Llega el martes y 13: Las matemáticas detrás del día más temido

El origen de esta superstición, como el de tantas leyendas, no está claro. Dependiendo del interés del que lo cuenta, encontraremos argumentos históricos, religiosos, sociales, seguramente hasta políticos, todos ellos curiosos, pero sin fundamento lógico alguno. ¿O acaso no han ocurrido desgracias y calamidades en otros días diferentes al martes 13? Es más, consultando datos estadísticos, seguramente haya habido en la Historia fechas mucho más nefastas. A pesar de ello, no podemos negar que dicha creencia ha calado y permanecido vigente en nuestras costumbres desde tiempos inmemoriales, y eso nos puede servir como propuesta de análisis de algunas cuestiones desde un punto de vista matemático.

Hace unas semanas, escuchaba en la radio en un programa de entretenimiento, lo que se calificaba como una curiosidad sobre los martes y trece, ya que ese mes, como el que nos ocupa, tenía esa particularidad. Y lo que acabaron «desvelando» como si se hubiera descubierto algo magnífico y trascendental, es que siempre que el primer día del mes sea un jueves, habrá un martes y trece.

Me vinieron entonces a la cabeza varias cuestiones. ¿Qué aporta ese dato? Si tengo que mirar en un calendario cuando es jueves 1, me cuesta lo mismo comprobar si tiene o no un martes 13. Además, todos sabemos contar doce números, ¿no? Por tanto, aquella afirmación es igual de valiosa que decir que cuando el día 2 caiga en viernes habrá un martes 13. O cuando el sábado sea el día 3. ¿Hace falta seguir iterando el proceso? Después de autoconvencerme de lo inútil del dato, me planteé: ¿qué hubiera sido de verdad interesante que nos hubiera expuesto la periodista sobre el martes 13? Se me ocurrieron algunas alternativas como por ejemplo si todos los años tienen un martes 13, o cuántos puede haber como máximo. Pero, por supuesto, no limitarnos únicamente a conocer el dato (una elemental consulta en internet nos da la respuesta), porque eso igual que lo oímos, lo olvidamos. Aquí lo relevante es saber porqué hay tantos o cuántos. Y para eso se necesita una demostración, una demostración rigurosa, y no demasiado complicada, aunque la complejidad de algo es también una idea bastante subjetiva y, si no, al tiempo.

Empecemos poniendo las bases del modo más elemental posible. Una semana tiene 7 días, en eso todos estamos de acuerdo y no tiene mucho que pensar. Al año tenemos 365 días (o 366 si es bisiesto). Y estarán de acuerdo en que es cansado y aburrido empezar colocando el día 1 de enero en lunes, y mirar cuantos martes 13 aparecen en ese hipotético año. Aburrido porque después tendremos que hacer lo mismo si empezara en martes, luego en miércoles, y así hasta el domingo (el orden es indiferente, también podríamos haber empezado por el domingo que es en realidad el primer día de la semana, aunque nuestra costumbre sea distinta). A cualquiera (y más a los matemáticos) esa tarea nos resulta de lo más tediosa. Sabemos que resuelve la cuestión, pero es lo que llamamos en el argot técnico «emplear la fuerza bruta» (lo que hacen los ordenadores; ellos nos ganan en velocidad, pero no en inteligencia). Para echar la cuenta eficientemente tenemos otras herramientas como el cálculo módulo 7 (o en base 7; las congruencias, la aritmética modular, de la que ya hemos hablado en otras ocasiones).

Calculemos en qué día del mes caen, numerándolos del 0 al 6, los días 13 de todo el año. Para alcanzar el 13 de enero, han pasado 13 días desde el inicio del año. Se verifica que

13 ≡ 6 modulo 7

lo que significa que, tanto el número 13 como el 6 tienen el mismo resto al ser divididos por 7. Un modo rápido de comprobarlo es que 13 – 6 es un múltiplo de 7. Apuntamos por tanto para enero un 6. Veamos ahora el 13 de febrero. El número de días que han pasado desde que empieza el año hasta llegar al 13 de febrero son 31 días de enero más 13 días de febrero, es decir, 31 + 13 = 44 días. Como antes, restamos el múltiplo de 7 más cercano a 44 que es 42. Entonces,

44 ≡ 2 modulo 7

Anotamos por tanto para febrero un 2. El siguiente es el 13 de marzo, que es el día número 31 + 28 + 13 del año, es decir, el 72. El múltiplo de 7 más cercano a 72 es 70, por lo que como 72 – 70 = 2, entonces

72 ≡ 2 modulo 7

Pensemos en el 13 de abril. Para llegar a ese día han pasado 31 + 28 + 31 + 13 días, es decir, 103 días. El resto de dividir 103 por 7 es 5, por lo que

103 ≡ 5 modulo 7

Procediendo de este modo con todos los meses del año, nos encontramos con la siguiente sucesión de restos

6, 2, 2, 5, 0, 3, 5, 1, 4, 6, 2, 4

Para un año bisiesto (ya saben, febrero tiene un día más por lo que, a partir de marzo, sumamos una unidad a los números anteriores), la sucesión sería:

6, 2, 3, 6, 1, 4, 6, 2, 5, 7, 3, 5

Obsérvese que, en la primera secuencia, aparecen todos los números del 0 al 6 al menos una vez. Eso significa que, en un año normal de 365 días, el número 13 puede caer en cualquier día de la semana, y al menos una vez al año. Es decir, todos los años tienen al menos un martes 13. Pero también un lunes 13, un miércoles 13, un jueves 13, un viernes 13, un sábado 13 y un domingo 13. ¿No les parece alucinante la información que nos dan esos doce números de todo un año? (Ya estoy viendo a los incrédulos ir a por un calendario, o varios, para comprobarlo). Pero la cosa no acaba ahí. ¿Cuál es el número que más veces se repite? En efecto, el 2 se repite tres veces. Eso quiere decir que un año, como máximo, sólo puede tener tres martes y 13. Y serán en los meses de febrero, marzo y noviembre (las posiciones de ese número 2)

Vamos a interpretar esas sucesiones de números con un año concreto, por ejemplo, 1965, que vemos en la imagen.

No es bisiesto, por lo que tomamos la primera sucesión. Para enero tenemos un 6, cifra que se repite en octubre. Eso indicaría que enero y octubre tendrían el día 13 en el mismo día de la semana. En 1965, fue un miércoles. De modo que colocamos en el miércoles el número 6 del siguiente modo:

Si colocamos a continuación el resto de números a partir del 6 (después del 6 iría el 0), tenemos

El siguiente número de la sucesión, el 2, aparece en los lugares correspondientes a los meses de febrero, marzo y noviembre. Según la asignación anterior sería sábado. Mirando el calendario, en efecto, así es. Por tanto, esas sucesiones, para años normales y para bisiestos, respectivamente, nos informan de cuándo caen los días 13 para cualquier año. Pueden comprobarlo con el año que deseen.

Pero las cuestiones que podemos plantearnos no acaban ahí. Por ejemplo, el número máximo de martes 13 en un año bisiesto es también tres, porque aparecen tres seises. Ahora bien, el número 0 no aparece. ¿Qué significaría eso? ¿Sirve el razonamiento expuesto para detectar los viernes 13 de nuestros amigos anglosajones? Si no sirviera, ¿qué deberíamos variar?

En mi anterior reseña en esta sección sobre el multiverso y la polémica triunfadora en los pasados Oscars de Hollywood, quedaron en el aire un par de cuestiones que trataré de dejar zanjadas a continuación. Una era de opinión, que algún lector me echó en cara por no haber visto la película completa. Pues bien, hechos los «deberes», confirmo lo que pensaba a priori: no es tan mala como muchos indican (aunque dudosamente llegaría a la siempre criticada serie B), pero lo que es un absoluto disparate es que acaparara los premios que tuvo (opinión personal, por supuesto). Lo que más llamó mi atención (negativamente también) es el tono de determinadas escenas: es difícil discernir si estás viendo una comedia, algo serio, algo de ciencia ficción, …, por momentos parece que los propios personajes se están partiendo de risa, y por tanto, tomándonos el pelo.

Desde el punto de vista matemático, quedó planteado un reto que nadie ha querido (o sabido, aunque no lo creo porque es relativamente sencillo) resolver: encontrar un personaje que tiene el aspecto xyz en el «universo» de base 7 y que al pasar el «universo» de base 9 aparece como zyx. Se pedía su aspecto en nuestro mundo decimal. Veamos cómo puede determinarse:

Razonemos a partir de esa igualdad. ¿Qué valor tiene que tomar forzosamente y? No puede ser un valor diferente de 0, porque x, y, z son números enteros menores que 6 y el factor 8 del primer miembro (que pasaría dividiendo al segundo) nos llevaría a una fracción (un número racional, no entero). Y siendo y = 0, ¿cómo puede ser 3x – 5z = 0? Sólo hay dos posibilidades. Que x = z = 0, lo que es absurdo porque entonces el número sería el 000, que obviamente no es un número de tres cifras; o que x = 5, z = 3. Entonces el número en base 7 es el 503, en base 9 el 305, y en base decimal, que es como se pide, es el 248.

Finalmente, indicar que en aquella reseña hay una errata matemática flagrante de la que nadie parece haberse percatado, o al menos nadie la ha comentado. ¿Se atreven a localizarla?

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

SOBRE EL AUTOR

alfonso j. población

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la RSME.