Los números también saben mantener la distancia de seguridad

Ni siquiera un cotizado buscador de internet necesita más datos para localizar a Martin Gardner , uno de los héroes de juventud de multitud de adolescentes amantes de las matemáticas.

Entre la ingente cantidad de material que se acumula en sus obras podemos encontrar inspiración para muchos artículos en esta sección, así que nos limitaremos a un ejemplo muy apropiado para la situación actual. En el número de noviembre de 1967 de la sección «Mathematical Games» para la revista «Scientific American» rescata un viejo problema de 1958, conocido como el puzle de Langford.

El problema citado por Gardner fue planteado por el matemático británico Dudley Langford en 1958 y se le ocurrió viendo jugar a su hijo con unos bloques de colores.

Según sus propias palabras,

Había dos bloques de cada color y un día me percaté de que mi hijo los había apilado de modo que había un solo bloque entre el par rojo, dos entre el par verde y tres entre el par azul. Entonces encontré que una redistribución completa permitía añadir un par de bloques amarillos con cuatro bloques entre ellos .

Trabajando con números en vez de colores, Langford planteó el problema general:

Dado un conjunto con 2n números, del 1 al n repetidos dos veces, se trata de colocarlos en una fila de modo que, entre cada dos números iguales de valor k, haya exactamente k números.

El propio Langford descubrió otras soluciones con un número mayor de parejas, que publicó en la revista «Mathematical Gazette» en 1958. Curiosamente, las secuencias 312132 y 41312432 son las únicas soluciones (salvo sus simétricas) para tres y cuatro parejas, respectivamente. Existen métodos atractivos para construir ordenamientos adecuados para todos los casos pero no permiten determinar el número de soluciones.

A lo largo del tiempo y gracias a la potencia de cálculo de los ordenadores modernos, se conoce el número de soluciones de todos los casos hasta n = 30 (30 parejas de números). En realidad, este caso es sencillo porque no tiene solución, así como tampoco la tiene el caso n = 29. Sin embargo, para n = 28, se sabe desde 2015 que hay un total de 1.607.383.260.609.382.393.152 soluciones (más de mil trillones aunque ninguna de ellas tiene pinta de obtenerse «a pulso»). Todavía no se ha encontrado una fórmula general que dé el número de soluciones para cualquier cantidad de números pero sí se han conseguido fórmulas sorprendentes para algunos valores. Una versión animada que muestra la dificultad del problema, incluso para casos sencillos, está realizada por John Miller y puedes apreciar en este enlace .

Puedes encontrar una hermosa demostración elemental (no simple) de que solo hay soluciones cuando el número de parejas es múltiplo de cuatro o una unidad menos de un múltiplo de cuatro en el blog DataGenetics . Un problema similar que tiene solución para todos los valores de n consiste en añadir el número cero en la penúltima posición de la secuencia, conocida como sucesión de Langford «enganchada».

En 1966, Frank Gillespie y W. Utz definieron las sucesiones de Langford generalizadas, utilizando más de dos números iguales en cada secuencia y preguntándose cuáles serían los casos que tenían solución. La presentación en sociedad de este problema apareció en 1988 y fue descrita, cómo no, por Martin Gardner en el capítulo 6 del libro «Time travel and other mathematical bewilderments» (traducido el mismo año bajo el título «Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas»). Así es como lo planteaba Martin Gardner, clasificándolo como extremadamente difícil:

Saca las 27 cartas con valores del as al nueve de tres de los palos de una baraja. El problema consiste en colocar todas las cartas en una fila sobre la mesa con la siguiente condición:

Para cualquier valor de k entre 1 y 9, entre la primera y segunda cartas del mismo valor k debe haber exactamente k cartas y entre la segunda y tercera cartas del mismo valor k debe haber también exactamente k cartas.

Así pues, entre el primer as y el segundo as debe haber solo una carta, entre el segundo as y el tercer as debe haber solo una carta; entre el primer dos y el segundo dos debe haber dos cartas, entre el segundo dos y el tercer dos debe haber dos cartas; etc.

Como se puede apreciar, se trata del problema de Langford utilizando ternas de cartas (o números) en lugar de parejas. El ejemplo propuesto por Gardner es el más pequeño que tiene solución, de hecho solo tiene estas tres soluciones:

1-9-1-2-1-8-2-4-6-2-7-9-4-5-8-6-3-4-7-5-3-9-6-8-3-5-7

1-8-1-9-1-5-2-6-7-2-8-5-2-9-6-4-7-5-3-8-4-6-3-9-7-4-3

1-9-1-6-1-8-2-5-7-2-6-9-2-5-8-4-7-6-3-5-4-9-3-8-7-4-3

Curiosamente, parece que no hay solución para ocho cartas, como comprobaron D.P. Roselle y T.C. Thomasson Jr. en 1971 mediante programas informáticos, de modo que no cuenta como demostración. Para diez cartas hay cinco soluciones y no hay más soluciones con otros valores siempre que se utilicen tres palos de una baraja. Si alguien te plantea el problema análogo utilizando los cuatro palos de la baraja y respetando las mismas reglas de separación entre parejas de valores iguales, no te esfuerces: no hay ninguna solución.

Hay muchas otras formas de mantener la distancia de seguridad entre números, con variaciones de las secuencias aquí descritas, como son las sucesiones de Skolem , estudiadas de forma independiente por el matemático sueco Thoralf Skolem , las sucesiones de Nickerson y las generalizaciones con ternas, cuaternas, etc., de números iguales, como las ya descritas. ¿Seremos capaces de aplicar estos conocimientos matemáticos en la nueva redistribución de la sociedad y sus costumbres? Al menos, algunos artistas se sienten inspirados por estas estructuras matemáticas, como el artista alemán Gerhard Hotter , que ha plasmado en algunas de sus creaciones su particular visión de las sucesiones de Langford (puedes realizar un recorrido virtual en esta galería) .

Pedro Alegría. Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de divulgación de la RSME.