El ojo de Horus: ¿Qué es eso de la fracción egipcia?

En Matemáticas, son muy llamativos dos casos extremos de trabajo prolífico: el de Leonhard Euler (1707-1783) y el de Paul Erdös (1913-1996). Ya es muy conocida la figura de Euler, forma parte –o debe formar parte– de la cultura general y la recopilación de su obra científica (más de 850 trabajos) constituye un ingente trabajo mayoritariamente individual cuyo resultado es accesible en el «Euler Archive» mantenido por la biblioteca de la Universidad del Pacífico en California, Estados Unidos. Es posible que no sea tan conocida la figura de Erdös, matemático húngaro que pasó toda su vida viajando por el mundo y colaborando estrechamente con la mayor cantidad de colegas que pudo. En 2001, Paul Hoffman publicó una interesante biografía titulada «El hombre que sólo amaba los números» (Ediciones Granica), resumiendo en el título la característica más significativa de este personaje.

A lo largo de su vida, Erdös publicó, que sepamos, 1.526 trabajos de investigación en matemáticas –contando los 35 que aparecieron después de su fallecimiento–, la mayor parte en Teoría de Números y Teoría de Conjuntos. Más de un millar de sus trabajos fueron realizados en colaboración con un total de 512 coautores. Entre ellos, 202 han colaborado con Erdös en más de un artículo, siendo su compatriota András Sárközy quien ostenta el récord de 62 trabajos de investigación conjuntos.

En lo que llevamos del siglo XXI se han publicado todavía cinco artículos que llevan la firma conjunta de Erdös y otro u otros autores, trabajos que se habían iniciado en colaboración con Erdös o que resuelven problemas sugeridos por él. También es posible que algunos de estos autores quisieran conseguir el tan ansiado número de Erdös igual a uno , reservado por el momento a los 512 colaboradores directos, número que puede convertirse en un mérito digno de ser incluido en cualquier currículum de matemáticas.

El último de dichos afortunados es Steven Butler , profesor en la Universidad estatal de Iowa, y el trabajo que publicó en 2015 –firmado conjuntamente con Paul Erdös y el recientemente fallecido Ronald Graham– merece un poco de atención.

En dicho trabajo, titulado «Egyptian fractions with each denominator having three distincts prime divisors», se estudian algunas propiedades de las fracciones egipcias que eran desconocidas hasta el momento. ¿Cómo? ¿Qué son las fracciones egipcias?

Digamos para simplificar que son las que tienen numerador igual a uno. ¿Por qué se llaman egipcias? Porque en la civilización egipcia, hace más de 3.500 años, esas eran las fracciones para las que disponían de símbolos específicos y, por tanto, son las que se usaban para generar todas las demás. De hecho, uno de sus símbolos más representativos, el ojo de Horus , contiene las fracciones más simples con las que formaban las demás y en la primera parte del famoso papiro Rhind , que podemos admirar en el museo Británico de Londres (cuando nos dejen ir allí) aparece una tabla con laboriosas descomposiciones –como suma de dos, tres o cuatro fracciones con numerador igual a uno– de todas las fracciones del tipo 2/n para cualquier n impar desde 5 hasta 101 (el 3 no cuenta porque también disponían de un símbolo para representar la fracción 2/3). La última de ellas es muy atractiva: corresponde a la igualdad 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606. El papiro contiene también una tabla con las descomposiciones de las fracciones n/10 para cualquier n desde el 2 hasta el 9.

Sí, yo he pensado lo mismo que tú: toda fracción 2/n se puede descomponer simplemente como 1/n + 1/n pero los egipcios buscaban combinaciones donde los denominadores fueran todos distintos. Sí, yo también me pregunto por qué querían hacerlo así pero el gran matemático francés André Weil explicó que la respuesta es sencilla: simplemente tomaron un camino equivocado.

A lo largo de la historia se han ido descubriendo muchas propiedades de las fracciones egipcias pero también se han planteado cuestiones, algunas de las cuales han quedado sin resolver. Seguro que la primera pregunta sería: ¿todas las fracciones (menores que la unidad) se pueden descomponer como suma de fracciones egipcias? La respuesta es que sí y Fibonacci (c.1170-c.1250) ideó un método infalible: se resta de la fracción original la mayor fracción con numerador uno cuya diferencia es positiva; el resultado es otra fracción, menor que la primera, a la que se aplica el mismo procedimiento; como en cada paso se obtiene una cantidad menor, en algún momento la diferencia es nula. En la página de Ron Knott puedes encontrar una calculadora online que descompone cualquier fracción siguiendo este método.

Este método será infalible pero no siempre da resultados «elegantes». Por ejemplo, los egipcios escribieron 2/45 = 1/30 + 1/90 y el método de Fibonacci lleva a la solución 2/45 = 1/23 + 1/1035. Hay otros ejemplos peores, lo cual alentó a la comunidad científica y, con el tiempo, se han ido desarrollando métodos más directos y eficaces.

De hecho, se ha demostrado también que cada fracción se puede descomponer como suma de fracciones egipcias de infinitas formas.

Una segunda pregunta podría ser: ¿cuáles son el máximo y el mínimo número de fracciones egipcias que se necesitan para descomponer una fracción dada? Se sabe que, con el método de Fibonacci, toda fracción n/m necesita como máximo n sumandos. Los trabajos de Michael Mays en 1987 y Herta Freitag y George Phillips en 1999 proporcionan condiciones para que se alcance el número máximo de sumandos para ciertos casos. Por otro lado, hasta el año 2010 se sabía que la fracción 732/733 es la de menor denominador que se puede expresar como suma de siete fracciones egipcias pero no con seis. El matemático aficionado Hugo van der Sanden probó ese año que 27538/27539 es la fracción más simple que no puede descomponerse como suma de siete pero sí como suma de ocho fracciones egipcias. ¿Cuál será la que necesite como mínimo nueve fracciones egipcias? De momento, nadie lo sabe.

Como decíamos, hay muchas cuestiones relacionadas con el tema y no todas están resueltas. ¿Qué pasa si queremos que los denominadores sean todos pares? ¿O todos impares? Hace más de medio siglo que Erdös y Graham se preguntaban si se puede descomponer una fracción como suma de fracciones egipcias en las que cada denominador es producto de tres números primos diferentes. No debemos pensar que esa cuestión les vino a la cabeza en un arrebato de creatividad, sino que venía sugerida por otros problemas numéricos sobre particiones en los que estaban trabajando. En el artículo que habíamos citado de Butler, Erdös y Graham, publicado en 2015, se demuestra por fin que todo número natural se puede escribir como suma de fracciones egipcias donde cada denominador es producto de tres primos diferentes y hay un triple empate en las opiniones de los autores (un voto a favor, uno en contra y uno en blanco) sobre la pregunta inicial de si ocurre lo mismo con cualquier fracción, no necesariamente un número natural.

Como en la Ciencia Básica no solemos hacer la pregunta «¿para qué sirve todo esto?», nos limitaremos a proponer un sencillo problema de ingenio que podrás resolver utilizando adecuadamente lo que aquí se ha expuesto. Este es el problema: ¿cómo repartir equitativamente cinco pizzas iguales entre ocho personas? La respuesta más irreflexiva es dividir todas las pizzas en ocho porciones iguales de modo que las 40 porciones se pueden repartir fácilmente entre las 8 personas. ¿Qué tal si escribimos 5/8 = 1/2 + 1/8? Al disminuir drásticamente el número de cortes en las pizzas, la precisión es mayor y el reparto es más justo. ¿Sería esa la forma en que los egipcios repartían los terrenos, las cosechas, las ganancias, los sueldos…?

Pedro Alegría. Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la RSME