páginas en la red (en inglés; ya les digo que por aquí aún no hay un interés aun suficientemente rentable, aunque algunos diarios han promocionado en distintas épocas algunos) con propuestas y ofertas que te llevan a casa en un razonable periodo de tiempo.

A veces algún programa de televisión, de esos que incluyen pruebas físicas fundamentalmente, utilizan alguno (que por supuesto pocos concursantes resuelven porque suelen participar no precisamente por razones intelectuales) y los popularizan. Alguna vez hemos visto cajas imposibles de abrir salvo que encontraras un modo particular de hacerlo, sin recurrir a la fuerza bruta. Del mismo estilo, aunque un poco más elaborada es la caja de la imagen, comercializada como Space Box . Se trata de resolver varios acertijos encontrando unos códigos mediante razonamientos estrictamente lógicos. En el exterior de la caja hay letreros, botones, manijas y agujeros, a los que habrá que encontrar sentido. Con ello, se podrá abrir la caja y revelar el secreto que esconde. En este caso la parte de las matemáticas que podemos trabajar es, como hemos indicado, la lógica.

Las disecciones de objetos son también muy abundantes. En ellos, hay que tratar de ensamblar distintas piezas para componer dicho objeto. Por ejemplo, el Nudo Cruzado (pertenece a la familia conocida como Burr Puzzles, o Rompecabezas Anudados) mostrado en la siguiente imagen (las piezas sueltas y el objeto final que hay que formar con ellas).

De tipo aritmético (elemental, por cierto, pero no por eso sencillo) es la propuesta del juego denominado Arquímedes . Seguramente recordarán la idea de los cuadrados mágicos (disponer números en una matriz de modo que la suma de filas, columnas y diagonales sean el mismo número). En este caso, la propuesta es disponer los pequeños hexágonos con números del 1 al 19 en un hexágono mayor (teselando por tanto el plano, como sabemos), de modo que todas las columnas, y filas a izquierda y derecha (filas un poco ladeadas; para que quede claro, en la imagen, las filas de la izquierda son las cinco que empiezan con hueco – 1 – 13, hueco – 12 – 6 – 4, etc.; las de la derecha son 13 – 4 – 11, 1 – 6 – 15 – 14, etc.; y las columnas son las cinco dispuestas en vertical, 11 – 14 – 9, 4 – 15 – 2 – 8, etc.) ¿Son capaces de encontrar la solución? ¿Es única? ¿Porqué?

También aritmético es Bernouilli . El objetivo es disponer las nueve placas que componen el cuadrado grande, de forma que la suma de los dos números adyacentes entre dos placas sea la misma en todas partes. Cada pieza tiene una única posición y orientación correctas, por lo que sólo hay cuatro soluciones posibles. Es bastante complicado.

Por cierto, la metagrobología , es la disciplina que estudia los puzles, todo tipo de puzles, en general. Anímense y prueben con alguno de ellos. Sus neuronas se lo agradecerán.

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.