El misterio del número 77

He querido hacer esta introducción para poner la atención en la complejidad de tal proceso, que quizá al lector de hoy le parezca, insisto, algo superado por la familiaridad con que manejamos los números (sí, ciertamente algunos más que otros, pero esa es otra historia). Y, sin embargo, en pleno siglo XXI, no nos repele la peregrina idea de asociar cualidades a determinados números más allá de la numérica (la única para la que se concibieron). Así, no es difícil encontrar personas, incluso con cierta cultura e inteligencia, con triscaidecafobia (rechazo e incluso miedo cerval al número trece), al punto

de encontrarnos ascensores que se saltan un piso, aviones que eliminan fila de asientos, celebridades que utilizan eufemismos (12 + 1), o placas conmemorativas como la que les enseño en mi propia ciudad (supongo que habrá muchas otras así). Todo ello, desde luego no sirve para «ser más guay», o repeler imaginarios augurios: simplemente demuestran, seamos educados, bastante simpleza (como cualquier otra superstición, por otra parte). Al menos desde el punto de vista estrictamente matemático.

En la película El número 23 ( The Number 23 , Joel Schumacher, EE. UU. 2006), el protagonista no ve «normal» que esa cantidad se le presente por todas partes, trastornándose por completo (como no podría ser de otra forma). En Pi. Fe en el caos (Pi. Faith in Chaos, Darren Aronofsky, EE. UU., 1998), el matemático Max Cohen hace lo propio con una cadena de 216 números que se le presentan en distintos contextos. Su maestro se lo deja bien claro: «Si te empeñas en encontrar el 216, lo encontrarás en todas partes. Habrá 216 pasos desde la esquina hasta la puerta de tu casa y el ascensor tardará 216 segundos en llegar a tu piso. Cuando tu mente se obsesiona con cualquier cosa, desechas todo lo demás y sólo eres capaz de ver esa cosa. 320, 450, 22 o 10. Tú has elegido el 216 y lo encontrarás por toda la Naturaleza. Escucha: en el momento en que descartas el rigor científico dejas de ser un matemático para convertirte en un numerólogo».

En 1959 el neuropsicólogo Klaus Conrad (1905−1961) definió la apofenia como la experiencia (esto es un eufemismo; debería decir el trastorno) consistente en ver patrones, conexiones o ambos en sucesos aleatorios o datos sin sentido alguno. Conrad describió originalmente este fenómeno en relación con la distorsión de la realidad presente en la psicosis, pero se utiliza en un sentido más amplio para describir esta tendencia en individuos sanos sin que esto implique necesariamente la presencia de enfermedades neurológicas o mentales (espero que este último sea el caso de los lectores de estas páginas). La apofenia se usa a menudo como explicación de afirmaciones paranormales o religiosas. Otros estudios describen la apofenia como un vínculo entre la psicosis y la creatividad.

Es un tema recurrente en películas o series de televisión. Recuerden cómo en la serie Perdidos (Lost, EE. UU., 2004 – 2010), cada 108 minutos los habitantes de la isla debían introducir en un ordenador una secuencia numérica que además aparecía en vivencias de los personajes so pena de reventar isla y posiblemente el planeta entero. Al pobre Nicholas Cage, un profesor de astrofísica bastante desquiciante tampoco le parecía casual que unos números escritos por una antigua alumna del instituto de su hijo guardados en una cápsula del tiempo fueran prediciendo grandes catástrofes, quedando algunas por suceder en la infame Señales del futuro (Knowing, Alex Proyas, EE. UU., 2009). En nuestro país también «magufeamos» de lo lindo y reproducimos argumentos ( El aviso , Daniel Calparsoro, España, 2018). Y más recientemente seguimos con la apofenia en algunos episodios de Stranger Things o Gambito de dama . Sin ir más lejos, el pasado jueves, por todas partes nos bombardearon con lo del día 21 del año 21 del siglo 21 , a las 21:21, y bla, bla, bla. ¿Y del mes qué, nos olvidamos? ¿O del día de la semana? Esta es una de las normas del buen magufo: lo que no cuadra, lo obviamos.

Por completar el apunte, el encontrar formas reconocibles en objetos que no tienen nada que ver (imágenes en nubes, por ejemplo) es otro fenómeno llamado pareidolia , que también utilizan los psicólogos en sus análisis y evaluaciones de los pacientes, del que pueden encontrar información también en múltiples lugares. Nosotros volvemos a los números.

De modo que, quizá en un estéril intento de convencer a algún lector (porque en esto de las creencias, todo el mundo lo tiene muy claro; pero bueno, quizá por el camino aprendamos alguna cosa curiosa), se me ha ocurrido elegir un número cualquiera, no sé, el 77, por ejemplo, e intentar ver si aparece por cualquier lado. Luego, con lo encontrado, podemos montar una historia convincente y, ya tenemos un nuevo enigma: ¡¡el enigma del 77!!

Quizá alguien piense que no he tomado al azar el número (crean lo que quieran; así ha sido), o que, como el 7 es uno de esos números recurrentes en la Antigüedad, la magia y estupideces varias, por eso lo he elegido. Pues no. Simplemente porque me parece suficientemente anodino como para «experimentar» con él. Lo primero que se me ha ocurrido es consultar esas «imaginativas» páginas numerológicas a ver qué dicen del 77, si es que dicen algo. Y en efecto, hay un significado maravilloso para el número y las personas a las que les gusta (¡¡cómo se aburre el personal!! ¿Hasta qué número habrán «estudiado»? ¿Tendrá el 42715 también algún ángel asociado?), y también alguna cosa negativa, ¡¡cómo no!! En fin, pasaremos de estas interpretaciones, no sea que nos condicionen de algún modo (además de que el rollete desquiciante es bastante extenso).

A bote pronto el 77 no es primo (¡¡pero es producto de primos, como 2021!!, dirá alguien; así que es semiprimo). Es capicúa (palindrómico; ya saben: que leído al derecho y al revés es idéntico), pero eso no es demasiado relevante porque sus cifras están duplicadas.

Lo que si es cierto es que es suma de los ocho primeros primos.

No es mucho, pero, en fin, algo es algo. Si seguimos con operaciones elementales, no es tampoco difícil descubrir que es suma de tres cuadrados perfectos

¡¡Esto va tomando forma!! Comprobamos que no es un número triangular, ni está en el triángulo de Pascal, ni es un número perfecto. Recuerden que un número perfecto es aquel igual a la suma de sus divisores propios (o sea, exceptuando el propio número), como el 6 = 3 + 2 + 1. Bueno, pero es el número de dígitos del duodécimo número perfecto:

Cuenten, cuenten, ya verán como son 77 dígitos. ¿Qué no se creen que es un número perfecto? Pues hagan la cuenta. Ya saben calculen sus divisores propios y sumen. Ah, que no les cabe en la calculadora. Ya. Pues miren para eso los matemáticos desarrollamos algunos resultados, de esos que la mayor parte de la gente dicen que no sirven para nada. Y esto tampoco es muy importante (¿seguro?). Euclides demostró (¡¡ya ha llovido desde entonces!!) que la expresión

genera un número perfecto par siempre que el segundo factor, 2^n – 1, sea un número primo. Enseguida los valores empiezan a ser muy altos, por lo que se tardó mucho en verificar la primalidad de bastantes de ellos. De hecho, el dado anteriormente que aparece cuando n = 127,

tiene 39 cifras, y no fue hasta 1876 que Édouard Lucas (1842 – 1891) probó que era primo.

No había ordenadores. Pero, aunque son de ayuda, no crean que tanta: sólo se conocen a día de hoy 51 números perfectos, y el último se ha descubierto en 2018 y tiene 49.724.095 cifras (corresponde al exponente n = 82.589.933, de la expresión de arriba).

Sigamos con el 77, que de momento no nos ha dado demasiado juego, la verdad.

Parece que debemos acudir a asuntos un poco más sofisticados. 77 es el mayor número que NO se puede descomponer en suma de números distintos cuyos recíprocos sumen 1. Por ejemplo, 11 sí se puede porque

Pero con 77 no es posible, y es el mayor conocido. En 1963, Ronald Graham demostró en general que, cualquier entero mayor que 77 tiene esta propiedad. ¡¡Cualquiera!! ¡¡Hasta el infinito!! Por poner otro ejemplo con un número mayor

Esto ya es más relevante porque distingue de algún modo al 77 con algo bastante especial.

De hecho, Derrick Lehmer probó específicamente que con 77 no es posible. Este podría ser un buen argumento para «montar» un misterio para el 77. ¿Por qué precisamente esto le pasa al 77 y a ninguno más?

Como ya mencioné en otras reseñas, hay a quien les priva las recurrencias numéricas. Con el número 7 encontramos que

Les dejo la cuestión siguiente: ¿sigue esto así indefinidamente, o acaba en algún momento? ¿Por qué sucede? Si entendieron bien este artículo anterior , encontrarán fácilmente la respuesta.

Por otra parte, 77 es un entero de Blum. Manuel Blum es un informático venezolano, premio Turing en 1995 por sus trabajos en criptografía.

Estos enteros sí tiene una aplicación práctica real, porque son el origen del sistema criptográfico Blum Blum Shub (BBS, abreviadamante). El nombre proviene de las iniciales de los apellidos de sus desarrolladores, Lenore Blum, Manuel Blum y Michael Shub que lo publicaron en 1986.

Como esto se va complicando, no entraré en demasiados detalles. Sólo indicar que este algoritmo proporciona un sistema muy resistente (o sea muy seguro de cara a posibles ataques de hackers) si se eligen los factores p y q grandes en sistemas criptográficos tipo RSA, porque si el producto M es grande, distinguir los bits de una secuencia es tan complicado como factorizar M, y por tanto decodificar la información encriptada es difícil.

No obstante, tiene un inconveniente (quizá por eso se utiliza más el RSA): no es muy rápido.

Y hablando de claves, cifrados y sistemas secretos, el 77 se utilizó en la II Guerra Mundial como contraseña en Suecia, por su difícil pronunciación,

para saber si el transmisor era sueco, noruego o alemán.

¿Y en mi vida cotidiana? ¿Estará el 77? En 1977, asistí al estreno de la primera película de La guerra de las galaxias (imagínense qué gozada para un chaval de doce años; aunque entre nosotros, la mejor es la segunda, la de El imperio contraataca ; después de mal en peor, aunque el mínimo absoluto es, para mí, La amenaza fantasma ). Y haciendo memoria, hubo una discoteca en mi ciudad llamada 7 – 7 en la que hubo un desgraciado siniestro muy comentado entonces. Y hay un LP del grupo Talking Heads con ese título. Y tomando al azar dos resguardos de mi compra diaria me encuentro con esto.

Ya, ya sé que el tercer número no cuadra, pero ¿quién trabaja con el decimal de las centenas? (Esto es lo que suelen hacer los magufos (personas que creen y consideran argumentos seudocientíficos sin plantearse crítica alguna, tipo teoría de la conspiración, fakes de internet, etc., etc.; tengan cuidado que son abundantes): quedarse sólo con el dato que les interesa. Y si asocian el número que corresponde a cada letra en el alfabeto español (o sea, con la ñ), el nombre del establecimiento de donde son esos resguardos de compra, ¿saben lo que suma? En efecto, 77 (con una pequeña trampa).

En definitiva, si cualquiera se esfuerza un poco, seguro que encuentra con no demasiada dificultad patrones y casualidades en cualquier número . Hagan la prueba. Y eso no tiene nada que ver con la suerte, la predestinación, las maldiciones, ni ese tipo de cosas irreales e irracionales (los números irracionales sí existen, pero son porque no se pueden expresar como cociente de otros dos, o sea, no son racionales). Si siguen teniendo un número de la suerte, o apuestan siempre al mismo número de la lotería, no les voy a quitar su ilusión, hagan lo que quieran. Yo vivo muy a gusto en un portal número 13 (no, no es el 13 Rue del percebe , ni tengo bigote, ni gato), y los únicos números que me dan algo de suerte son los que van acumulándose en mi cuenta corriente (a pesar de las malditas comisiones).

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.