La esponja de Menger

La esponja de Menger (también llamada cubo de Menger) es un fractal -un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas- descrito por Karl Menger en 1926,y se trata de la versión tridimensional de la alfombra de Sierpinski. Para entender cómo se construye una esponja de Menger necesitamos primero entender la forma en que se obtiene una alfombra de Sierpinski, otro fractal que fue propuesto por Wacław Sierpiński en 1916. Para obtener una alfombra de estas, se parte de un cuadrado y se lo divide en otros 9, iguales (3 a lo ancho por 3 a lo largo) y se elimina el del centro. Luego, se repite el proceso con los 8 restantes, una y otra vez. El resultado final es una superficie repleta de agujeros de diferentes tamaños, con una superficie que tiende a cero a medida que aumenta el numero de iteraciones. ¿Cómo puede una figura bidimensional tener una superficie nula? Bien, eso es justamente uno de los aspectos más atractivos de los fractales.

Estamos acostumbrados a que los objetos tienen un número entero de dimensiones. Una recta, por ejemplo, tiene una sola dimensión. Un cuadrado tiene dos, y un cubo tiene tres. Pero los objetos fractales como la alfombra de Sierpinski o el cubo de Menger pueden tener un número fraccionario de dimensiones. Por ejemplo, la mencionada alfombra tiene una dimensión de 1,8927... mayor a la de una recta, pero menor a la de una superficie plana tradicional. La esponja de Menger se obtiene aplicando a un cubo un proceso similar al utilizado para crear la alfombra de Sierpinski. En el primer paso, se divide el cubo inicial en 27 cubos más pequeños (tres a lo largo, tres a lo ancho y tres a lo alto), y se eliminan los cubos centrales de cada cara y el cubo del centro. Eso nos deja con 27-6-1 = 20 cubos, a los que se les aplica una y otra vez el mismo procedimiento. El resultado es una figura que guarda un cierto parecido con una esponja de mar (de ahí su nombre) y que tiene una dimensión de log 20 / log 3 = 2.7268...

¿Cómo puede ser que a partir de una figura de 3 dimensiones como es un cubo obtengamos un “monstruo” de dimensión ligeramente menor? El secreto se encuentra en el infinito. En efecto, si solo repitiésemos el proceso de construcción de la esponja un número finito de veces, seguiríamos teniendo una cantidad finita de cubos. Pero al aplicar indefinidamente el mecanismo propuesto por Menger obtenemos el cubo inicial horadado una y otra vez por una “red de tubos prismáticos de sección cuadrada” cada vez más pequeños, que conforman una red interna similar a la que conforman nuestros capilares, venas y arterias, pero infinitamente más compleja. Lo que era un cubo se ha convertido en una colección de segmentos orientados en las tres dimensiones posibles, un esqueleto que a pesar de estar compuesto por infinitas piezas, estas poseen un “espesor” que tiende a cero con cada iteración, lo que hace de la esponja de Menger un objeto con un volumen nulo y una superficie infinita.

Lejos de ser “solo una cara bonita”, estas estructuras fractales suelen tener importantes aplicaciones prácticas. Los fractales nos ayudan a modelar el tráfico en redes de comunicaciones, a comprimir las señales de audio y vídeo, a entender la forma en que crecen los tejidos o evolucionan determinadas poblaciones , o en el análisis de los patrones sísmicos. Incluso existen métodos de análisis bursátil y de mercado que se basan en los fractales. Como puedes ver, la matemática siempre resulta útil y sorprendente.