Demostrar no es verificar: ¿podrías encontrar la solución a estos problemas matemáticos?

También lo percibimos casi diariamente en nuestras aulas con las dudas que los alumnos nos plantean. La mayor parte acaba asumiendo los procedimientos, las técnicas, los algoritmos que explicamos, y los aplican con cierta soltura en la resolución de ejercicios, pero no alcanzan a entender ni cuál es el propósito de esta disciplina, ni cómo está organizada, ni cómo se deducen esos procedimientos que ven que funcionan, pero que de un modo u otro, asumen y punto, como si fuera algo revelado e inaccesible.

En el muy recomendable libro En honor del espíritu humano. Las matemáticas hoy ( Jean Dieudonné , Alianza Editorial, S.A. 1989), que trata también de ofrecer una panorámica de nuestra profesión, el autor advierte que «es muy poco frecuente obtener del interlocutor una respuesta válida si no ha recibido la enseñanza matemática correspondiente, por lo menos, a los dos primeros años de universidad. Incluso algunos científicos destacados en otros campos sólo cuentan a menudo con unas nociones aberrantes acerca del trabajo de los matemáticos«.

Por supuesto el conocimiento del autor del tema queda fuera de toda duda: Jean Dieudonné fue uno de los miembros más activos del grupo Bourbaki (colectivo que se propuso revisar toda la matemática conocida hacia los años cuarenta del siglo XX y dotar a todas sus ramas de un rigor extremo), experto en geometría algebraica y análisis funcional.

A pesar de todo, somos muchos los entusiastas e idealistas que creemos que es necesario el intento (según redactaba estas líneas, me aparecía el aviso en el ordenador del nuevo Boletín de la RSME , en el que el nuevo editor de publicaciones de la entidad, Joaquín Pérez , indica que «es nuestro deber no sólo crear nuevas matemáticas, sino transmitir aquellas ya creadas asegurando la pervivencia del avance de conocimiento en este campo»). En mi caso, mi mayor motivación es el tratar de hacer ver la perfección, dentro de sus escasas limitaciones, de la, para mí, mejor forma de acercarnos al entendimiento de todo lo que nos rodea, y compartir la incomparable satisfacción que conlleva acabar demostrando rigurosamente algo en lo que llevas mucho tiempo pensando. En particular, decírselo a los más jóvenes, aquellos que pueden tomar el relevo en esa gran empresa.

Llega el momento de meter un poco de caña y dejar el idealismo. En mi última columna, la de la semana pasada del misterio del 77 , algún amable lector comentaba que «parece que el trabajo de los matemáticos es pura superstición. A menudo, los profesionales de las matemáticas se obsesionan con los números y hacen descubrimientos en matemáticas que no son útiles en ese momento pero que después pueden tener aplicación». El artículo no hablaba del trabajo de los matemáticos. Simplemente trata de mostrar, de un modo más bien jocoso (porque las tonterías cabalístico-numerológicas no pueden tomarse de otra forma), que sin un mínimo de rigor es posible deducir cualquier cosa de cualquier otra. Siento no haberlo sabido plasmar completamente (la mayoría lo apreció como era; si alguno no lo hizo, obviamente la culpa es mía). Esto me ha sugerido el quizá vano intento de explicar (dar una simples pinceladas; no voy a lograr lo que gruesos volúmenes de incuestionables sabios a lo largo de los tiempos no han hecho) qué diferencias existen entre una demostración y... otras cosas.

Desde luego debe quedar claro que el sentido último de cualquier resultado matemático es encontrar una demostración rigurosa y bien hecha. Sin eso, cualquier cosa que me digan no es que haya que tomarla por falsa, es que no debemos perder ni dos segundos en escucharla. Pero, ¿qué es una demostración matemática? De acuerdo a la definición formal descrita a comienzos del siglo pasado:

En definitiva, la demostración es un razonamiento que encadena un conjunto de deducciones lógicas entre enunciados previamente conocidos y demostrados (o aceptados por su indiscutible validez; éstos, unos pocos, son los axiomas, verdades absolutas, como por ejemplo, que dado un punto y una longitud, es posible construir una circunferencia con centro el punto: es indiscutible porque, entre otras razones, la construyo físicamente). No se conoce hasta el momento ninguna civilización anterior a la griega en la que se hicieran este tipo de razonamientos, por lo que, podemos considerar a los griegos a partir del siglo VI a. C. como los precursores del rigor lógico-matemático.

Como indica Dieudonné en el libro anteriormente citado, las primeras demostraciones conocidas por escrito aparecen en textos de los filósofos griegos Platón y Aristóteles . En el diálogo «Menón», Sócrates quiere hacer ver a un joven cómo encontrar un cuadrado cuyo área sea doble de otro dado ABCD (es decir, la duplicación de un cuadrado, paso previo al intento de duplicación de un cubo, problema que sabemos es irresoluble en general).

La primera respuesta del inocente joven es duplicar el lado del cuadrado (ver imagen). Entonces, pacientemente, Sócrates le explica que ese cuadrado no sería doble del dado sino cuádruple. Del dibujo se deduce claramente que en el cuadrado morado hay cuatro cuadrados ABCD. No obstante, una mente más analítica, lo demostraría a partir de la conocida expresión del área del cuadrado: si el lado del cuadrado ABCD es L, su área es L^2. Al duplicar el lado, esto es, 2L, el área resulta (2L)^2 = 4L^2. Ambas (la gráfica y la de la fórmula) son verificaciones de que el objeto propuesto, no responde a la pregunta planteada por el filósofo.

A continuación, Sócrates le dice que construya un cuadrado cuyo lado sea la diagonal del cuadrado ABCD. Obsérvese que dicha diagonal (en morado ambas) es la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles ADC. Por tanto el teorema de Pitágoras anda por medio (a ver si el lector es capaz de demostrar por esa vía que el cuadrado rojo es exactamente el doble del original, y que ello da un procedimiento general, una demostración). Con el dibujo (y la papiroflexia, como recurso didáctico), es claro que si doblamos por el lado AB el triángulo AA’B hacia dentro, y repetimos la misma operación con las otras tres solapas triangulares, nos queda un único cuadrado, el original, lo que demuestra que la cantidad de papel que tenemos es doble del cuadrado ABCD. ¿Es esto una demostración igual de rigurosa que la del teorema de Pitágoras? En este caso, sí, pero no siempre el dibujo es una demostración rigurosa, aunque, estrictamente hablando, eso verifica el resultado una vez conocida la construcción. Pero, sin esa construcción dada, ¿cómo la encontramos a partir únicamente del enunciado?

Como los profesores de matemáticas (según Dieudonné, la mayoría somos sólo eso: para poder denominar matemático a alguien, «debería haber encontrado y publicado al menos la demostración de un teorema no trivial») somos un tanto poliédricos en algunos aspectos, intenten demostrar (o refutar) si es posible realizar el dibujo anterior de un solo trazo y sin pasar dos veces por el mismo sitio (excepción de un punto, o sea que no se puede pasar dos veces por el mismo lado, pero sí por un mismo punto), y ya puestos, si es posible acabar en el punto que se empezó. Es decir, en términos de grafos, ¿es el dibujo anterior un ciclo euleriano o hamiltoniano?

Lo anterior es una disputa constante entre matemáticos y alumnos. ¿Vale un dibujo como demostración? Es claro que un buen dibujo te puede ayudar mucho a la hora de demostrar algo, pero ¡¡cuidado!!: no siempre vale como demostración. Les pongo otro par de ejemplos para que mediten sobre ello (habría mucho más que decir sobre el tema de la demostración, pero esto es una reseña en un periódico, no un libro, de modo que, lamento no poder ahondar más en el asunto por hoy; en cualquier caso, afortunadamente casi ningún colega lee estas reseñas. Esta es otra constante en los matemáticos: no hay tiempo para leer cosas triviales y/o conocidas de sobra, se necesita para trabajar en las investigaciones que estamos, se necesita mucha concentración. Y del mismo modo, nos trae al fresco si en lo que trabajamos tiene una aplicación práctica o no. Nosotros estamos en lo nuestro y se acabó, les guste a los demás, lo entiendan, o no, a la Ciencia con mayúsculas eso le es indiferente. De modo que al lector que decía lo de que descubrimos cosas que «no son útiles en este momento pero que después pueden tener aplicación», hablando de nuevo en términos de posibilidad, pues nos es completamente indiferente. Por eso nos cuesta mucho escribir columnas como ésta, entre otras cosas).

Vamos con los ejemplos. Nos mandan demostrar que:

Les dejo otra cuestión que me viene a la cabeza. Probar esto, ¿sería lo mismo que probar que la suma de números impares consecutivos es siempre un cuadrado perfecto?

Un alumno aplicado nos haría una demostración por inducción, por ejemplo. Si alguien nos hiciera un dibujo como el que mostramos a continuación, ¿serviría como demostración rigurosa?

Y la segunda: sabemos que la superficie de cualquier triángulo es la mitad de la de un rectángulo. Entonces, con dos triángulos iguales, como los dados, ¿se puede construir siempre un rectángulo? Por supuesto no vale romper, cortar, doblar o hacer ninguna maldad con esos pobres triángulos. Si no fuera posible, ¿es entonces falso el resultado?

Como reflexión final, la del escritor y filósofo Bernard le Bovier de Fontenelle , en 1699: «Solemos llamar inútiles a las cosas que no comprendemos. Es una especie de venganza y como en general las matemáticas y la física no son comprendidas, se las considera inútiles». A Fontenelle se le atribuye también la siguiente cita, sobre la que más de uno debería reflexionar: «No os toméis la vida demasiado en serio; de todas maneras no saldréis vivos de ésta».

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.