Egmont Colerus y sus matemáticas para todos

Años después, en una de las ediciones de la Feria de libro antiguo y de ocasión que visita mi ciudad cada año, aparecieron ante mí los dos volúmenes de que consta la edición, que obviamente compré sin dudar. No recuerdo si los leí en aquellos años (seguramente no más de unas páginas; si continuáis leyendo entenderéis porqué), pero ya estudiando la licenciatura de matemáticas volví a ellos, y seguí sin pasar de unas pocas páginas. Para empezar, era muy llamativo que, tratando de matemáticas, apenas aparecieran expresiones matemáticas. Y tampoco encontré referencia alguna sobre su autor por ninguna parte: Egmont Colerus. En este repaso que de vez en cuando hacemos en esta sección recordando autores hoy olvidados, pero que marcaron muchas de las actuales vocaciones de los docentes actuales (recordemos las referencias a Mariano Mataix y Héctor Antoñana , por ahora), hoy trataré de relatar lo que he averiguado sobre este enigmático escritor.

Egmont Colerus von Geldern fue un escritor austriaco, nacido en Linz el 12 de mayo de 1888, descendiente de nobles y militares holandeses (en la imagen, placa conmemorativa en su casa natal, Mozartstrasse 21, en Linz). Buen estudiante desde su infancia y juventud, se doctora en Derecho en 1911 en Viena. Al año siguiente es aceptado en el servicio preparatorio judicial, pero no llega a examinarse para juez porque es llamado para el servicio militar, siendo destinado a un tribunal de División del cual será licenciado anticipadamente a causa de una neurosis depresiva (recordemos que se estaba en plena Primera Guerra Mundial). En 1917 contrae matrimonio con Blanca Nagy, hija de una familia amiga de oficiales que había conocido tres años antes.

En estos años enferma de disentería llegando a perder hasta treinta kilos, y malvive dando clases particulares a estudiantes de derecho, porque los tribunales médicos tardan años en aceptar su enfermedad. En esta época empieza a escribir novelas de tipo histórico, aunque siempre desde una perspectiva marcadamente social, criticando y denunciando conductas que considera perniciosas para el ser humano (materialismo, hedonismo, militarismo, etc.), aunque no consigue que le publiquen nada hasta 1920. Su estilo, un tanto exagerado y barroco en las formas (consecuencia del expresionismo imperante en la época), condiciona un tanto el seguimiento de sus textos.

Recuperado de sus dolencias, se incorpora como funcionario en la Oficina Federal de Estadística de Austria. Allí, asiste a un curso de matemática superior y estadística dirigido por Walther Neugebauer que le causa una profunda satisfacción, al punto de querer profundizar en ellas y de escribir varios libros, con los que tiene tanto o más éxito que con el resto, traduciéndose a varios idiomas y siendo aún hoy en día referenciados.

Estas obras son 'Vom Einmaleins zum Integral: Mathematik für Jedermann' ('De la tabla de multiplicar a la integral: Unas Matemáticas para todos', 1934), 'Vom Punkt zur vierten Dimension' ('Del punto a la cuarta dimensión', 1935) y 'Von Pythagoras bis Hilbert' ('De Pitágoras a Hilbert', 1937, que en España se editó en los dos tomos descritos arriba como 'Breve historia de las matemáticas'). En negrita, los títulos con que aparecieron publicados en España. Previamente había escrito tres novelas sobre otros tantos matemáticos, más de tipo histórico que matemático: Pitágoras (1924), Leibniz (1934) y la última antes de fallecer, Arquímedes en Alejandría (1939).

En 1938 se retiró como consejero principal de la Oficina Federal de Estadística, y publica un libro en el que parece manifestar su apoyo a la invasión de Austria por los nazis. Intenta ingresar en el partido nacionalsocialista argumentando que había escrito algunos artículos afines a sus ideas en publicaciones de propaganda, pero lo cierto es que días antes de su repentino fallecimiento a causa de un infarto, es acusado de presentar en uno de sus libros una visión amigable hacia los judíos. Posteriormente, en 1944, los nazis incluyen algunos de sus libros en su 'Lista de literatura dañina e indeseable'. Años después, su nombre y su obra son rehabilitados, se pone su nombre a una calle en Viena y su tumba está dedicada con honores.

En el prefacio del libro De la tabla de multiplicar a la integral: 'Unas Matemáticas para todos', Colerus expone su punto de vista de las matemáticas en el prefacio del que extraigo unas líneas:

«Las matemáticas son una trampa. Si alguna vez caes en esta trampa, difícilmente volverás al estado de pensamiento original que tuviste antes de trabajar con ellas. Nos llevaría mucho tiempo justificar el porqué. Me conformaré con indicar los resultados que seguí desde ese momento.

El primer resultado de esta cualidad-trampa de las matemáticas es que hay una gran escasez de profesores de matemáticas. La habilidad para entender por ti mismo esta disciplina y explicarla con claridad a los demás no está a menudo destinada a cualquier persona. Esto provoca un complejo de inferioridad matemática que se advierte frecuentemente en personas escolarizadas y en aquellos que están bien predispuestos a la educación. Por favor, no me malinterprete. No estoy atacando a nadie; por el contrario, intento defenderme a mí mismo, para un hombre de leyes intentar exponer esto constituye la más difícil de todas las ramas del conocimiento.

Durante años me he percatado de mis propias dificultades con las matemáticas y también las de mis colegas. He concebido el proyecto de escribir mis experiencias a un nivel suficientemente elemental mientras aprendo la asignatura. […]

Hay otra razón muy convincente para escribir estas experiencias. Es obvio que las matemáticas, sus métodos y conceptos se están convirtiendo en una parte crecientemente importante en todas las ramas de las ciencias, y se podría decir que de nuestra vida diaria. Es extremadamente insatisfactorio, casi rozando el escándalo, que un lector se asuste y desanime ante una hilera de jeroglíficos en medio de un tratado serio o que deba dejar que un pequeño número de iniciados terminen su lectura mientras él solo pueda quedarse quieto y encogerse de hombros. No hablo de nada de alto nivel relacionado con la teoría de la relatividad o la cuántica, sino de las matemáticas que pueden aparecer en cualquier publicación médica o económica. […]

La mayor parte de los libros de matemáticas, tan admirables como pueden ser, son a menudo ininteligibles para las personas comunes porque suponen en sus lectores una enseñanza secundaria y un conocimiento de los procesos matemáticos elementales. Yo mismo he sufrido esta premisa por parte de mis profesores cuando decidí continuar con mi educación y estudiar matemáticas superiores y estadística. En este libro intentaré remover tales dificultades de modo que nadie necesite sufrir un complejo de inferioridad respecto a las matemáticas, y consideraré un triunfo si mis lectores prosiguen sus estudios y finalizan despreciando mis explicaciones y mi simplicidad. Si cualquiera de mis lectores utiliza este libro como “entrenador” y encuentra cualquier contradicción entre lo que el libro expone y lo que sus profesores dicen, ¡¡tu profesor siempre tendrá razón!! […]

Desafortunadamente, un sentimiento de inferioridad acerca de las matemáticas a veces desemboca en resentimiento y odio. La gran matemática griega, Hypatia, la única mujer a la altura de los grandes matemáticos, fue apedreada por la gente –no tanto por fanatismo religioso sino por un odio hacia algo que ellos no entendían. Este libro es un intento de combatir la aversión generalizada a las matemáticas».

Tras esta declaración de intenciones, aborda en una serie de capítulos (Números, el sistema de las potencias, otros sistemas numéricos, Combinatoria, primeros pasos en el álgebra, ecuaciones, números irracionales, fracciones decimales generalizadas, funciones algebraicas, el teorema de Pitágoras, números imaginarios y complejos, coordenadas, geometría analítica, cuadrando el círculo, calculando longitudes de curvas, derivadas e integrales, el teorema binomial, la cuadratura de la parábola de Arquímedes, la técnica de la diferenciación, máximos y mínimos, la técnica de la integración, integrales definidas y valor medio, problemas avanzados de áreas, logaritmos, interpolación, extrapolación y Conclusiones), explicados, como ha manifestado, de forma personal, diferente a los cánones académicos.

Para empezar, digamos que el título elegido para la edición española no se ajusta al contenido del libro, porque no es una historia de las matemáticas, sino un grupo concreto de matemáticos relevantes que el autor eligió según su criterio. El título original del libro es 'De Pitágoras a Hilbert', y eso es lo que en realidad contiene el libro. Para cada matemático eligió además una frase o un nombre que definiera su trabajo.

Así, el primer tomo (en la versión original era un único libro) tenemos: PITÁGORAS: matemáticas y ciencia; EUCLIDES: matemáticas y filosofía; ARQUÍMEDES: matemáticas y realidad; APOLONIO DE PERGA: matemáticas y virtuosismo; DIOFANTO: la notación matemática; AL-KHUWARIZMI: las matemáticas como máquina mental; LEONARDO DE PISA: el despertar de las matemáticas; NICOLÁS DE ORESME: naturaleza y matemáticas; VIETA: matemáticas y simbolismo; JOST BÜRGI: la matemática tabular. En el segundo volumen aparecen: DESCARTES: la matemática como método; LEIBNIZ: el universo matemático; PONCELET: la matemática como espejo mágico; GALOIS: la matemática como generalización; GAUSS: matemática y experiencia; RIEMANN: la matemática entendida como mundo del espíritu; HILBERT: matemática y lógica.

En cada uno de ellos, no vamos a encontrar un modo convencional de contar su vida y logros matemáticos. Enmarca la sociedad en la que aparece cada personaje, el contexto en el que se plantean las cuestiones, y lo comenta, sin dudar en relacionar personajes del pasado con los del siglo XV o del siglo XIX, por ejemplo, mezclando ideas afines. Da una visión más filosófica que matemática.

Por otro lado, la elección de los matemáticos es muy personal. Aunque Newton se cita numerosas veces, “choca” que no tenga un capítulo. O que dedique a Jost Bürgi las ideas sobre los logaritmos en lugar de a John Napier (al que no obstante menciona como co-descubridor, un poco como Newton y Leibniz del cálculo). Seguramente haya sido por afinidad geográfica (el primero era suizo, y el segundo escocés).

También llama la atención los pocos desarrollos matemáticos que incluye en algunos capítulos, mientras que para otros se explaya. Concretamente el capítulo de Diofanto de Alejandria es uno de los que más matemáticas explicitas contempla (quizá porque le gustaba más el tema, o porque lo dominaba mejor). Veamos un ejemplo sobre este autor:

«En el 39º ejercicio del primer libro, se pide que, dados dos números, se busque un tercero tal que la suma de dos cualesquiera de estos tres multiplicada por el tercero, dé tres números cuya diferencia entre sí sea siempre la misma cantidad. Desde luego, es una condición bastante complicada. El razonamiento de Diofanto es el siguiente: sean los números dados el 3 y el 5, y llamemos x al número buscado. Se obtienen así tres productos: 3(x + 5), 5(x + 3) y x(5 + 3). El resultado de la primera multiplicación, (3x + 15), no puede ser el mayor de los tres números; viceversa, (5x + 15) podría ser el más grande o el intermedio, y 8x podría ser cualquiera de los tres. Suponiendo que (5x + 15) sea el mayor y 8x el intermedio de los tres números, y puesto que la diferencia entre ellos tomados de dos en dos ha de ser la misma, la suma del número más grande y del menor debe ser igual al doble del número intermedio. Efectivamente, utilizando nuestra notación algebraica, de

En consecuencia, (5x + 15) + (3x + 15) = 2 ‧ 8x, o sea, 8x + 30 = 16x. Suponiendo, por el contrario, que (5x + 15) sea el mayor de los tres números, (3x + 15) el intermedio y 8x el menor, se tiene, siguiendo la misma regla que en el caso anterior, (5x + 15) + 8x = 2(3x + 15), es decir, 13x + 15 = 6x + 30. Por último, si 8x es el mayor, (5x + 15) el intermedio y (3x + 15) el más pequeño, tenemos que 8x + (3x + 15) = 2(5x + 15), de donde 11x + 15 = 10x + 30. Resolviendo ahora por separado las tres ecuaciones, se obtiene para x los tres valores 15/4, 15/7 y 15, que satisfacen la condición impuesta. Por este ejemplo puede verse claramente que Diofanto trabaja en esencia con tres ecuaciones, aunque en apariencia la incógnita es única».

En cuanto al estilo, la forma en que está escrito (recordemos que se escribió en 1937) y por qué no pasé en su momento de un par de páginas, mostremos como muestra un botón. De la treintena páginas del capítulo dedicado a Galois (en el que por toda explicación matemática nos indica un ejemplo de resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer y nos demuestra mediante el esquema diagonal de Cantor que los números racionales son numerables), extraigo un par de párrafos finales:

«No obstante, la intuición no es propia exclusivamente de los niños; en sus efectos más elevados, constituye un aspecto de la divinidad. De nuevo asoma la abstrusa interrogante de si a nosotros, insignificantes seres humanos, nos es lícito abandonar impunemente nuestra οίχονμενη γη, la tierra habitada, para adentrarnos, más allá de los confines que nos han sido asignados, en el dominio de lo divino. Y decimos impunemente, porque resulta bastante discutible si nos vemos justificados en nuestra presunción cuando acoplamos la lógica como mejor nos conviene, o si, por el contrario, tenemos la obligación de rechazar el consuelo de la lógica allí donde tengamos la sensación de que existen cuestiones fundamentales bastante más graves. La palabra 'sensación' quizá asuste o disguste a los puritanos de la matemática. Tal vez parezca igualmente inoportuno traer a colación las categorías mentales goethianas, desde el momento en que Goethe era, indiscutiblemente, lo más opuesto a un espíritu matemático, a pesar de que desde diversos ángulos se intenta demostrar sus supuestas actitudes en dicho campo.

Sin embargo, tal limitación no altera en lo más mínimo la posibilidad de que la estructura mental goethiana pueda extenderse también al campo de la matemática. Y no hablamos sin fundamento: hombres como Poincaré, Boutroux y algunos insignes matemáticos alemanes como Bieberbach, se inclinan, en sus más recientes investigaciones, en la misma dirección. Y no siempre podemos engañarnos con la pretensión de que una "acomodación de la lógica" ofrece una base pseudológica a la matemática. Con el mismo derecho podría afirmarse que está por descubrir -más bien que inventar- un 'mundo matemático' específico. Una vez descubierto, podremos cultivarlo, generalizarlo y darle una forma orgánica. Sin embargo, ese mundo es tan vasto, tan rebosante de inauditas maravillas, que ningún historiador escrupuloso podrá imaginárselo agotado o agotable. Por entre las bruñidas y lustrosas piedras de las suntuosas ciudades matemáticas despuntará siempre la hierba del eterno devenir, y las ciudades se verán sumidas en la ruina hasta que nuevos arquitectos construyan otras en un estilo nuevo, nunca visto hasta entonces, en las que resonarán idiomas desconocidos. […]

Hoy día ya no se cree tan a pies juntillas como en los tiempos del gran Laplace en la omnipotencia del desarrollo mecánico de la matemática por medio del algoritmo. Las mejores cabezas matemáticas saben por propia e incontrovertible experiencia que los nuevos conocimientos no constituyen simplemente algo 'calculado', sino que surgen de improviso, semejantes a melodías nunca oídas hasta entonces, de profundidades que ni siquiera su creador podrá jamás alumbrar o sondear.

Los meros tautológicos y partidarios de la lógica a ultranza quisieran, en su celo puritano, llevar el mundo de la matemática a anquilosarse y cerrarse en sí mismo, mientras que, en el otro extremo, los profetas de la decadencia, tipo Spengler, llevan la investigación matemática hasta la desesperación. Y no decimos esto en un sentido despreciativo, sino como una mera constatación. Ambas tendencias contrastan no sólo con el sentimiento religioso y "fáustico", sino incluso con las leyes biológicas, de forma que hasta en este campo podría golpearse al materialismo con sus propias armas. Para evitarnos equívocos, hemos de reconocer que, en nuestra opinión, un tratamiento puramente instrumental y lógico a ultranza de la matemática ha de considerarse como algo esencialmente materialista, ya que el pensamiento instrumental difícilmente podría aplicarse sin contradicciones a cualquier otro tipo de concepción del mundo.

Sin embargo, dado que -e interprétese esto como nota conciliadora al final del presente capítulo- la penetración de la lógica en la matemática y de la matemática en la lógica ha contribuido poderosamente a lograr una profundización de nuestra ciencia, conviene considerar no tanto las deformaciones, sino, sobre todo, los frutos de este proceso de desarrollo. Todavía nos quedan por recorrer algunas provincias del reino de la matemática, en las que tuvieron lugar, en el siglo XIX, importantes mutaciones; pero ya desde ahora podemos afirmar que los amos de la provincia consagrada al álgebra y a la generalización han ordenado concienzudamente su casa para el futuro: y que todo está ya listo para recibir dignamente a nuevos huéspedes y mensajeros».

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.