Trigonometría, el puente que une todas las matemáticas

Sin embargo, si nos planteáramos el absurdo juego de sólo utilizar aquello de lo que sepamos su fundamento (no digo poder construirlo, o conocer los detalles que lo hacen posible, sino tener solamente una vaga idea básica de su funcionamiento), probablemente estaríamos mucho más perdidos que aquel joven de hace treinta años. O quizá no. Hagamos una prueba.

Cuando asistimos a la escuela, aprendemos una amplia cantidad de cosas de diferentes materias (en ese momento siempre cuestionamos su utilidad, es inevitable, pero conforme crecemos acabamos entendiendo su porqué; no de todas, pero sí de muchas). La mayor parte de ellas las aprendemos de memoria, y con el tiempo, si no las usamos, terminamos olvidándolas. Pero pocas veces nos hemos preguntado la razón de porqué son así y no de otro modo, y más aún, los esfuerzos que tuvieron que hacer otras personas para llegar a esa conclusión. Como despreciando ese esfuerzo, lo cual, convendrán conmigo, es poco menos que criticable.

Por ejemplo, yendo a las matemáticas que es la base de esta sección, memorizamos unas fórmulas para calcular el área de una serie de objetos comunes, que nos rodean por todas partes. Para deducir algunas, no tenemos que pensar mucho: el área de un rectángulo, de un cuadrado, de un triángulo, incluso de un rombo o un trapecio, porque en estos dos últimos casos nos deben haber enseñado (y malo, si no fue así) que pueden descomponerse en suma de otras áreas más elementales.

Pero, ¿qué pasa con el área de un círculo? ¿o con la longitud de una circunferencia? ¿Seriamos capaces, ahora mismo de justificar cómo se obtienen? ¿De dónde sale esa misteriosa constante denotada con una letra griega? No, no vale decir, hacemos tal o cual integral y ya está. No hemos llegado a tal sofisticación. El modo en que aquellos ciudadanos griegos de siglos antes de Cristo obtuvieron la fórmula que hoy todos conocemos, nos la explicaron magníficamente nuestros compañeros Urtzi y Miriam en una reseña anterior, 'Arquímedes y la medida del círculo' , con video incluido. Allí nos dejaron claro como era el método de exhaución de Arquímedes, y cómo calculó diferentes aproximaciones incrementando el número de lados de los polígonos inscritos y circunscritos al círculo (¡¡hasta 96 lados para aproximar π!!).

Uno puede pensar que, una vez probado lo que se busca, el asunto está zanjado. Pero las matemáticas nos ofrecen múltiples puntos de vista, nunca está nada cerrado del todo. En este caso, vamos a ver que también Arquímedes, como Newton, pudo ver más allá, gracias a sus predecesores.

Porque el método de exhaución que todos relacionamos con el genial siracusano, en realidad fue descrito anteriormente por Eudoxo de Cnido en torno al siglo IV a. C., aunque desafortunadamente sólo sabemos esto por referencias de otros autores, ya que no se conserva nada escrito por él. En el Libro XII de sus célebres Elementos, Euclides también hace referencia a este procedimiento, y en él es en quien posteriormente se basa Arquímedes, pero con métodos distintos. Euclides no es tan aplicado, es más teórico. Echemos un vistazo a sus razonamientos (por supuesto con notación y argumentaciones ya modernas, como hacemos con todos los textos antiguos).

Consideremos un círculo de radio unidad OA (véase el dibujo adjunto). Euclides sospecha que cuando dividimos el arco AB a la mitad, el área del triángulo ACB (determinado por una cuerda del círculo, AB, y las tangentes al círculo en los extremos de dicha cuerda) se reduce en más de la mitad. Veamos cómo razona.

De acuerdo con la expresión del área de un triángulo, tenemos que

De acuerdo con las definiciones de la trigonometría elemental, tenemos que

por lo que

Entonces, yendo a la expresión inicial, tenemos que

En la imagen, también observamos que los triángulos AOH y ACH son semejantes, dado que sus lados son perpendiculares. Observando entonces el ángulo α en el triángulo AOH, comprobamos que

por lo que

No se nos vuelvan locos los no habituados, que no hemos hecho por ahora nada más que expresar el área de un triángulo mediante funciones trigonométricas muy elementales. Esto desde el punto de vista de un matemático (incluso desde el punto de vista de un alumno de bachillerato), no es 'ná de ná'.

Probar que el área se reduce en más de la mitad equivale a ver si es cierta la desigualdad

O lo que es lo mismo, tras simplificar, que

Sabemos que

por lo que tendríamos que demostrar que

O lo que es lo mismo, que

Pero esto es evidentemente cierto, ya que si llamamos x = cos α, la desigualdad

Y esa expresión es obviamente positiva ya que es suma de cantidades positivas. Arquímedes utilizará posteriormente esta idea para demostrar que el área de un círculo coincide con la de un triángulo rectángulo cuyos catetos sean, respectivamente, el radio del círculo y el otro la longitud de la circunferencia, como aparece en la reseña de Urtzi y Miriam. Arquímedes no se corta en hablar de la longitud de un arco de curva, lo que le obliga a introducir nuevos conceptos como los de concavidad y convexidad. Euclides no lo hace, y lo paradójico es que se podría haber seguido un argumento similar al expuesto anteriormente para demostrar que los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos de 2^n lados, tienden ambos a 2π (la longitud de la circunferencia). Hubiera bastado que hubieran utilizado la igualdad

deducida del dibujo anterior, y la desigualdad trigonométrica

En descargo de Arquímedes, el uso generalizado de la trigonometría no empezó a ser habitual hasta el siglo II d. C., herramienta que, como vemos, simplifica notoriamente muchos razonamientos muy complicados utilizando exclusivamente geometría elemental. La trigonometría, que nos ofrece relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos (y por extensión, de cualquier figura plana; pero etimológicamente es lo que significa trigonometría, la medida de los triángulos), ha permitido cálculos insospechados de magnitudes que ni siquiera están al alcance (como la medición de distancias en astronomía, o perspectivas increíbles en arquitectura, por poner dos sencillos ejemplos). Una más de las muchas grandes ideas que empleamos constantemente (los móviles, en este caso, volviendo a la idea inicial) que nos legaron nuestros ancestros. Aunque muchos no lo sepan, o no quieran saberlo.

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.